高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)函數(shù)值sinsincoscos-sin-sin-cos·和差公式：sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy?sinxsiny·倍角公式：sin2x=2sinxcosxcos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x·半角公式：sinx/2=±√(1-cosx)/2cosx/2=±√(1+cosx)/2·萬(wàn)能公式：tanx=±sinx/√(1-sin^2x)=±√(1-cos^2x)/cosx·反三角函數(shù)公式：arcsin(sinx)=x,-π/2≤x≤π/2arccos(cosx)=x,0≤x≤πarctan(tanx)=x,-π/2<x<π/2學(xué)習(xí)資料分享以下是高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式：tanx的導(dǎo)數(shù)為secx，ctanx的導(dǎo)數(shù)為-cscx，secx的導(dǎo)數(shù)為secx·tanx，cscx的導(dǎo)數(shù)為-cscx·cotx，ax的導(dǎo)數(shù)為axlna，logax的導(dǎo)數(shù)為1/(xlna)，arcsinx的導(dǎo)數(shù)為1/√(1-x^2)，arccosx的導(dǎo)數(shù)為-1/√(1-x^2)，arctanx的導(dǎo)數(shù)為1/(1+x^2)，arccotx的導(dǎo)數(shù)為-1/(1+x^2)。基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：∫tanxdx=-ln|cosx|+C，∫cotxdx=ln|sinx|+C，∫secxdx=ln|secx+tanx|+C，∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C，∫dx/x√(a^2+x^2)=ln|x+√(a^2+x^2)|+C，∫dx/x√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C，∫dx/(a+x)=ln|a+x|-C，∫dx/(a-x)=ln|a-x|+C。其他函數(shù)的積分：∫adx=x+C，∫shxdx=chx+C，∫chxdx=shx+C，∫dx/(x^2-a^2)=1/2a·ln|(x-a)/(x+a)|+C，∫sin^2xdx=∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sinxcosx/2+C，∫cscxdx=-ln|cscx-cotx|+C，∫secx·tanxdx=secx+C，∫cscx·cotxdx=-cscx+C。一些初等函數(shù)：雙曲函數(shù)：雙曲正弦shx=(ex-e-x)/2，雙曲余弦chx=(ex+e-x)/2，雙曲正切thx=sinhx/coshx=(ex-e-x)/(ex+e-x)，反雙曲函數(shù)arshx=ln(x+√(x^2+1))，archx=±ln(x+√(x^2-1))，arthx=ln((1+x)/(1-x))/2。三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：sin(π/2±x)=cosx，cos(π/2±x)=±sinx，sin(π±x)=-sinx，cos(π±x)=-cosx。和差公式：sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny，cos(x±y)=cosxcosy?sinxsiny。倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x。半角公式：sinx/2=±√((1-cosx)/2)，cosx/2=±√((1+cosx)/2)。萬(wàn)能公式：tanx=±sinx/√(1-sin^2x)=±√(1-cos^2x)/cosx。反三角函數(shù)公式：arcsin(sinx)=x,-π/2≤x≤π/2，arccos(cosx)=x,0≤x≤π，arctan(tanx)=x,-π/2<x<π/2。270°+α、360°-α、360°+α、lim、sinx、x→x、1/xlim(1+)→e、x→∞、sinαcosα/tgα、-sinαcosα/cosα、sinα/cosα、cosα/sinα、-tanα-cotα、cotαtanα、-sinα-cotα-tanα、-cosα-tanα-cotα、cotα、tanα、-sinα-cosαtanα、-cosα-sinαcotα、-cosαsinα、-sinαcosα、sinαcosα、-cotα-tanα、tanαcotα、sinα+sinβ=2sin(α+β)/2cos(α-β)/2、sinα-sinβ=2cos(α+β)/2sin(α-β)/2、cosα+cosβ=2cos(α+β)/2cos(α-β)/2、cosα-cosβ=-2sin(α+β)/2sin(α-β)/2、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α、cot2α=cotα-1/2cotα、tan2α=1-tan2α/1+tan2α、sin3α=3sinα-4sin3α、cos3α=4cos3α-3cosα、3tanα-tan3α=tan3α/(1-3tan2α)、sinα/2=±(1-cosα)/2、tanα/2=±sinα/(1+cosα)、cosα/2=±√(1+cosα)/2、sinA/a=sinB/b=sinC/c、arcsinx=π/2-arccosx、arctanx=π/2-arccotx、Leibniz公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑C(n,k)u(n)v(k)。270度加上α，360度減去α，360度加上α，極限，正弦x，當(dāng)x趨近于x時(shí)，1/x趨近于e，當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，sinαcosα/tgα，-sinαcosα/cosα，sinα/cosα，cosα/sinα，-tanα-cotα，cotαtanα，-sinα-cotα-tanα，-cosα-tanα-cotα，cotα，tanα，-sinα-cosαtanα，-cosα-sinαcotα，-cosαsinα，-sinαcosα，sinαcosα，-cotα-tanα，tanαcotα，sinα加上sinβ等于2sin(α+β)/2cos(α-β)/2，sinα減去sinβ等于2cos(α+β)/2sin(α-β)/2，cosα加上cosβ等于2cos(α+β)/2cos(α-β)/2，cosα減去cosβ等于-2sin(α+β)/2sin(α-β)/2，sin2α等于2sinαcosα，cos2α等于2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α，cot2α等于cotα-1/2cotα，tan2α等于1-tan2α/1+tan2α，sin3α等于3sinα-4sin3α，cos3α等于4cos3α-3cosα，3tanα-tan3α等于tan3α/(1-3tan2α)，sinα/2等于±(1-cosα)/2，tanα/2等于±sinα/(1+cosα)，cosα/2等于±√(1+cosα)/2，sinA/a=sinB/b=sinC/c，arcsinx=π/2-arccosx，arctanx=π/2-arccotx，Leibniz公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=∑C(n,k)u(n)v(k)。中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：對(duì)于函數(shù)f(x)，在[a,b]區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)?？挛髦兄刀ɡ恚簩?duì)于函數(shù)F(x)和G(x)，在[a,b]區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得[F(b)-F(a)]/[G(b)-G(a)]=F'(ξ)/G'(ξ)。曲率：弧微分公式：ds=√(1+y'^2)dx，其中y'=tanα。平均曲率：K=Δα/Δs，其中Δα表示從點(diǎn)M到點(diǎn)M'，切線斜率的傾角變化量；Δs表示MM'的弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：K=lim(Δs→0)y''Δα/ds(1+y'^2)^(3/2)。直線：K=0；半徑為a的圓：K=1/a。定積分的近似計(jì)算：矩形法：∫f(x)dx≈(b-a)[y1+y2+...+yn]/n，其中yi為區(qū)間[a,b]內(nèi)第i個(gè)等分點(diǎn)的函數(shù)值。梯形法：∫f(x)dx≈(b-a)[(y1+yn)/2+y2+...+yn-1]/n，其中yi為區(qū)間[a,b]內(nèi)第i個(gè)等分點(diǎn)的函數(shù)值。拋物線法：∫f(x)dx≈(b-a)[(y1+yn)/2+2(y2+y4+...+yn-2)+4(y1+y3+...+yn-1)]/3n，其中yi為區(qū)間[a,b]內(nèi)第i個(gè)等分點(diǎn)的函數(shù)值。定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=F·s。水壓力：F=p·A。引力：F=k1·m1·m2/r^2，其中k1為引力系數(shù)。函數(shù)的平均值：y=1/(b-a)∫f(x)dx。均方根：√[1/(b-a)∫f^2(x)dx]?？臻g解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]。向量在軸上的投影：Prj_uAB=AB·cosθ，其中θ是AB與u軸的夾角。向量點(diǎn)積：a·b=ax·bx+ay·by+az·bz，是一個(gè)數(shù)量。兩向量之間的夾角：cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)。向量叉積：a×b=(ay·bz-az·by)i+(az·bx-ax·bz)j+(ax·by-ay·bx)k。向量模長(zhǎng)：|a|=√(ax^2+ay^2+az^2)。例：線速度：v=ω×r。向量的混合積可以表示為[abc]=(a×b)·c，其中代表平行六面體的體積。平面的方程可以表示為點(diǎn)法式、一般方程和截距世方程。平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離可以通過(guò)公式d=|Ax+By+Cz+D|/√(A^2+B^2+C^2)計(jì)算?？臻g直線的方程可以表示為參數(shù)方程和點(diǎn)向式方程。其中，點(diǎn)向式方程可以表示為(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t。二次曲面包括橢球面、拋物面和雙曲面。橢球面的方程為x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1；拋物面的方程為z=ax^2+by^2；單葉雙曲面的方程為x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1；雙葉雙曲面的方程為x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1。全微分可以表示為dz=?z/?xdx+?z/?ydy，或者du=?u/?xdx+?u/?ydy+?u/?zdz。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法可以使用鏈?zhǔn)椒▌t，將dz/dt表示為dz/du×du/dt+dz/dv×dv/dt，或者dz/dx=?z/?u×?u/?x+?z/?v×?v/?x。隱函數(shù)的求導(dǎo)公式可以使用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，例如d2y/dx2=-Fx/Fy。對(duì)于隱函數(shù)方程組，可以使用雅可比矩陣和牛頓迭代法求解。平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以通過(guò)對(duì)于x軸和y軸的積分得到，其中對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix可以表示為Ix=?y2ρ(x,y)dσ，對(duì)于y軸同理可以表示為Iy=?x2ρ(x,y)dσ。另外，對(duì)于位于xoy平面的平面薄片上的質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a)(a>0)，其對(duì)z軸的引力可以表示為F={Fx,Fy,Fz}，其中Fx=f?xρ(x,y)dσ/(x+y+a)2，F(xiàn)y=f?yρ(x,y)dσ/(x+y+a)2，F(xiàn)z=-fa?xρ(x,y)dσ/(x+y+a)2。需要注意的是，這里的f表示引力常數(shù)。柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)可以用于求解三維空間中的積分，其中柱面坐標(biāo)的變換公式為x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，對(duì)應(yīng)的體積元素為f(x,y,z)dxdydz=??F(r,θ,z)rdrdθdz，其中F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)。而球面坐標(biāo)的變換公式為x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，對(duì)應(yīng)的體積元素為dv=r2sinφdrdφdθ，對(duì)于f(x,y,z)的積分可以表示為?F(r,φ,θ)r2sinφdrdφdθ。重心的坐標(biāo)可以通過(guò)對(duì)于體積元素的加權(quán)平均得到，其中x=1/M?xρdv，y=1/M?yρdv，z=1/M?zρdv，其中M=?ρdv表示物體的總質(zhì)量。曲線積分分為第一類曲線積分和第二類曲線積分。對(duì)于L的參數(shù)方程為{x=φ(t),y=ψ(t)}，則對(duì)于f(x,y)在L上連續(xù)的情況下，對(duì)于弧長(zhǎng)的曲線積分可以表示為∫Lf(φ(t),ψ(t))√(φ'(t)2+ψ'(t)2)dt，而對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分可以表示為∫LP(φ(t),ψ(t))φ'(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ'(t)dt。高斯公式可以表示為：$\text{div}A\iiint\limits_\OmegadV=\iint\limits_SA\cdot\textbf{n}dS$，其中$A=(P,Q,R)$是一個(gè)向量場(chǎng)，$\Omega$是一個(gè)封閉的空間區(qū)域，$S$是$\Omega$的邊界曲面，$\textbf{n}$是曲面$S$上每一點(diǎn)的單位法向量。這個(gè)公式可以用于計(jì)算向量場(chǎng)的通量。斯托克斯公式描述了曲線積分和曲面積分的關(guān)系：$\oint\limits_CA\cdotd\textbf{r}=\iint\limits_S(\text{rot}A)\cdot\textbf{n}dS$，其中$C$是一個(gè)光滑的曲線，$S$是$C$所圍成的曲面，$\textbf{n}$是曲面$S$上每一點(diǎn)的單位法向量，$\text{rot}A$是$A$的旋度。一個(gè)向量場(chǎng)$A$沿有向閉曲線$\Gamma$的環(huán)流量可以表示為：$\oint\limits_\GammaA\cdotd\textbf{r}$。如果向量場(chǎng)$A$是勢(shì)場(chǎng)的梯度，即$A=\nabla\varphi$，那么這個(gè)環(huán)流量為$0$。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、等比數(shù)列、等差數(shù)列、調(diào)和級(jí)數(shù)等級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。級(jí)數(shù)的審斂法包括正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根植審斂法、比值審斂法和定義法。交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法可以使用萊布尼茲定理。絕對(duì)收斂和條件收斂是級(jí)數(shù)收斂的兩種方式。調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，而調(diào)和級(jí)數(shù)的平方收斂。收斂與發(fā)散：當(dāng)$p\leq1$時(shí)，$p$級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)$p>1$時(shí)，$p$級(jí)數(shù)發(fā)散。冪級(jí)數(shù)：當(dāng)$x<1$時(shí)，冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$收斂于$\dfrac{1}{1-x}$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$發(fā)散。對(duì)于級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+\cdots+a_{n+k}x^{n+k}+\cdots$，如果它不僅在原點(diǎn)收斂，也不在數(shù)軸上都收斂，則必存在收斂半徑$R$，使得當(dāng)$x>R$時(shí)發(fā)散。當(dāng)$x=R$時(shí)不確定。求收斂半徑的方法：設(shè)$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\rho$，則當(dāng)$\rho\neq0$時(shí)，$R=\dfrac{1}{\rho}$；當(dāng)$\rho=0$時(shí)，$R=+\infty$。函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n$，其中$c_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$。函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，余項(xiàng)$R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$。$f(x)$可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：$\lim\limits_{n\to\infty}R_n=0$。一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：$\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$，$\dfrac{1}{(1-x)^m}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+m-1}{m-1}x^n$。歐拉公式：$e^{ix}=\cosx+i\sinx$，$e^{-ix}=\cosx-i\sinx$，$\cosx=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$，$\sinx=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$。三角級(jí)數(shù)：$f(t)=A+\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omegat+\phi_n)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cosn\omegat+b_n\sinn\omegat)$，其中$a_n=A_n\cos\phi_n$，$b_n=A_n\sin\phi_n$，$\omegat=x$。正交性：$\int_{-\pi}^{\pi}\sinmx\cosnx\mathrm66666o6x=0$，$\int_{-\pi}^{\pi}\sinmx\sinnx\mathrmoe6ksw6x=\int_{-\pi}^{\pi}\cosmx\cosnx\mathrmcoees6qx=\pi\delta_{mn}$。傅立葉級(jí)數(shù)：$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cosnx+b_n\sinnx)$，其中$a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrmk6guggax$，$b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm066yei6x$。傅立葉級(jí)數(shù)是一種將周期函數(shù)表示為三角函數(shù)級(jí)數(shù)的方法。其中，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)分別由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成?？梢酝ㄟ^(guò)相加或相減的方式得到周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)。對(duì)于周期為2l的函數(shù)，可以表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式，其中包括cos和sin函數(shù)。通過(guò)求解系數(shù)an和bn，可以得到傅立葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。對(duì)于可分離變量的一階微分方程，可以通過(guò)將方程化為g(y)dy=f(x)dx的形式來(lái)求解。對(duì)于一階線性微分方程，可以通過(guò)求解齊次方程和非齊次方程得到通解。貝努力方程是一種特殊的一階非線性微分方程，可以通過(guò)變量代換來(lái)求解。如果一個(gè)微分方程的左端是某函數(shù)的全微分方程，那么該微分方程的通解可以通過(guò)對(duì)該函數(shù)積分得到。對(duì)于二階微分方程，當(dāng)f(x)為0時(shí)，為齊次方程，否則為非齊次方程。二階常系數(shù)齊次線性微