人教數(shù)學(xué)第六章圖形的性質(zhì)(二)第26講圓的弧長和圖形面積的計算要點梳理

1．弧長及扇形的面積(1)半徑為r，n°的圓心角所對的弧長公式：

；(2)半徑為r，n°的圓心角所對的扇形面積公式：_

．要點梳理

2．圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，若設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr.(1)圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)＝；(2)圓錐全面積公式：S圓錐全＝．πrlπrl＋πr2要點梳理

3．求陰影部分面積的幾種常見方法(1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形構(gòu)造方程法；(5)去重法．一種聯(lián)系圓錐的側(cè)面是一個扇形，因而其面積是一個扇形的面積，其扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是底面的周長．在求圓錐側(cè)面積或全面積的時候，常需要借助于它的展開圖進行分析，因此理清圓錐與它的展開圖中各量的關(guān)系非常重要，下面圖示可以幫助我們進一步理解它們之間的關(guān)系．一種轉(zhuǎn)化最短距離問題，通常借助于展開圖來解決．在將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形后，應(yīng)把題中已知條件轉(zhuǎn)化到具體的線段中，最后構(gòu)造直角三角形解題．兩個技巧(1)求運動所形成的路徑長或面積時，關(guān)鍵是理清運動所形成圖形的軌跡變化，特別是扇形，需要理清圓心與半徑的變化；(2)處理不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．三個等量關(guān)系(1)展開圖扇形的弧長＝圓錐底面圓的周長；(2)展開圖扇形的面積＝圓錐的側(cè)面積；(3)展開圖扇形的半徑＝圓錐的母線．1．(2014·宜昌)如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，若將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BOD，則AB︵的長為(

)

A．π

B．6π

C．3π

D．1.5π

D2．(2014·牡丹江)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，則S陰影＝(

)

A．π

B．2π

C.233

D.23π

D3．(2014·紹興)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，則該圓錐的底面周長為(

)

A.34π

B.32π

C.34

D.32

B4．(2014·成都)在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA＝6cm，則扇形OAB的面積是(

)A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm2C弧長公式的應(yīng)用【例1】

(2013·遵義)如圖，將邊長為1

cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動(不滑動)，點B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為(

)

A.32π

cm

B．(2＋23π)cm

C.43π

cm

D．3

cm

C5．(2014·河北)如圖，邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個三角形(數(shù)據(jù)如圖)，則S陰影S空白＝(

)

A．3

B．4

C．5

D．6

C【點評】本題考查了弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動，求出點B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路徑的長度．注意熟練掌握弧長的計算公式．1．(2014·龍東)一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10

cm，底面圓的直徑是5

cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米(接口處重合部分忽略不計)(

)

A．10π

cm

B．102

cm

C．5π

cm

D．52

cm

B扇形面積公式的運用【例2】如圖，BD是汽車擋風(fēng)玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，當BD繞點O旋轉(zhuǎn)90°時，求刮雨刷BD掃過的面積．解：在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，

OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積為扇環(huán)的面積，即S陰影＝S扇形AOB－S扇形COD＝14π(OA2－OC2)＝

14π×(652－152)＝1000π(cm2)

【點評】

陰影部分一般都是不規(guī)則的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路，一是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和、差；二是進行圖形的割補．此題可利用圖形的割補，把△OAC放到△OBD的位置．扇形面積公式和弧長公式容易混淆．S扇形＝n360πR2＝12lR.

2．(2014·萊蕪)如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為(

)

A．π

B．2π

C.π2

D．4π

B圓錐的側(cè)面展開圖【例3】

(1)(2014·黔南州)如圖，圓錐的側(cè)面積為15π，底面圓半徑為3，則該圓錐的高AO為(

)A．3B．4C．5D．15B(2)(2014·牡丹江)如圖，如果從半徑為3

cm的圓形紙片上剪去13圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的底面半徑是____cm.

2【點評】就圓錐而言，“底面圓的半徑”和“側(cè)面展開圖的扇形半徑”是完全不同的兩個概念，要注意其區(qū)別和聯(lián)系，其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長；圓錐的底面半徑、母線和高組成了一個直角三角形．3．現(xiàn)有30%圓周的一個扇形彩紙片，該扇形的半徑為40cm，小紅同學(xué)為了在六一兒童節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，求剪去的扇形紙片的圓心角度數(shù)．解：∵圓錐的母線長為40，底面半徑為10，∴圓錐展開圖的圓心角＝2040×180°＝90°，∴剪去扇形紙片的圓心角度數(shù)＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°

求陰影部分的面積【例4】

(2014·黔西南州)如圖，點B，C，D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B＝∠A＝30°，BD＝23.

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)求由線段AC，AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用．4．(2014·河南)如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，其中點C的運動路徑為CC′，則圖中陰影部分的面積為．試題

扇形的半徑為30cm，圓心角為120°，用它做成一個圓錐的側(cè)面，求圓錐的側(cè)面積是多少？

錯解

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l.

∵120360πr2＝πrl，∴120360π×302＝π×30×l，解得l＝10，∴S側(cè)面積＝πr×l＝300π(cm2)．

剖析

上述解法混淆了圓錐底面半徑和扇形半徑，看上去好像答案是正確的，這只不過是題設(shè)中數(shù)據(jù)的一種巧合而已．圓錐底面半徑≠扇形半徑，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，若設(shè)圓錐的母線為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，面積S圓錐側(cè)＝12(2πr)·l＝πrl，S圓錐表＝πr2＋πrl