機械可靠性設計分析方法第1頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.3一次二階矩方法求可靠度_工程方法第四章機械可靠性設計分析方法§4.1干涉面積法§4.2分布代數(shù)§4.4蒙特卡洛模擬方法§4.5變異系數(shù)傳遞規(guī)律第2頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月從可靠度計算的普遍方程可以看出，對于應力和強度比較復雜的分布，由于積分困難，往往難以得出問題的解析解。因此如何采用一些較好的近似方法，能比較方便地求得滿足工程精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人們探討的一個問題。3-1應力和強度概率密度曲線的干涉面積Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2應力和強度兩個概率密度函數(shù)的交叉區(qū)，即干涉區(qū)陰影面積的大小，反映了零件或結(jié)構(gòu)可靠度的高低。該面積越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。干涉面積的大小是由兩個概率密度函數(shù)平均值的相對位置及方差決定的?？煽慷瓤煞裢ㄟ^計算該面積的大小給出？第3頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3-1應力和強度概率密度曲線的干涉面積Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2§4.1干涉面積法設應力、強度兩概率密度函數(shù)曲線的交點橫坐標為s0=r0，并令在應力s、強度r相互獨立的情況下，零件的失效概率(不可靠度)可表示為第4頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，零件的可靠度可表示為第6頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月即有可見，失效概率數(shù)值上不等于干涉區(qū)的陰影面積。由于可靠度R(t)總是小于(1-a1a2)，所以(1-a1a2)可作為零件可靠度的上限，成為衡量可靠性的一種指標，稱為零件的非失效保證度。若已知應力和強度的概率密度函數(shù)f(s)、g(r)，便可求出干涉面積a1和a2，由此便可估計出零件的可靠度。第7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-1設某一零件的強度r和作用在該零件上的應力s均為正態(tài)分布。強度的均值和標準差分別為μr=180Mpa，σr＝8Mpa，應力的均值和標準差分別為μs＝150Mpa，σs＝6Mpa，試計算該零件的可靠度和非失效保證度。解：由于應力和強度均服從正態(tài)分布，所以有則可靠度為現(xiàn)用干涉面積法估算零件的可靠度，因s0=r0處有f(s0)=g(r0)所以有第8頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解得s0=r0=163.5MPa，因此求得a1和a2分別為第9頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月可靠度的上限RU=0.9976比理論值高萬分之十一，同樣，可靠度下限所以有經(jīng)驗公式該式結(jié)果與理論值相比誤差約為0.14%，可見，干涉面積法得出的零件可靠度近似值，精度還是比較高的。該例應力與強度均為正態(tài)分布，是為了將近似值與理論值比較，該法對其他任何形式的應力和強度的分布均適用第10頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月強度、應力和它們的干涉變量及其他許多隨機事件往往需要用兩個、三個或更多隨機變量的函數(shù)Z=f(x1,x2,…,xn)來描述。與實數(shù)代數(shù)一樣，隨機變量也可以通過一系列公式進行代數(shù)運算?！?.2分布代數(shù)當已知其中每一個隨機變量xi(i＝l，2，…n)的均值μi和標準差σi時，可以通過隨機變量的代數(shù)運算來確定函數(shù)Z=f(xi)的均值μz和標準差σz，從而運用聯(lián)結(jié)方程求得零件的可靠性系數(shù)和可靠度。第11頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月一、獨立隨機變量的加法若已知隨機變量X的均值μX和標準差σX，隨機變量Y的均值μY和標準差σY，可以推導出隨機變量Z=X+Y的均值μZ和標準差σZ二、獨立隨機變量的減法同樣可以推導出隨機變量Z=X-Y的均值μZ和標準差σZ第12頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月三、獨立隨機變量的乘法積數(shù)（Z=X·Y)的均值μZ和標準差σZ四、獨立隨機變量的除法第13頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月有一含有n個隨機變量的函數(shù)Z=f(x1,x2,…,xn)，如果每一個隨機變量的變異系數(shù)Cx=σx/μx<0.1，以及這些隨機變量相互獨立，且都不起主要控制作用，則有概率論的中心極限定理可知，這個多維函數(shù)Z=f(x1,x2,…,xn)能夠滿意地服從正態(tài)分布。當已知其中每一個隨機變量的均值μi及標準差σi，則可以運用以上隨機變量的代數(shù)運算公式，綜合成為一個含單一隨機變量的函數(shù)，即確定這個單一函數(shù)的均值μz和標準差σz。綜合方法：先綜合函數(shù)中兩個變量x1和x2，確定已合成的變量的均值和標準差，接著把上面已得到的合成變量與下一個變量x3綜合起來，求出合成的均值和標準差。依此類推，直到所有的變量都被綜合到單一的變量中去，即求出函數(shù)的均值和標準差。第14頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-2今有一受拉伸載荷的桿件，已知載荷F(μF,σF)=F(80000,1200)N，拉桿直徑d(μd,σd)=d(40,0.8)mm，拉桿長l(μl,σl)=l(6000,60)mm，材料的彈性模量E(μE,σE)=E(21×104,3150)Mpa，求在彈性變形范圍內(nèi)拉桿的伸長δ。解：由胡克定理知，的伸長為其中設以上各參數(shù)均為相互獨立、服從正態(tài)分布的隨機變量，因此可根據(jù)正態(tài)隨機變量代數(shù)運算公式，對已知參數(shù)逐一合成。第15頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月1）求拉桿的截面面積A(μA,σA)因此A(μA,σA)=A(1256,50.24)mm22）令G=Fl求變量G的均值μG和標準差σG第16頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3）令H=AE,求變量H的均值μH和標準差σH4）計算拉桿伸長δ的均值μδ和標準差σδ第17頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月即拉桿伸長δ(μδ,σδ)=δ(1.83,0.084)mm因為正態(tài)分布有一重要特性，即數(shù)據(jù)偏離三倍標準差的可能性很小(概率為0.27%)，幾乎可以忽略，所以在可靠性設計中一般可假設公差Δ=3σ(σ為標準差)，即故拉桿伸長為第18頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月若隨機變量Y的函數(shù)比較復雜，計算Y的數(shù)學期望E(Y)和方差D(Y)可能很困難，往往不能簡單地運用它們的定義，把函數(shù)代入積分公式而得出結(jié)果。對于一個多維隨機變量Y=f(x1,x2,…,xn)，用分布代數(shù)的方法，經(jīng)多次綜合求解函數(shù)的均值和方差，計算量很大，比較麻煩，這時可將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，求得近似解。§4.3一次二階矩法—泰勒級數(shù)近似求解法第19頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月當應力s和強度r均服從正態(tài)分布且相互獨立時，根據(jù)聯(lián)結(jié)方程可方便地求得可靠度系數(shù)β，進而求得可靠度R(t)；但當應力s和強度r服從其它分布時，需要知道應力s和強度r或干涉變量Y進行積分。目前許多工程實際中尚缺乏足夠的資料來確定應力和強度的分布，且積分的計算也十分繁雜，當應力和強度的分布未知，僅有足夠的資料來確定它們的一階矩和二階矩（均值和方差）時，可以采用一次二階矩法來求可靠性指標β§4.3一次二階矩法—泰勒級數(shù)近似求解法第20頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月一維隨機變量函數(shù)的近似求解設y=f(x)在x=μ

（均值）處展開成一泰勒級數(shù)若D(x)很小第21頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-3已知一桿件r的均值μr=30mm，標準差σr=1.5mm，求斷面面積A的均值μA及標準差σA。解：面積A=πr2，則f’(r)=2πr，f”(r)=2π，可得第22頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一個多維隨機變量y=f(x1,x2,…,xn)，獨立隨機變量xi(i＝l，2，…n)均值和標準差為μi和σi。多維隨機變量函數(shù)的近似求解若D(xi)很小y的數(shù)學期望y的方差因此可靠度系數(shù)：第23頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-4一次二階矩方法求可靠度：有一根A3鋼的圓形桿件，圓桿直徑d的均值為μd=30mm，標準差為σd=3mm，圓桿的屈服極限r(nóng)的均值μr=290N/mm2，標準差σr=25N/mm2。當桿件承受軸向拉力P=105N（考慮為常量），試求桿件的可靠性指數(shù)和可靠度。解：以極限載荷表示的極限方程為函數(shù)Y的均值和標準差分別為第24頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-4解：若假設為正態(tài)分布可靠度查表為：R=0.9906可靠性指數(shù)為：第25頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月習題：一桿受拉力作用，若外力的均值μF=2×104N，標準差為σF=2000N，斷面面積均值μA=1000mm2，標準差σA=80mm2。求應力s的均值μs和標準差σs。（用矩法）第26頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月蒙待卡洛模擬法是通過隨機變量的統(tǒng)計試驗或隨機模擬，求解數(shù)學、物理和工程技術問題近似解的數(shù)值方法，因此也稱為統(tǒng)計試驗法或隨機模擬法。蒙特卡洛模擬法是用法國和意大利接境的一個著名賭城蒙特卡洛(MonteCarlo)命名的。該方法開始應用于40年代，集中研究是在50年代。由于科學技術的發(fā)展，出現(xiàn)了許多復雜的問題，用傳統(tǒng)的數(shù)學方法或物理試驗進行處理有時難以解決，用蒙特卡洛方法則可有效地解決問題?！?.4蒙特卡洛模擬方法一、基本原理第27頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月蒙特卡洛模擬的理論基礎來自概率論中的兩個基本定理。大數(shù)定理：設x1，x2，…，xn，是n個獨立的隨機變量，若它們來自同一母體，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分別用μ和σ2

表示，則對于任意ε＞0有:第28頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月伯努利定理：若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A)，在n次獨立試驗中，事件A發(fā)生的頻數(shù)為m，頻率為W(A)＝m／n，則對于任意ε＞0有:蒙特卡洛法從同一母體中抽出簡單子樣來做抽樣試驗，由上兩式知，當n足夠大時，頻率m／n以概率1收斂于P(A)。因此從理論上講，這種方法的應用范圍幾乎沒有什么限制。第29頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月當用蒙特卡洛法求解某一事件發(fā)生的概率時，可以通過抽樣試驗的辦法得到該事件出現(xiàn)的頻率，作為問題的解。在應用蒙特卡洛方法時，需要進行大量的統(tǒng)計試驗，譬如說1000次，由人工進行如此之多的試驗會有很多困難，但高速電子計算機的發(fā)展，為蒙持卡洛模擬提供了強大的工具，使該方法得以用于工程實踐。即便是應用計算機，如何在不影響結(jié)果精度的前提下，減少計算時間，仍是應用蒙特卡洛法中的重要研究課題。第30頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)根據(jù)提出的問題確定各變量之間的確定性函數(shù)關系。(b)根據(jù)提出的問題構(gòu)造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型，使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些特征(例如概率、均值和方差等)。(c)根據(jù)模型中各個隨機變量的分布，在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)，實現(xiàn)一次模擬過程所需的足夠數(shù)量的隨機數(shù)。通常先產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)，然后生成服從某一分布的隨機數(shù)。二、蒙特卡洛模擬求解步驟:第31頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)根據(jù)概率模型的特點和隨機變量的分布特性，設計和選取合適的抽樣方法，并對每個隨機變量進行隨機抽樣。這里的抽樣方法有直接抽樣、分層抽樣、相關抽樣、重要抽樣等。(e)按所建立的模型進行仿真計算，求出問題的一個隨機解。(f)統(tǒng)計分折模擬試驗結(jié)果，給出問題的概率解以及解的精度估計。在可靠性分析和設計中，用蒙特卡洛方法可以確定復雜隨機變量的概率分布和數(shù)字特征；可以通過隨機模擬估計系統(tǒng)和零件的可靠度；也可以模擬隨機過程、尋求系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)等。二、蒙特卡洛模擬求解步驟:第32頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月分布名稱密度函數(shù)f(x)或f(t)

或[0，1]均勻分布

1

均勻分布指數(shù)分布標準正態(tài)分布正態(tài)分布是標準正態(tài)分布抽樣對數(shù)正態(tài)分布

常見分布函數(shù)隨機變量的隨機抽樣公式第33頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例4-5某鋁合金板的形狀如圖所示。受彎矩作用，其尺寸H、h、ρ均服從正態(tài)分布，分布參數(shù)為：試確定理論應力集中系數(shù)ασ的分布類型及分布參數(shù)。MM受彎矩作用的鋁合金板三、蒙特卡洛模擬算例第34頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月蒙特卡洛模擬算例的程序框圖開始輸入H、h、ρ分布的類型及參數(shù);Nj=1分別從H、h和ρ的分布中產(chǎn)生隨機數(shù)Hf

,hf,ρf

計算ασ

的隨機數(shù)ασj

j=N進行分布類型判斷、估計分布參數(shù)輸出ασ的分布類型和分布參數(shù)結(jié)束j=j+1第35頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解：理論應立集中系數(shù)ασ的計算公式為蒙特卡洛模擬算例第36頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月由于H、h、ρ均服從正態(tài)分布，所以根據(jù)正態(tài)分布的抽樣公式以及ασ的計算公式編制計算機程序，上機運行。輸入?yún)?shù)為：模擬次數(shù)N=1000。輸出結(jié)果為：ασ服從正態(tài)分布，均值為：標準差：即：蒙特卡洛模擬算例第37頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月用蒙特卡洛仿真計算應力和強度為任意分布時的可靠度任意分布的應力—強度模型都可以用蒙特卡洛模擬法求可靠度的近似值，結(jié)果的精度隨模擬的次數(shù)的增多而增高。模擬程序的流程圖如右圖所示。開始輸入應力和強度分布類型和參數(shù)，模擬次數(shù)N,置j=1對應力和強度各產(chǎn)生一個隨機數(shù)xsj和xSj比較xsj和xSj并記下xsj<xSj的次數(shù)N1j=N?輸出R=N1/N結(jié)束j=j+1第38頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月closeall;clearall;clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL=normrnd(mu_YL,sig_YL,[nsample1]);mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD=normrnd(mu_QD,sig_QD,[nsample1]);n_OK=0;forj=1:nsamplex_YL=y_YL(j);ify_YL(j)<y_QD(j);n_OK=n_OK+1;endend[y_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci]=normfit(y_YL);[y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2]=normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample第39頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月例3—1已知某機器零件的應力s和強度S均為正態(tài)分布。其分布參數(shù)分別為μs＝362Mpa，σs＝39Mpa，μr=500Mpa，σr＝25Mpa。試計算零件的可靠度。解：例4-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：零件的可靠度：解析解R＝0.9984蒙特卡洛方法:N=10000時，R＝0.9986NormalVsNormal第40頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月已知應力為對數(shù)正態(tài)分布，應力s~1n(6.205，0.0998)Mpa，強度為正態(tài)分布，r~N(600，60)Mpa。按圖18-10編制計算機程序，模擬次數(shù)10000。上機計算運行結(jié)果為及0.894。解：例4-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormalVs.Normal第41頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月已知應力為指數(shù)分布，應力μs＝151.0Mpa，強度為正態(tài)分布，r～N(600，60)Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.9399解：例4-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：ExpVsNormal第42頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月已知應力為對數(shù)正態(tài)分布，應力s～ln(6.2046，0.2699)，強度為對數(shù)正態(tài)分布，r～ln(6.2046，0.2299)。用蒙特卡洛法求可靠度。模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.9225解：例4-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormalVs.LogNormal第43頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月已知應力為Weibull分布，應力s～w(0.001，1.25)，強度為正態(tài)分布，r～N(500，150)。用蒙特卡洛法求可靠度。模擬次數(shù)10000。上機計算結(jié)果為0.8718。解：例4-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：WeibullVsNormal第44頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月對于這樣一些復雜的多元函數(shù)的統(tǒng)計特征，