2023/8/211機(jī)械工程控制基礎(chǔ)

§5－4控制系統(tǒng)頻域分析_穩(wěn)定性2023/8/51機(jī)械工程控制基礎(chǔ)

§5－4控制系統(tǒng)頻域5.4

頻率域穩(wěn)定判據(jù)1、奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)思想：將開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性和閉環(huán)極點(diǎn)在右半復(fù)平面的個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，即根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(duì)(－1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0逆時(shí)針，N<0順時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z=P-N

。若Z=0

，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。5.4頻率域穩(wěn)定判據(jù)1、奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)思想：[奈奎斯特H(s)反饋控制系統(tǒng)G1(s)輔助方程的零點(diǎn)等于閉環(huán)的極點(diǎn)；輔助方程的極點(diǎn)等于開環(huán)的極點(diǎn)。也就是說(shuō)，如果輔助方程的零點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部，閉環(huán)穩(wěn)定。閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)反饋控制系統(tǒng)G1(s)輔助方程的零點(diǎn)P:在右半平面開環(huán)特征根數(shù);Z:在右半平面閉環(huán)特征根數(shù);N:

在[GH]平面，從-

，幅相曲線繞（-1，j0)點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。奈氏判據(jù)

Z=P-N；Z=0時(shí)穩(wěn)定。

輔助函數(shù)F(s)

三個(gè)特點(diǎn)：

1.零、極點(diǎn)分別為閉、開環(huán)特征根;2.零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相等;3.與G(s)H(s)相差為1。奈氏穩(wěn)定判據(jù)GHF根據(jù)柯西輻角原理P:在右半平面開環(huán)特征根數(shù);奈氏判據(jù)輔助函數(shù)F(s)三注意的幾點(diǎn)：1、仔細(xì)確定開環(huán)右極點(diǎn)的數(shù)目P，虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)按左極點(diǎn)處理;開環(huán)傳遞函數(shù)為最小相位,即指無(wú)正零點(diǎn),無(wú)正極點(diǎn)。2、仔細(xì)確定開環(huán)奈氏曲線繞（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)N，經(jīng)過(guò)點(diǎn)左側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。3、通過(guò)（-1，j0）的奈氏曲線為臨界穩(wěn)定，即系統(tǒng)不穩(wěn)定。4、開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)，其奈氏曲線不和實(shí)軸封閉，無(wú)法形成對(duì)（-1，j0）點(diǎn)的包圍；此時(shí)，從G(j0)H(j0)端實(shí)軸起順時(shí)針補(bǔ)畫至G(0+)H(0+)。注意的幾點(diǎn)：1、仔細(xì)確定開環(huán)右極點(diǎn)的數(shù)目P，虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)例

四個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖所示。并已知各系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)P，試判別各閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)

Z=P-N；Z=0時(shí)穩(wěn)定。如何計(jì)算該點(diǎn)例四個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖所示。并已知各[例]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[例]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無(wú)極[例]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是Ⅰ型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)，但實(shí)際的包絡(luò)線沒有纏繞在(－1，j0)點(diǎn)上，所以N=0，而P=0，故Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[例]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右1.

正、負(fù)穿越的概念Bode判據(jù)是乃氏判據(jù)在bode圖中的應(yīng)用2、Bode判據(jù)(-1,jo)在－180°線上的穿越。范圍是L(ω)>0的頻率段內(nèi)。正穿越N+：曲線從上而下穿過(guò)實(shí)軸，相位增大；負(fù)穿越N-：曲線從下而上穿過(guò)實(shí)軸，相位減小。1.正、負(fù)穿越的概念Bode判據(jù)是乃氏判據(jù)在bode圖中的在開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，在所有L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線穿越－180°線的次數(shù)——正、負(fù)穿越次數(shù)之差N+－N-=P/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。（1）開環(huán)穩(wěn)定，即P=0時(shí)，幅值交界頻率小于相位交界頻率，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。0ReIm

2.Bode判據(jù)在開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，在所有L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性（1）開環(huán)穩(wěn)定，若幅值交界頻率=相位交界頻率，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。

Bode判據(jù)0ReIm（1）開環(huán)穩(wěn)定，若幅值交界頻率=相位交界頻率，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界（1）開環(huán)穩(wěn)定，若幅值交界頻率大于相位交界頻率，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

Bode判據(jù)0ReIm（1）開環(huán)穩(wěn)定，若幅值交界頻率大于相位交界頻率，則系統(tǒng)閉環(huán)不（2）開環(huán)不穩(wěn)定，即P≠0時(shí)，N+－N-=P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)定。圖中，N+=0，N-=2，所以，N+－N-≠P/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。圖中，N+=2，N-=1，所以，N+－N-=2-1=P/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定?！?+——（2）開環(huán)不穩(wěn)定，即P≠0時(shí)，N+－N-=P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)對(duì)于P=0的控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對(duì)穩(wěn)定性的概念，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度是相對(duì)穩(wěn)定性(穩(wěn)定裕度)的概念，一般說(shuō)來(lái)，G(jw)H(jw)越接近于(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越差。下面以典型三階系統(tǒng)為例進(jìn)行說(shuō)明。3、相對(duì)穩(wěn)定性對(duì)于P=0的控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對(duì)穩(wěn)定性的概念，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)K=8K=6K=8K=6K=4K=1K=4K=1K=0.5由以上可以看出：極坐標(biāo)圖離開（-1，j0）點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度是系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性的一種度量，這種度量常用相角裕量（度）和幅值裕量（度）來(lái)描述。K=0.5由以上可以看出：極坐標(biāo)圖離開（-1，j0）點(diǎn)的遠(yuǎn)近在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還希望系統(tǒng)具備適當(dāng)?shù)牡姆€(wěn)定性儲(chǔ)備——即裕量。0ReIm根據(jù)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性與(-1，j0)點(diǎn)的位置情況，系統(tǒng)是否穩(wěn)定也分為：閉環(huán)穩(wěn)定：G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點(diǎn)。1）、穩(wěn)定性裕量對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)：因此，用曲線接近(-1，j0)點(diǎn)的程度來(lái)衡量系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的大小——相對(duì)穩(wěn)定性。臨界穩(wěn)定：G(jω)H(jω)通過(guò)(-1，j0)點(diǎn)。閉環(huán)不穩(wěn)定：G(jω)H(jω)包圍(-1，j0)點(diǎn)。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還希望系統(tǒng)具備適當(dāng)?shù)?ReIm習(xí)慣上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）來(lái)表征開環(huán)幅相曲線接近臨界點(diǎn)的程度，作為系統(tǒng)穩(wěn)定程度的度量。（1）相位裕量（度）在ωc上，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定的邊緣（臨界穩(wěn)定）所需要附加的滯后角度(相位滯后量），稱為相位裕量。相位裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。相位裕量為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。單位圓0ReIm習(xí)慣上用相位裕量（度）和幅值裕量（度）來(lái)表征開0ReIm幅值裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。幅值裕量為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在相位交界頻率上，使開環(huán)幅值達(dá)到1所需放大的倍數(shù)。(2)幅值裕量（度）0ReIm幅值裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定。幅值裕量為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。0Im0(3)Bode圖上的幅值裕量和相位裕量0Im0(3)Bode圖上的幅值裕量和相位裕量已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：1.寫出系統(tǒng)的組成。2.繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖，并標(biāo)明各種頻率和斜率。3.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：1.系統(tǒng)組成比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)例：系統(tǒng)開環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)節(jié)，分別為：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：1.寫出系統(tǒng)的組成。解：1.轉(zhuǎn)折頻率：

4=0.5轉(zhuǎn)折頻率：

5=102.繪制Bode圖轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5轉(zhuǎn)折頻率：5=102.繪制BoBodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100

2

4

5=10

BodeDiagram-60-40-20020