山西省太原市關(guān)心下一代中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.且＜0，則的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知直角梯形中，//,,,是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12參考答案：C3.已知集合（1）求（2）若，求a的取值范圍．參考答案：（1）,(1,2);(2)<84.已知，且，則的最小值為(

)A.3 B.5 C.7 D.9參考答案：C【分析】運(yùn)用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?（）﹣1，化簡(jiǎn)整理再由基本不等式即可得到最小值．【詳解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?1﹣1＝[（x+1）+y]?2（）﹣1＝2（21≥3+47．當(dāng)且僅當(dāng)x，y＝4取得最小值7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5.已知直線a、b和平面α，下列推論中錯(cuò)誤的是（）A．?a⊥bB．?b⊥αC．?a∥α或a?αD．?a∥b參考答案：D6.等差數(shù)列中，，則為（）A.13

B.12

C.11

D.10參考答案：C7.若＜α＜0，則點(diǎn)(tanα,cosα)位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：B8.函數(shù)y=的值域是（）A．R B．[，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】令t=﹣x2+2x，則y=，再根據(jù)t≤1以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得y的值域．【解答】解：令t=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，則y=．由于t≤1，∴y≥=，故選：B．9.△ABC中，已知，則A的度數(shù)等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.若，，則下列不等式恒成立的（）．A． B． C． D．參考答案：C項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤；項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故正確；項(xiàng)，因?yàn)?，所以，此時(shí)無(wú)意義，故錯(cuò)誤．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)為定義在Ｒ上的奇函數(shù)，當(dāng)上的解析式為＝．參考答案：略12.已知函數(shù)f(x)＝3x2＋mx＋2在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則f(2)的取值范圍是________．參考答案：略13.一飛機(jī)沿水平方向飛行，在位置A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行了10000米，到達(dá)位置B時(shí)測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的距離為

米.參考答案：略14.若函數(shù)f(x+3)的定義域?yàn)閇-5,-2]，則F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定義域?yàn)?/p>

參考答案：[-1，0]15.某在校大學(xué)生提前創(chuàng)業(yè)，想開一家服裝專賣店，經(jīng)過(guò)預(yù)算，店面裝修費(fèi)為10000元，每天需要房租水電等費(fèi)用100元，受營(yíng)銷方法、經(jīng)營(yíng)信譽(yù)度等因素的影響，專賣店銷售總收入P與店面經(jīng)營(yíng)天數(shù)x的關(guān)系是，則總利潤(rùn)最大時(shí)店面經(jīng)營(yíng)天數(shù)是_________。參考答案：20016.若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________．參考答案：-1為偶函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)，恒有，利用特殊值法，不妨取，則，，所以.17.過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦長(zhǎng)為．參考答案：2【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由圓的方程找出圓心與半徑，判斷得到（3，1）在圓內(nèi)，過(guò)此點(diǎn)最短的弦即為與過(guò)此點(diǎn)直徑垂直的弦，利用垂徑定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根據(jù)題意得：圓心（2，2），半徑r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圓內(nèi)，∵圓心到此點(diǎn)的距離d=，r=2，∴最短的弦長(zhǎng)為2=2．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，總是成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（2）求滿足不等式的正整數(shù)n的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；8K：數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（1）根據(jù)題意可得4an=6Sn﹣4﹣3Sn﹣1，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明，（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，即可得出．【解答】解：（1）∵，整理得：4an=6Sn﹣4﹣3Sn﹣1，（n≥2），4an﹣1=6Sn﹣1﹣4﹣3Sn﹣2，（n≥3），相減得：4an﹣4an﹣1=6an﹣3an﹣1，（n≥3），即，（n≥3），又∵，得a2=﹣1，即，綜上，數(shù)列{an}是以為公比的等比數(shù)列（2），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解綜上得正整數(shù)n的最小值為3．19.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面積等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由sinC的值及三角形的面積等于，利用面積公式列出a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出a與b的值；（II）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π﹣（A+B），進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，分兩種情況考慮：若cosA為0，得到A和B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出a與b的值；若cosA不為0，等式兩邊除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到b=2a，與第一問(wèn)中余弦定理得到的a與b的關(guān)系式聯(lián)立，求出a與b的值，綜上，由求出的a與b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：（I）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根據(jù)三角形的面積S=，可得ab=4，聯(lián)立方程組，解得a=2，b=2；（II）由題意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組解得a=．所以△ABC的面積S=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，余弦定理，和差化積公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中正弦定理及余弦定理很好的解決了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．20.高三年級(jí)有500名學(xué)生，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī)，制成如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率①②

0.050

0.200120.275

③40.050

④合計(jì)

（1）根據(jù)上面圖表，①②③④處的數(shù)值分別為_____、____、____、_______；（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出[85,155]的頻率分布直方圖；（3）根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù)，并估計(jì)總體落在[129,155]中的頻率.參考答案：（1）①1②0.025；③0.1④1（2）略（3）0315【分析】(1)根據(jù)直方圖可以看出對(duì)應(yīng)的頻率是0.025，當(dāng)頻率是0.3時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是12，按照比例作出的結(jié)果，用1減去其他的頻率得到的結(jié)果，是合計(jì)，每一個(gè)表中這個(gè)位置都是1;(2)根據(jù)上一問(wèn)補(bǔ)充完整的頻率分布表，畫出頻率分步直方圖;(3)估計(jì)總體落在中的概率，利用組中值算得平均數(shù)，總體落在上的概率為，得到結(jié)果．【詳解】根據(jù)直方圖可以看出對(duì)應(yīng)的頻率是，當(dāng)頻率是時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是12，按照比例作出的結(jié)果，用1減去其他的頻率得到的結(jié)果，處是合計(jì)1，；；；根據(jù)頻率分布表得到頻率分布直方圖如圖．利用組中值算得平均數(shù)為：；故總體落在上的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分步直方圖，考查頻率分布表，考查等可能事件的概率，是一個(gè)典型的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，注意解題時(shí)不要在數(shù)字運(yùn)算上出錯(cuò)．21.已知向量與互相垂直，其中θ∈（0，π）．（Ⅰ）求tanθ的值；（Ⅱ）若，，求cosφ的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)建立等式，可得tanθ的值．（Ⅱ）利用θ∈（0，π）和tanθ的值求解sinθ和cosθ的值．構(gòu)造思想，cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由題意，向量與互相垂直，