高等流體力學(xué)3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

高等流體力學(xué)3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

流體運(yùn)動(dòng)學(xué)研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究流體在運(yùn)動(dòng)中其流動(dòng)參數(shù)之間的相互關(guān)系，不涉及運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的原因。研究的內(nèi)容包括流體運(yùn)動(dòng)方式以及速度、加速度、位移、轉(zhuǎn)角等隨時(shí)間、空間的變化。

流場(chǎng)的概念：在流動(dòng)空間中，流體質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)不斷的，表征其流動(dòng)特征的各種流動(dòng)參數(shù)必然是連續(xù)分布的，形成了速度場(chǎng)、密度場(chǎng)、壓力場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)等，這些向量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng)、張量場(chǎng)的總和，稱為流場(chǎng)。3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

流體力學(xué)中通常采用下列兩種方法：

(1)拉格朗日法：以流場(chǎng)中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)作為研究的出發(fā)點(diǎn)，從而進(jìn)一步研究整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。這種方法是質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)研究方法的自然延續(xù)。

(2)歐拉法：它不著眼于研究個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性，而是以流體流過(guò)空間某點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性作為研究的出發(fā)點(diǎn)，從而研究流體在整個(gè)空間里的運(yùn)動(dòng)情況。3.1研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法流體力學(xué)中通3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

拉格朗日法是通過(guò)下列兩個(gè)方面來(lái)描述整個(gè)流動(dòng)情況的：

(1)某一運(yùn)動(dòng)的流體質(zhì)點(diǎn)的各種物理量(如密度、速度等)隨時(shí)間的變化；

(2)相鄰質(zhì)點(diǎn)間這些物理量的變化。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

由于流體質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，要研究某個(gè)確定的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，首先必須有一個(gè)表征這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的辦法，以便識(shí)別、區(qū)分不同的流體質(zhì)點(diǎn)。因?yàn)樵诿恳粫r(shí)刻，每一質(zhì)點(diǎn)都占有唯一確定的空間位置，因此通常采用的辦法是以某時(shí)刻t＝t0各質(zhì)點(diǎn)的空間座標(biāo)(a,b,c)來(lái)表征它們。顯然，不同的質(zhì)點(diǎn)將有不同的(a,b,c)值，(a,b,c)是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù)，而且是連續(xù)存在的。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

(1)流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置

當(dāng)研究任意流體質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)，由于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在t＝t0時(shí)刻的坐標(biāo)值(a,b,c)不—樣，因此各質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的空間位置，將是a,b,c,t這四個(gè)量的函數(shù)。當(dāng)a,b,c固定時(shí)，此式代表確定的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；當(dāng)t固定時(shí)，上式代表某特定時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)所處的位置，即質(zhì)點(diǎn)的位置分布。所以上式可以描述所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

(1)流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置

若用向徑r＝xi＋yj＋zk表示質(zhì)點(diǎn)的位置，則上式可寫(xiě)成這里用來(lái)識(shí)別、區(qū)分不同流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志a,b,c，都應(yīng)看作是自變量，它們和時(shí)間t一起被稱作拉格朗日(Lagrange)變數(shù)。顯然，在t＝t0時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)值等于a,b,c，即拉格朗日變量不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)志的函數(shù)3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

(2)流體質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度按照速度的定義，流體質(zhì)點(diǎn)的速度可以表示成由于r＝r(a,b,c,t)，且流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)函數(shù)(a,b,c)不隨時(shí)間t變化，因此，上式中的全導(dǎo)數(shù)r與對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)相等，即采用速度分量的形式u＝uxi＋uyj＋uzk，有3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法

(2)流體質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度同樣，流體質(zhì)點(diǎn)的加速度可表示為它在直角坐標(biāo)系中的分量為

3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.1拉格朗日(Lagrange)法同樣，其它物理量也應(yīng)該是拉格朗日變數(shù)a,b,c,t的函數(shù)。例如：流體密度流體壓強(qiáng)流體溫度拉格朗日法可以描述各個(gè)質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的參量變化。由于是連續(xù)追蹤個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的描述，拉格朗日法可以研究流體運(yùn)動(dòng)軌跡以及軌跡上流動(dòng)參量的變化，但研究整個(gè)流場(chǎng)的特性時(shí)并不方便，除去個(gè)別情況（如研究流體的波動(dòng)、振蕩）以外，很少采用拉格朗日法。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法3.1.2歐拉(Euler)法

歐拉法是通過(guò)下列兩個(gè)方面來(lái)描述整個(gè)流場(chǎng)情況的：

(1)在空間固定點(diǎn)上流體的各種物理量(如速度、壓力等)隨時(shí)間的變化；

(2)在相鄰的空間點(diǎn)上這些物理置的變化。3.1.2歐拉(Euler)法歐拉法是通3.1.2歐拉(Euler)法

需要指出的是，不能把空間點(diǎn)與流體質(zhì)點(diǎn)相混淆。流體運(yùn)動(dòng)時(shí)同一個(gè)空間點(diǎn)在不同的時(shí)刻由不同的流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。所謂空間各點(diǎn)上的物理量是指占據(jù)這些位置的各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，在歐拉法中，各物理量將是時(shí)間t和空間點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，例如流體的密度、壓強(qiáng)、溫度可表示為流體密度流體壓強(qiáng)流體溫度通常把用以識(shí)別空間點(diǎn)的坐標(biāo)值(x,y,z)及時(shí)間t稱作歐拉變數(shù)。3.1.2歐拉(Euler)法需要指出的3.1.2歐拉(Euler)法

(1)空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度

在直角坐標(biāo)系中，流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)可表示成

由于u＝uxi＋uyj＋uzk，故其分量形式為

不同時(shí)刻在不同空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度也不同。3.1.2歐拉(Euler)法(1)空3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率稱做該物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，通常用D/Dt表示。質(zhì)點(diǎn)的加速度a是該質(zhì)點(diǎn)的速度u對(duì)時(shí)間t的變化率，也就是速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。在歐拉法中，流體質(zhì)點(diǎn)的速度既是時(shí)間的函數(shù)，又是空間坐標(biāo)(質(zhì)點(diǎn)所處的位置)的函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)的位置將隨時(shí)間變化，在這個(gè)意義上，(x,y,z,t)不是相互獨(dú)立的，即：3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度質(zhì)點(diǎn)的加速度a可寫(xiě)成

或者3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由此式可見(jiàn)，在歐拉法中質(zhì)點(diǎn)加速度由兩部分組成。其中?u/?t稱作當(dāng)?shù)丶铀俣?，或稱局部加速度，它表示在同一個(gè)位置上，流體速度對(duì)于時(shí)間的變化率，它是由流場(chǎng)的不定常性引起的，對(duì)于定常流動(dòng)，?u/?t＝0。式中的(u·

)u這一項(xiàng)稱作對(duì)流加速度或遷移加速度，它是由流場(chǎng)的不均勻性引起的。3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度對(duì)于流場(chǎng)中的其它物理量也可以用類似的方法求得它們的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，例如密度、壓強(qiáng)、溫度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度總之，任意物理量B的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)都可寫(xiě)成通常稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子。可以是標(biāo)量、矢量、張量3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

(2)質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與流體質(zhì)點(diǎn)的加速度以下分別是在直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)系中的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子表達(dá)式。直角坐標(biāo)系中

柱坐標(biāo)系中

球坐標(biāo)系中

3.1.2歐拉(Euler)法(2)質(zhì)3.1.2歐拉(Euler)法

通常情況下，采用歐拉法研究流體力學(xué)問(wèn)題具有一定的優(yōu)越性：①采用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)得到的是場(chǎng)，便于利用場(chǎng)論這一有力的數(shù)學(xué)工具；②采用歐拉法時(shí)，所得的流體運(yùn)動(dòng)方程是一階偏微分方程組，求解相對(duì)容易(相對(duì)于采用拉格朗日時(shí)所得運(yùn)動(dòng)方程是二階偏微分方程組而言)；③工程上解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)并無(wú)必要知道每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，只需了解空間上的參數(shù)特征。3.1.2歐拉(Euler)法通常情況下例.已知用拉格朗日變量表示的速度分布且

時(shí)，

，

，求：（1）

時(shí)的質(zhì)點(diǎn)分布（2）

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（3）質(zhì)點(diǎn)加速度解：根據(jù)速度公式將上式積分其中，

為積分常數(shù)，是拉格朗日變量

的函數(shù)例.已知用拉格朗日變量表示的速度分布且利用初始條件，確定積分常數(shù)

時(shí)，，，可得，故（1）將

代入上式，可得（2）時(shí)，（3）質(zhì)點(diǎn)加速度利用初始條件，確定積分常數(shù)時(shí)，拉格朗日法、歐拉法兩種表達(dá)式互相轉(zhuǎn)換拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)公式→歐拉法運(yùn)動(dòng)速度表達(dá)式由拉格朗日法位置坐標(biāo)表達(dá)式可以求出用

表示的拉格朗日變量

的關(guān)系式拉格朗日法、歐拉法兩種表達(dá)式互相轉(zhuǎn)換拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)公代入拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度公式可得歐拉法運(yùn)動(dòng)速度公式代入拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度公式可得歐拉法運(yùn)動(dòng)速度公式將歐拉法運(yùn)動(dòng)速度表達(dá)式→拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)公式由歐拉法運(yùn)動(dòng)速度表達(dá)式積分可得其中，

為積分常數(shù)將歐拉法運(yùn)動(dòng)速度表達(dá)式→拉格朗日法質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)公式由歐拉法運(yùn)按照拉格朗日法，

時(shí)，由此可得以

表示的

的表達(dá)式代入上式，即可得到拉格朗日表達(dá)式按照拉格朗日法，時(shí)，由此可得以以歐拉法表示流體運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，可以利用歐拉法與拉格朗日法的互換關(guān)系求出跡線方程流場(chǎng)的歐拉表達(dá)式根據(jù)以上各式即質(zhì)點(diǎn)軌跡微分方程式（跡線微分方程式），其中t是獨(dú)立變量以歐拉法表示流體運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，可以利用歐拉法與拉格朗日法的互換例.有一流場(chǎng)，其歐拉表達(dá)式為積分可得當(dāng)

時(shí)，

，

，

，代入上式，解出A、B、C代入上式求跡線例.有一流場(chǎng)，其歐拉表達(dá)式為積分可得當(dāng)穩(wěn)定流動(dòng)和不穩(wěn)定流動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)加速度包括時(shí)變加速度和位變加速度兩項(xiàng)穩(wěn)定流動(dòng)——時(shí)變加速度為零，流場(chǎng)中任何質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量不隨時(shí)間改變，但不同質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)參量可以不同不穩(wěn)定流動(dòng)——時(shí)變加速度和位變加速度都不為零，流動(dòng)參量不僅隨位置而改變，而且隨時(shí)間而改變，，，，穩(wěn)定流動(dòng)和不穩(wěn)定流動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)加速度包括時(shí)變加速度和位變加速度流線和跡線流線研究法——同一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)間流動(dòng)參量的關(guān)系跡線研究法——同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)間流動(dòng)參量的關(guān)系跡線——流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線一般情況下，只有以拉格朗日法表示流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能做出跡線特點(diǎn)：對(duì)于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，都有一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，所以跡線是一族曲線，只隨質(zhì)點(diǎn)而異，而與時(shí)間無(wú)關(guān)（因?yàn)槔窭嗜兆兞渴桥c時(shí)間無(wú)關(guān)的）流線和跡線流線研究法——同一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)間流動(dòng)參量的關(guān)系流線——不是某一質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間走過(guò)的軌跡，而是在同一瞬時(shí)流場(chǎng)中連續(xù)的不同位置質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)方向線特點(diǎn)：首先，流線上各點(diǎn)流速都與流線相切其次，通過(guò)空間的一個(gè)點(diǎn)，在同一時(shí)刻只能有一條流線另外，流線形狀與時(shí)間有關(guān)，通過(guò)空間一點(diǎn)，不同時(shí)間可以有不同的流線流線和跡線流線——不是某一質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間走過(guò)的軌跡，而是在同一瞬時(shí)流流線和跡線設(shè)流線上任一點(diǎn)

，流速為

，速度分量與坐標(biāo)軸之間的夾角余弦分別為，，而M點(diǎn)的的切線與坐標(biāo)軸之間的夾角余弦分別為，，其中，

為點(diǎn)M流線微元弧長(zhǎng)

為在坐標(biāo)軸方向上的分量流線和跡線設(shè)流線上任一點(diǎn)，流由于流線上每一點(diǎn)的速度向量均與流線相切，過(guò)M點(diǎn)的速度向量(在坐標(biāo)軸方向的投影為、)可以看作與ds重合，故二者與坐標(biāo)軸夾角余弦應(yīng)相等，，變形可得即為流線微分方程式，t應(yīng)為給定值由于流線上每一點(diǎn)的速度向量均與流線相切，過(guò)M點(diǎn)的速度向量例.流場(chǎng)歐拉表達(dá)式，，則此時(shí)，流場(chǎng)中流線微分方程式為

，其中t為定值，由上式解兩個(gè)微分方程式可得即為流線方程式族，其中A、B為積分常數(shù)例.流場(chǎng)歐拉表達(dá)式，，則此時(shí)，流場(chǎng)中流線微分方程式為若取流場(chǎng)中一點(diǎn)

，且

時(shí)，可求積分常數(shù)

，則流線方程式為若取另一點(diǎn)

，且

時(shí)，可求積分常數(shù)若取流場(chǎng)中一點(diǎn)跡線和流線都是流場(chǎng)中的曲線族，都與流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)，但代表了不同的概念跡線是某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路徑流線表示某一瞬時(shí)流場(chǎng)中各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)傾向，流速矢量，隨時(shí)間而變跡線以時(shí)間t為自變量，由此決定其運(yùn)動(dòng)軌跡流線中時(shí)間t是給定量，隨t不同，流線方程式也不同流體質(zhì)點(diǎn)是沿跡線運(yùn)動(dòng)的，不是沿流線運(yùn)動(dòng)對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)，流線和跡線是一致的，沒(méi)有區(qū)別跡線和流線都是流場(chǎng)中的曲線族，都與流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)流管、流束、流量流管——流場(chǎng)中取任意封閉曲線，通過(guò)曲線上每一點(diǎn)連續(xù)作流線則流線族構(gòu)成一個(gè)管形表面流束——流管內(nèi)取一微小曲面dA，通過(guò)dA內(nèi)每一點(diǎn)作流線，這族流線稱為流束若dA與流束中每一根流線正交，則稱dA為有效流通截面，簡(jiǎn)稱流通截面，若所有流線在同一個(gè)流通截面上流動(dòng)參量都相同，則流束稱微小流束流量通過(guò)微小流束流量dQ=vdA通過(guò)流管的流量流管、流束、流量流管——流場(chǎng)中取任意封閉曲線，通過(guò)曲線上每一流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析一、環(huán)量和旋度1、定義流場(chǎng)內(nèi)取任意曲線S，曲線上任一點(diǎn)A的速度

，沿曲線切線方向的分量

，靠近A取微元弧長(zhǎng)ds，則稱

為速度

沿曲線S的環(huán)量Γ大小方向環(huán)量的積分方向按逆時(shí)針為正，因此環(huán)量可按右手螺旋法則確定其正負(fù)，若以矢量表示，其中，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析一、環(huán)量和旋度1、定義流場(chǎng)內(nèi)所以，投影分量形式流場(chǎng)中任取一點(diǎn)A，曲面a包圍A點(diǎn)，

為曲面a在A點(diǎn)處的單位法向矢量，曲面周線為S，則環(huán)量與速度矢量的旋度有如下關(guān)系當(dāng)

與

方向一致時(shí)，流場(chǎng)中一點(diǎn)，取與該點(diǎn)速度旋度方向一致的微元曲面,則單位面積的速度環(huán)量大小與曲面趨近點(diǎn)的速度旋度的模相等。所以，投影分量形式流場(chǎng)中任取一點(diǎn)A，曲面a包圍A2、物理意義若P為曲面a的周線S上一點(diǎn)，沿S走過(guò)微元弧長(zhǎng)ds到達(dá)Q點(diǎn)，其瞬時(shí)中心為O，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r，則扇形面積為POQ，當(dāng)a→0時(shí)，點(diǎn)P沿S走過(guò)微元弧長(zhǎng)ds對(duì)瞬時(shí)中心為O在曲面a上掃過(guò)的面積當(dāng)a→0時(shí)，曲面趨近于平面，則其中，ω為角速度，也是按照右手螺旋法則確定方向，

表示沿S的平均角速度。當(dāng)a→0時(shí)，A點(diǎn)與O點(diǎn)重合，A點(diǎn)旋度大小即等于周線S上各點(diǎn)對(duì)點(diǎn)A角速度平均值的二倍，或者說(shuō)某一點(diǎn)的角速度等于該點(diǎn)旋度的模的一半。2、物理意義若P為曲面a的周線S上一點(diǎn)，沿S走過(guò)3、解析式旋度寫(xiě)成分量形式等式右側(cè)可以看作空間曲面a在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影面的環(huán)量例

為曲面a在xy坐標(biāo)平面上投影面的環(huán)量，由于a→0，投影面可以看作任意形狀，取為微元矩形dxdy，沿周界的環(huán)量為xyz3、解析式旋度寫(xiě)成分量形式等式右側(cè)可以看作空間所以同理故討論A點(diǎn)的旋度時(shí)，只要求a→0，并沒(méi)有限定a的形狀、方位，推導(dǎo)時(shí)，也沒(méi)有限定坐標(biāo)系的方向，所以旋度只與A點(diǎn)在流場(chǎng)中的位置有關(guān)，即旋度只是空間坐標(biāo)（x,y,z）的函數(shù)，而與a的形狀及其趨近于零的方式無(wú)關(guān)。所以同理故討論A點(diǎn)的旋度時(shí)，只要求a→0，并沒(méi)有4、斯托克斯公式將曲面a分成微小的da之后，每一塊微小面積與其旋度乘積的總和等于沿曲面a的周界S的環(huán)量，因?yàn)樵谙噜弮蓚€(gè)微小曲面da的交界上環(huán)量是互相抵消的。

速度分量

在閉合曲線S上的環(huán)流量等于其旋度經(jīng)由此閉合曲線所圍曲面上的通量4、斯托克斯公式將曲面a分成微小的da之后，每二、通量和散度1、定義在流場(chǎng)中取任意曲面a，

為其法線，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)a的流體體積叫做曲面a的通量或流量，以Q表示，通量Q可以通過(guò)a上的微小曲面da上的微元通量得到由于所以二、通量和散度1、定義在流場(chǎng)中取任意曲面a，且因此如果在流場(chǎng)中包含A點(diǎn)取封閉曲面a，a所包含的體積為v，則當(dāng)v→0時(shí)，單位體積的通量叫做A點(diǎn)的散度，由封閉曲面a流出的通量可以看作是體積的膨脹量（或收縮量），所以散度也就是A點(diǎn)的體積膨脹（收縮）率且因此如果在流場(chǎng)中包含A點(diǎn)取封閉曲面a，a所包2、解析式流場(chǎng)中包圍A點(diǎn)取微小六面體，微元通量根據(jù)散度定義2、解析式流場(chǎng)中包圍A點(diǎn)取微小六面體，微元通量根據(jù)散度定義包圍A點(diǎn)的封閉曲面形狀是任意的，推導(dǎo)中包圍A點(diǎn)的微小六面體的方位也是任意的，因此，散度只與A點(diǎn)的位置有關(guān)，即是空間坐標(biāo)（x,y,z）的函數(shù)，與v的形狀及其趨近于零的方式無(wú)關(guān)。3、高斯公式通過(guò)散度可計(jì)算流場(chǎng)中某一點(diǎn)的體積膨脹量包圍A點(diǎn)的封閉曲面形狀是任意的，推導(dǎo)中包圍A點(diǎn)三、移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1、移動(dòng)流場(chǎng)中任取一點(diǎn)O，其坐標(biāo)為（

），包圍點(diǎn)O取一流體微團(tuán)v，點(diǎn)O稱為微團(tuán)v的極點(diǎn)，點(diǎn)O的速度

即微團(tuán)v的移動(dòng)速度，

是（

）的函數(shù)，所以微團(tuán)的移動(dòng)速度也是點(diǎn)O空間坐標(biāo)

及時(shí)間t的函數(shù)，如果微團(tuán)內(nèi)另外任意一點(diǎn)A的速度也是

，那么微團(tuán)只有移動(dòng)，不發(fā)生其他運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)A的速度與

不同，則微團(tuán)除去移動(dòng)外還有其他運(yùn)動(dòng)。三、移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1、移動(dòng)流場(chǎng)中任取一點(diǎn)O，其坐標(biāo)為2、轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)微團(tuán)極點(diǎn)O，在微團(tuán)上作三個(gè)與

平行的坐標(biāo)軸

，使其與微團(tuán)一起運(yùn)動(dòng)，將微團(tuán)及其坐標(biāo)軸投影到原坐標(biāo)系統(tǒng)

的三個(gè)平面上，以

平面進(jìn)行分析，取

的平分線od，將其對(duì)于z軸的角速度定義為微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度分量。經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，微團(tuán)由v運(yùn)動(dòng)到vˊ，極點(diǎn)O因沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)仍用O表示，Oxy坐標(biāo)軸變?yōu)镺xˊyˊ，∠x(chóng)ˊOyˊ的平分線為Odˊ,自O(shè)點(diǎn)沿Ox,Oy方向取dxdy距離，則y軸轉(zhuǎn)角∠yOyˊ2、轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)微團(tuán)極點(diǎn)O，在微團(tuán)上作三個(gè)與dd’y’x’oyxdydxdd’y’x’oyxdydxx軸轉(zhuǎn)角∠x(chóng)OxˊOd線轉(zhuǎn)角∠dOdˊOd線繞Oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度也就是微團(tuán)繞Oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度，即微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度在Oz軸方向上的分量x軸轉(zhuǎn)角∠x(chóng)OxˊOd線轉(zhuǎn)角∠dOdˊOd線繞Oz軸的旋轉(zhuǎn)角同理可得微團(tuán)繞Ox軸、Oy軸的旋轉(zhuǎn)角速度，即微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度在Ox軸、Oy軸方向上的分量則微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度由于旋度只是流場(chǎng)中某點(diǎn)（微團(tuán)極點(diǎn)）的空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，所以微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)速度也只是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，其數(shù)值等于極點(diǎn)O附近的點(diǎn)對(duì)O的旋轉(zhuǎn)速度的平均值。如果微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度都等于

，則微團(tuán)只有旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生變形，否則，微團(tuán)除去轉(zhuǎn)動(dòng)以外，還將發(fā)生變形，即切變運(yùn)動(dòng)。同理可得微團(tuán)繞Ox軸、Oy軸的旋轉(zhuǎn)角速度，即微四、角變形和體變形1、角變形微團(tuán)的變形是由于微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度不均勻引起的Od線在dt時(shí)間內(nèi)在xy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角為∠dOdˊOx線在dt時(shí)間內(nèi)在xy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角為∠x(chóng)OxˊOy線在dt時(shí)間內(nèi)在xy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角為－∠yOyˊ與Od線的轉(zhuǎn)動(dòng)相比較Ox軸旋轉(zhuǎn)角的不均勻程度∠x(chóng)Oxˊ-∠dOdˊ四、角變形和體變形1、角變形微團(tuán)的變形是由于微Oy軸旋轉(zhuǎn)角的不均勻程度∠yOyˊ-∠dOdˊ

Ox、Oy軸旋轉(zhuǎn)角的不均勻程度大小相等而方向相反，微團(tuán)發(fā)生變形——角變形單位時(shí)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)角的不均勻程度叫做切變速度，記為θOz方向的微團(tuán)切變速度為Oy軸旋轉(zhuǎn)角的不均勻程度∠yOyˊ-∠dOdˊ同理Ox方向的微團(tuán)切變速度為Oy方向的微團(tuán)切變速度為于是微團(tuán)切變速度若θ為正，微團(tuán)角變形減小，收縮切變?nèi)籀葹樨?fù)，微團(tuán)角變形增大，擴(kuò)展切變與旋轉(zhuǎn)速度相同，微團(tuán)切變速度也只是O點(diǎn)坐標(biāo)

及時(shí)間t的函數(shù)，切變速度也是微團(tuán)內(nèi)極點(diǎn)O附近各點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不均勻程度的平均值同理Ox方向的微團(tuán)切變速度為Oy方向的微團(tuán)切變速度為于是微團(tuán)2、體變形(線變形)微團(tuán)極點(diǎn)O移動(dòng)速度

，x軸分速度

，A點(diǎn)與O點(diǎn)速度不同，兩點(diǎn)距離在x軸方向上投影為dx，A點(diǎn)在x軸方向分速度

，則

為A點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)在x軸方向上的相對(duì)速度，由于相對(duì)速度的存在，將造成微團(tuán)在x軸方向上的伸長(zhǎng)（收縮），——微團(tuán)在x軸方向上dt時(shí)間內(nèi)伸長(zhǎng)（收縮）量2、體變形(線變形)微團(tuán)極點(diǎn)O移動(dòng)速度——微團(tuán)在x軸方向上的伸長(zhǎng)（收縮）率——單位時(shí)間內(nèi)的伸長(zhǎng)（收縮）率叫做微團(tuán)在x軸方向上的膨脹（收縮）速度——體變形同理微團(tuán)膨脹速度——微團(tuán)在x軸方向上的伸長(zhǎng)（收縮）率——單位時(shí)間內(nèi)的伸長(zhǎng)（收例.求平面流場(chǎng)

的ω，θ，ε旋轉(zhuǎn)速度：切變速度：膨脹速度：該流場(chǎng)為穩(wěn)定流場(chǎng)，無(wú)旋流動(dòng)，收縮切變，無(wú)體變形例.求平面流場(chǎng)3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

流體微團(tuán)與流體質(zhì)點(diǎn)是兩個(gè)不同的概念。在連續(xù)介質(zhì)的概念中，流體質(zhì)點(diǎn)是可以忽略線性尺度效應(yīng)(如膨脹、變形、轉(zhuǎn)動(dòng)等)的最小單元，而流體微團(tuán)則是由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)。由理論力學(xué)可知，在一般情況下，固體質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)是由平移運(yùn)動(dòng)及繞某一瞬時(shí)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所組成。對(duì)于流體運(yùn)動(dòng)，由于質(zhì)點(diǎn)間沒(méi)有剛性聯(lián)系，所以流體運(yùn)動(dòng)要比固體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)可以歸結(jié)為三種基本形式的組合，即平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。其中變形運(yùn)動(dòng)又分為線變形和角變形(又稱剪切變形)。3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)與流體質(zhì)點(diǎn)3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

根據(jù)海姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，在運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)中任意點(diǎn)的速度，可分解為三部分：在流體微團(tuán)上所選取的參考點(diǎn)的平均速度；繞過(guò)這個(gè)參考點(diǎn)的瞬時(shí)軸的旋轉(zhuǎn)速度；以及變形運(yùn)動(dòng)速度。3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解根據(jù)海姆霍茲(He3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

如下圖所示，若以流體微團(tuán)上的D點(diǎn)為參考點(diǎn)，則A點(diǎn)的速度可按以下表達(dá)式表示。DAxrArD

ruxDuzDuyDuzAuxAuyA

z

x

yoyz流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解示意圖3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解如下圖所示，若以流體微3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

令參考點(diǎn)的平移速度分別為：uxD＝ux；uyD＝uy；uzD＝uz。則即同理，可得3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解令參考點(diǎn)的平移速度3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解其中位移向量：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度分量：3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解其中位移向量：3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)相對(duì)線變形速度分量：流體微團(tuán)剪切變形(或稱變形)速度分量：3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解流體微團(tuán)3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

由于uA＝uxAi＋uyAj＋uzAk，uD＝u＝uxi＋uyj＋uzk，因此考慮到ω＝

xi＋

yj＋

zk，

r＝

xi＋

yj＋

zk，而ω

r＝(

y

z-

z

y)i＋(

z

x-

x

z)j＋(

x

y-

y

x)k，所以3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解由于uA＝uxAi3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

若采用變形速度張量則由于

r＝rA-rD，所以這就是海姆霍茲速度分解定理的一般形式，它描述了流體微團(tuán)上任意一點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的速度關(guān)系。3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解若采用變形速度張量3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

海姆霍茲速度分解定理將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)從流體的一般運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，對(duì)研究流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題極為重要?？紤]流體微團(tuán)有無(wú)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可將流體運(yùn)動(dòng)分為有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)來(lái)研究。對(duì)于粘性流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，必須研究變形速度與流體所受應(yīng)力之間的關(guān)系，海姆霍茲定理中很好地體現(xiàn)出了流體變形速度張量。在不同的坐標(biāo)系中，流體變形速度張量和旋轉(zhuǎn)角速度向量的表達(dá)式也不同。3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解海姆霍茲速度分解定3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解正交曲線坐標(biāo)系沿曲線坐標(biāo)q1、q2、q3方向的直線相對(duì)變形速度:與坐標(biāo)線q1

與q2相切的平面內(nèi)的剪切變形速度:3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解正交曲線坐標(biāo)系沿曲線坐標(biāo)q1、3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解用正交曲線坐標(biāo)表達(dá)的旋轉(zhuǎn)角速度分量為在圓柱坐標(biāo)系中在圓球坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解用正交曲線坐標(biāo)表達(dá)的旋轉(zhuǎn)角速度分量直角坐標(biāo)系條件下旋轉(zhuǎn)角速度體變形速度切變速度變形速度張量主對(duì)角線——直線變形速度分量其他——剪切變形速度分量直角坐標(biāo)系條件下旋轉(zhuǎn)角速度體變形速度切變速度變形速度張量主對(duì)3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，流體變形速度張量為各分量為體變形速度切變速度3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解在圓柱坐標(biāo)系(r,3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

在柱坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)角速度向量的分量為3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解在柱坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)ppt課件3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

在球坐標(biāo)系(r,θ,φ)中，流體變形速度張量為變形速度張量各分量為體變形速度切變速度3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解在球坐標(biāo)系(r,θ3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解

在球坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)角速度向量的分量為3.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解在球坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)3.3有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

海姆霍茲速度分解定理將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從流體的一般運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，因而可將流體運(yùn)動(dòng)分為有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。ω＝0為無(wú)旋流動(dòng)，ω≠0為有旋流動(dòng)。判斷流體運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋流動(dòng)還是有旋流動(dòng)，應(yīng)根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)考慮，而與流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的軌跡并無(wú)必然的關(guān)系。下圖a)中雖然流體微團(tuán)作圓周運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)本身并不旋轉(zhuǎn)，故為無(wú)旋流動(dòng)；圖b)中雖然流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，但由于微團(tuán)本身在旋轉(zhuǎn)，故為有旋流動(dòng)。

3.3有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)海姆霍茲速度分解定理將旋3.3有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)

無(wú)旋流動(dòng)(圓周運(yùn)動(dòng))有旋流動(dòng)(剪切直線運(yùn)動(dòng))3.3有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)由流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度公式可知無(wú)旋流動(dòng)條件，，，由流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)速度公式可知無(wú)旋流動(dòng)條件，，，例：圓管層流，軸線Oz，流速其中

管心流速，k為常數(shù)（1）求渦旋速度旋轉(zhuǎn)角速度：因此，流場(chǎng)為有旋流動(dòng)例：圓管層流，軸線Oz，流速其中管心流速，k（2）求渦線——渦線方程圓管內(nèi)層流，渦線是截面內(nèi)一系列直徑不等的圓環(huán)；而流線則垂直于橫截面，與管軸平行。只有平面或軸對(duì)稱流動(dòng)時(shí)，渦線與流線正交空間流動(dòng)，只有在固體壁面上，流線才與渦線正交（2）求渦線——渦線方程圓管內(nèi)層流，渦線是截面內(nèi)3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

設(shè)所考慮的流動(dòng)區(qū)域是有旋流動(dòng)。按照歐拉法，任意固定一個(gè)時(shí)刻t，則流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)均有一個(gè)確定的向量rotu＝

×u，從而組成一向量場(chǎng)稱為渦量場(chǎng)，記作

Ω＝rotuΩ稱為渦量，它不僅依賴于流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置r，而且還依賴于時(shí)間t，即是空間坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)。

Ω＝Ω(r,t)3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)設(shè)所考慮的流3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

渦量場(chǎng)有一個(gè)重要特性，即渦量的散度為零。

·Ω＝0（渦流場(chǎng)為一無(wú)源場(chǎng)）

上式也稱作渦量連續(xù)性方程。這一特性是由Ω的定義所決定的，因?yàn)棣福?/p>

×u，所以可得

·Ω＝

·(

×u)＝0

既然渦量場(chǎng)是向量場(chǎng)，類似于速度場(chǎng)的幾何表示形式，可引進(jìn)幾何上表征渦量場(chǎng)的一些概念。3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)渦量場(chǎng)有一個(gè)3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(1)渦線渦線是這樣一條曲線，曲線上任意一點(diǎn)的切線方向與在該點(diǎn)的流體的渦量方向一致。因?yàn)棣福?ω，所以渦線也可看作流體微團(tuán)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。渦線是對(duì)同一時(shí)刻而言的，不同時(shí)刻渦線可能不同。渦線的方程由其定義可知為

Ω×dr＝0

其中dr為渦線切線方向的向量元素。展開(kāi)上式可得渦線微分方程3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(1)渦線3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(1)渦線對(duì)于非定常流動(dòng)，在渦線方程中會(huì)出現(xiàn)自變量時(shí)間t，但這個(gè)t是作為參數(shù)形式出現(xiàn)的，所以渦線的形狀可以隨時(shí)間變化。對(duì)于定常流動(dòng)，渦線將不隨時(shí)間變化。根據(jù)渦線的定義，過(guò)一點(diǎn)只能作一條渦線。

渦線321

3

1

23.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(1)渦線

象流線一樣，一般本身不能相交，除非在

處，類似于駐點(diǎn)處流線相交的情況；渦線一般不與流線重合，如圓管內(nèi)的流動(dòng)，流線垂直于橫截面，渦線為橫截面內(nèi)直徑不等的一族圓環(huán)，事實(shí)上，在平面流動(dòng)和軸對(duì)稱流動(dòng)中，渦線與流線是正交的，在空間流動(dòng)中，只有固體壁面上的流線才與渦線正交。(1)渦線象流線一樣，一般本身不能相交，除非在3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)渦管在渦量場(chǎng)中任取一條非渦線的可縮封閉曲線，在同一時(shí)刻過(guò)該曲線的每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成的管狀曲面稱作渦管?？煽s封閉曲線是指此曲線可收縮到一點(diǎn)而不越過(guò)流場(chǎng)的邊界。

渦管渦線ω3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)渦管3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(3)渦通量(旋渦強(qiáng)度)

旋轉(zhuǎn)角速度ω與垂直于ω的微小斷面面積dA的乘積稱為旋轉(zhuǎn)角速度ω的通量，它的兩倍定義為旋渦強(qiáng)度，或稱渦通量。ndAω渦通量(旋渦強(qiáng)度)3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(3)渦通3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(3)渦通量(旋渦強(qiáng)度)

如果ω與dA不正交，則通過(guò)曲面A的旋渦強(qiáng)度可用如下積分表示?；蚴街衝為微元面積dA的外法線方向單位向量?？梢宰C明，在任一瞬時(shí)，沿渦管長(zhǎng)度各斷面上的旋渦強(qiáng)度不變。

3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(3)渦通3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(4)速度環(huán)量在流場(chǎng)中任取一條封閉曲線L，速度沿該封閉曲線的線積分稱為曲線L的速度環(huán)量

速度環(huán)量ΓLdlu3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(4)速度3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(4)速度環(huán)量速度環(huán)量是標(biāo)量,其符號(hào)不僅與流場(chǎng)的速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)，為統(tǒng)一起見(jiàn)，規(guī)定積分時(shí)的繞行方向是逆時(shí)針?lè)较?，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)，如下圖所示。當(dāng)沿順時(shí)針?lè)较蚶@行時(shí)，速度環(huán)量公式前應(yīng)加負(fù)號(hào)。被包圍面積的法線的正方向應(yīng)與繞行的正方向成右手螺旋系統(tǒng)。3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(4)速度3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(5)斯托克斯定理斯托克斯定理：沿包圍單連通域的有限封閉曲線的速度環(huán)量，等于穿過(guò)此單連通域的旋轉(zhuǎn)角速度通量(即穿過(guò)此區(qū)域的旋渦強(qiáng)度)的兩倍?；蛘咚雇锌怂苟ɡ韺⑺俣拳h(huán)量和旋渦強(qiáng)度聯(lián)系起來(lái)。3.3.1有旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(5)斯托對(duì)于任意一個(gè)以L為周界的曲面A，沿封閉曲線L的速度環(huán)量等于所圍曲面上的渦旋強(qiáng)度（旋轉(zhuǎn)角速度通量的2倍）旋度等于垂直于旋度矢量橫截面上單位面積上的速度環(huán)量旋度投影分量對(duì)于總的渦道對(duì)于任意一個(gè)以L為周界的曲面A，沿封閉曲線L的

(6)加速度環(huán)量封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的變化率等于此封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的加速度環(huán)量時(shí)刻和

時(shí)刻的封閉流體質(zhì)點(diǎn)線時(shí)刻取微元流體質(zhì)點(diǎn)線段

時(shí)刻取微元流體質(zhì)點(diǎn)線段由矢量四邊形化簡(jiǎn)在流體質(zhì)點(diǎn)線上，取AB兩點(diǎn)，沿著AB流體質(zhì)點(diǎn)線的速度環(huán)量(6)加速度環(huán)量封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的速度環(huán)量對(duì)AB圖流體質(zhì)點(diǎn)線AB圖流體質(zhì)點(diǎn)線兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)分解若AB兩點(diǎn)重合Γ為沿封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的速度環(huán)量右端為沿封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的加速度環(huán)量?jī)蛇厡?duì)時(shí)間求導(dǎo)分解若AB兩點(diǎn)重合Γ為沿封閉流體質(zhì)點(diǎn)線的速度環(huán)3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

任意時(shí)刻，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度處處為零，即處處滿足速度旋度為零(

×u＝0)的流動(dòng)稱作無(wú)旋流動(dòng)。真實(shí)流動(dòng)的某些區(qū)域在很多情況下十分接近于無(wú)旋流動(dòng)。作了無(wú)旋流動(dòng)的假定之后，會(huì)使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。無(wú)旋流動(dòng)在流體力學(xué)中占有很重要的地位。無(wú)旋流場(chǎng)存在著一系列重要性質(zhì)，這些性質(zhì)無(wú)論對(duì)于可壓縮流動(dòng)還是不可壓縮流動(dòng)都是適用的。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)任意時(shí)刻，在3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(1)單連通域和多連通域在某個(gè)空間區(qū)域中的任意兩點(diǎn)以連續(xù)線連接，如果連續(xù)線的任何地方都不超過(guò)這個(gè)區(qū)域的邊界，這樣的空間區(qū)域稱為連通域。如果在連通域中的任意封閉曲線能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)，而不越過(guò)此連通域的邊界，這種連通域稱為單連通域。如：球體內(nèi)部的區(qū)域；兩個(gè)同心球之間的區(qū)域。凡是不具有單連通域性質(zhì)的連通域稱為多連通域，如：兩個(gè)柱形面之間的區(qū)域。隔面：以連通域邊界上的封閉線為邊，并完全處于連通域中，又不影響連通性質(zhì)的面，稱為隔面。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(1)單連3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(1)單連通域和多連通域

a、在單連通域中，不可能作任一隔面而不破壞區(qū)域的單連通性質(zhì)；

b、在多連通域中，可以作出數(shù)個(gè)隔面，使其成為多個(gè)單連通域。

連通域oL

隔面L

BAyx3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(1)單連3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

上圖是兩個(gè)柱形面之間的空間。

a、在兩柱形面之間的空間中作任意曲線L

，由于L

能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)，故該域是連通域；

b、作一包圍內(nèi)柱形面的封閉曲線L

，由于L

不能連續(xù)地收縮成一點(diǎn)，故該域是多連通域；

c、如在域內(nèi)作一隔面，則該域變?yōu)閱芜B通域；

d、如果在域內(nèi)最多可作n個(gè)隔面，則稱該域?yàn)?n+1)連通域。兩個(gè)柱形面之間的空間是雙連通域，包圍翼型或點(diǎn)渦的流場(chǎng)也是雙連通域。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)上圖是兩個(gè)柱3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為：平移、變形和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。無(wú)旋流動(dòng)的條件是

rot

u＝0或者

×u＝0

在數(shù)學(xué)上，以上關(guān)系式就是在單連通域內(nèi)速度u有勢(shì)的充分且必要條件。即無(wú)旋流動(dòng)時(shí)必然存在速度勢(shì)函數(shù)φu＝

φ或者；；

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

無(wú)旋流動(dòng)必定存在速度勢(shì)函數(shù)，因此，無(wú)旋流動(dòng)也叫有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。

在圓柱坐標(biāo)系(r,

,z)中，無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿足

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

a、單連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)在單連通域內(nèi)，取速度沿曲線AB的線積分(沿AB的速度環(huán)量)：ozxyABudl3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

a、單連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)：在單連通域內(nèi)的無(wú)旋流動(dòng)中，任意兩點(diǎn)的速度勢(shì)函數(shù)之差等于沿這兩點(diǎn)之間任意曲線的線積分（速度環(huán)量）。即：A、B兩點(diǎn)間沿某曲線所取的線積分（速度環(huán)量）與積分路徑無(wú)關(guān)。

AB兩點(diǎn)重合，封閉曲線，沿封閉曲線的線積分（速度環(huán)量）為零，即速度勢(shì)為單值函數(shù)3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

b、雙連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)

如圖，在雙連通域中，速度沿封閉曲線L1的速度環(huán)量為

雙連通域EDFL2L1ACBL03.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

b、雙連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)為了說(shuō)明雙連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)φ的性質(zhì)，再取一條封閉曲線L2，并在L1和L2之間作兩條無(wú)限接近的線段AF、CD，這樣就形成新的封閉曲線L＝ABCDEFA。這一新封閉曲線L可看作在單連通域內(nèi)，取沿L的速度環(huán)量(考慮到無(wú)旋流動(dòng)的條件)由于上式右端的第二、四項(xiàng)大小相同方向相反，相互抵消，所以3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)

b、雙連通域內(nèi)速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)在封閉曲線L＝ABCDEFA中，沿L1積分時(shí)為逆時(shí)針?lè)较?，沿L2積分時(shí)為順時(shí)針?lè)较颉，F(xiàn)都按逆時(shí)針?lè)较蚩紤]，則由于L1和L2都是任意取的封閉曲線，因此，上式說(shuō)明在雙連通域內(nèi)包圍內(nèi)邊界的任何封閉曲線上的速度環(huán)量是相等的。在雙連通域內(nèi)，每繞包圍內(nèi)邊界的任意封閉曲線一次，速度環(huán)量將增加Γ0；若繞n次，則環(huán)量增加nΓ0。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(2)速度勢(shì)函數(shù)及其性質(zhì)在單連通域內(nèi)，由于速度勢(shì)函數(shù)φ是單值函數(shù)，因此沿封閉曲線的速度環(huán)量為零。在雙連通域內(nèi)，每繞一次包圍內(nèi)邊界的任意封閉曲線，速度環(huán)量將增加Γ0

（不為零）

，因而速度勢(shì)φ不是單值函數(shù)；雖然是無(wú)旋流動(dòng)，但同一點(diǎn)的速度勢(shì)φ可能是多值的。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(2)速度3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(3)加速度有勢(shì)

采用歐拉法，流場(chǎng)中某點(diǎn)的加速度可表示成由向量微分關(guān)系若A＝B＝u，上式可寫(xiě)成3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(3)加速3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)

(3)加速度有勢(shì)

引入無(wú)旋流動(dòng)的條件，

×u＝0，則或者式中稱之為加速度勢(shì)函數(shù)。

無(wú)旋流動(dòng)時(shí)的速度有勢(shì)，無(wú)旋流動(dòng)時(shí)的加速度也有勢(shì)。

3.3.2無(wú)旋流動(dòng)的基本性質(zhì)(3)加速

(4)不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的動(dòng)能設(shè)流場(chǎng)體積為v，v內(nèi)不可壓縮流體動(dòng)能由于（不可壓縮）由高斯公式：A——包圍V的封閉邊界——邊界外法向單位矢量不可壓縮無(wú)旋流，動(dòng)能完全取決于邊界上的φ及φ的梯度

(4)不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的動(dòng)能設(shè)流場(chǎng)體積為v，v內(nèi)不可壓縮流

(5)不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的求解1、求解方法：無(wú)旋流存在速度勢(shì)函數(shù)，求流場(chǎng)時(shí)，不必求速度分量，而是先求速度勢(shì)函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)可得速度分量給定邊界求速度場(chǎng)——運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題由速度場(chǎng)求壓強(qiáng)場(chǎng)——?jiǎng)恿W(xué)問(wèn)題對(duì)于無(wú)旋流，存在速度勢(shì)函數(shù)φ，求解滿足速度勢(shì)函數(shù)的Laplace方程——速度場(chǎng)對(duì)于平面流動(dòng)（軸對(duì)稱流動(dòng)），存在流函數(shù)ψ，求解滿足流函數(shù)ψ的Laplace方程（平面流動(dòng)）或非Laplace方程（軸對(duì)稱流動(dòng)）——速度場(chǎng)然后以勢(shì)流伯努利方程求解壓強(qiáng)場(chǎng)(5)不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)的求解1、求解方法：無(wú)求解速度場(chǎng)時(shí)：（1）逆命題——已知滿足laplace方程的一些勢(shì)函數(shù)φ或流函數(shù)ψ，確定滿足邊界條件的

φ或ψ選擇法——適當(dāng)選擇勢(shì)函數(shù)

φ或流函數(shù)ψ，滿足給定的邊界條件的方法；疊加法——幾個(gè)勢(shì)函數(shù)

φ或流函數(shù)ψ，疊加后仍滿足Laplace方程（線性），只要疊加后流動(dòng)邊界條件滿足給定的邊界條件的方法；（2）正命題——按照給定的邊界條件解laplace方程（）直接求解（簡(jiǎn)單邊界）第一類邊界：全部邊界上給出

φ或ψ——Dirichlet問(wèn)題求解速度場(chǎng)時(shí)：（1）逆命題——已知滿足laplace方程的一第二類邊界：全部邊界上給出

φ的導(dǎo)數(shù)

或ψ的導(dǎo)數(shù)——Noumann問(wèn)題第三類邊界：部分邊界上給出

φ或

ψ，其他邊界上給出φ的導(dǎo)數(shù)

或ψ的導(dǎo)數(shù)——Cauchy問(wèn)題數(shù)值求解（復(fù)雜邊界）有限差分法有限元法邊界元法對(duì)于邊界比較簡(jiǎn)單的流動(dòng),求解比較容易;對(duì)于具有復(fù)雜邊界的流動(dòng),求解困難,通常很難求得解析解。第二類邊界：全部邊界上給出φ的導(dǎo)數(shù)或ψ的導(dǎo)數(shù)—2、唯一性定理求解Laplace方程時(shí)，應(yīng)確定什么條件下Laplace方程的解是唯一的單連通域中，Laplace方程解的唯一性定理設(shè)

為單連通域內(nèi)外邊界，

為

的法向單位矢量單連通域中，

φ為單值函數(shù)動(dòng)能（流域的外法線方向?yàn)檎?、唯一性定理求解Laplace方程時(shí)，應(yīng)確定n2A1A2n1dAn2A1A2n1dA現(xiàn)假設(shè)存在兩個(gè)速度勢(shì)函數(shù)φ，φ’，則φ，φ’都滿足Laplace方程令

，則速度勢(shì)函數(shù)

也滿足Laplace方程疊加后，新的流動(dòng)動(dòng)能又由于：對(duì)于新的流場(chǎng)而言，只有當(dāng)

時(shí)，現(xiàn)假設(shè)存在兩個(gè)速度勢(shì)函數(shù)φ，φ’，則φ，φ’此時(shí)

，即φ與φ’代表同一流場(chǎng)，Laplace方程的解唯一。要使得

，則需（1）全部邊界上，

，即全部邊界上給定φ，第一類邊界條件（2）全部邊界上，

，即全部邊界上給定

，第二類邊界條件（3）部分邊界上，

，部分邊界上，

，即部分邊界上給定φ，部分邊界上給定

，第三類邊界條件單連通域不可壓縮無(wú)旋流場(chǎng)滿足上述邊界條件之一，Laplace方程的解唯一。此時(shí)，即φ與φ’代3.4復(fù)勢(shì)理論基礎(chǔ)

3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

(1)速度勢(shì)函數(shù)無(wú)旋流動(dòng)存在速度勢(shì)函數(shù)

，且

u＝

對(duì)于不可壓縮流體，考慮其連續(xù)性方程

·

u＝0得到

·

＝0或

2

＝0上式表明速度勢(shì)滿足拉普拉斯(Laplace)方程。

3.4復(fù)勢(shì)理論基礎(chǔ)3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

(1)速度勢(shì)函數(shù)在數(shù)學(xué)上，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，因而速度勢(shì)

是調(diào)和函數(shù)。拉普拉斯方程是不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)的基本方程。對(duì)于平面二維流動(dòng)，有3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

連續(xù)性方程簡(jiǎn)化形式二維定?？蓧嚎s流體流動(dòng)不可壓縮流動(dòng)直角坐標(biāo)系3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

在平面流動(dòng)或軸對(duì)稱流動(dòng)中，由連續(xù)性方程可引入流函數(shù)流函數(shù)將自動(dòng)滿足連續(xù)性方程，故將流函數(shù)作為求解變量時(shí)，可少一個(gè)連續(xù)性方程，無(wú)論對(duì)于理想流體流動(dòng)還是粘性流體流動(dòng)，均具有重要意義。(2)流函數(shù)及其性質(zhì)連續(xù)性方程簡(jiǎn)化形式二維定常可壓縮流體(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

圓柱坐標(biāo)系二維定?？蓧嚎s流體流動(dòng)軸對(duì)稱流動(dòng)不可壓縮流動(dòng)，繼續(xù)簡(jiǎn)化為不可壓縮流動(dòng)，繼續(xù)簡(jiǎn)化為(2)流函數(shù)及其性質(zhì)3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

下面引入在流體力學(xué)中占有重要地位的流函數(shù)ψ的概念。由平面二維流動(dòng)的流線微分方程得由高等數(shù)學(xué)知道，在單連通域內(nèi)為某一函數(shù)ψ的全微分的充分必要條件是即這就是不可壓縮流體平面二維流動(dòng)的連續(xù)性方程。3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

因此，在不可壓縮流體平面二維流動(dòng)中，必定存在函數(shù)ψ(x,y)，使得下式成立。因?yàn)樗?，函?shù)ψ(x,y)叫做不可壓縮流體平面二維流動(dòng)的流函數(shù)。

3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)當(dāng)ψ為常數(shù)時(shí)，，即流線方程所以

為常數(shù)的線即為流線還可以證明，通過(guò)流場(chǎng)中任意兩點(diǎn)之間的連線的體積流量為該兩點(diǎn)流函數(shù)之差。當(dāng)ψ為常數(shù)時(shí)，，即如圖所示，在兩流線間任一曲線AB，則通過(guò)單位厚度的體積流量為

說(shuō)明流函數(shù)物理意義用圖由上式可知，平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)之差。如圖所示，在兩流線間任一曲線AB，則通過(guò)3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

在圓柱坐標(biāo)系(r,

)中，不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)滿足當(dāng)ψ為常數(shù)時(shí)，，——流線方程所以

為常數(shù)的線即為流線3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)軸對(duì)稱流動(dòng)

（二維柱坐標(biāo)系）

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

當(dāng)ψ為常數(shù)時(shí)，，——流線方程所以

為常數(shù)的線即為流線軸對(duì)稱流動(dòng)（二維柱坐標(biāo)系）(2)流函不可壓縮軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù)稱為Stokes流函數(shù)，與不可壓縮平面流動(dòng)有類似的性質(zhì)?？勺C明子午面上，任意兩點(diǎn)流函數(shù)之差的

倍等于通過(guò)該兩點(diǎn)之間任意連線的旋成面的體積流量。

在Roz子午面上，任取兩點(diǎn)A和B，AB為任意連接的曲線，是以z軸為軸線的某一旋成面的母線，通過(guò)旋成面的體積流量為

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

不可壓縮軸對(duì)稱流動(dòng)的流函數(shù)稱為Stokes流函AB-dzdrdszr斯托克斯流函數(shù)的意義AB-dzdrdszr斯托克斯流函數(shù)的意義在直角坐標(biāo)系中，不可壓平面流動(dòng)流函數(shù)的基本性質(zhì)敘述如下：

a.

等流函數(shù)線為流線；

b.

兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差等于過(guò)此兩點(diǎn)連線的體積流量。

(2)流函數(shù)及其性質(zhì)

在直角坐標(biāo)系中，不可壓平面流動(dòng)流函數(shù)的基本性質(zhì)敘述如下：3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)

對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)即考慮流速與流函數(shù)的關(guān)系，得流函數(shù)ψ(x,y)也滿足拉普拉斯(Laplace)方程，也是調(diào)和函數(shù)。

二維不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，流函數(shù)方程具有l(wèi)aplace拉普拉斯方程形式3.4.1不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)平面或軸對(duì)稱不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)時(shí)的流函數(shù)方程1、平面流動(dòng)

（二維笛卡爾坐標(biāo)系）有旋流將流函數(shù)代入上式，可得——Poisson泊松方程形式平面或軸對(duì)稱不可壓縮無(wú)旋流動(dòng)時(shí)的流函數(shù)方程1、平面流動(dòng)2、平面流動(dòng)

（二維柱坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系）例：建立極坐標(biāo)系下不可壓縮流體平面有旋流動(dòng)流函數(shù)方程有旋流無(wú)旋流時(shí)——laplace方程形式2、平面流動(dòng)（二維柱坐標(biāo)系、平面極坐3、軸對(duì)稱流動(dòng)

（二維柱坐標(biāo)系）有旋流無(wú)旋流——不是laplace方程形式不可壓縮流體軸對(duì)稱無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，流函數(shù)滿足的方程不是laplace拉普拉斯方程形式3、軸對(duì)稱流動(dòng)（二維柱坐標(biāo)系）有旋流對(duì)于平面流動(dòng)或軸對(duì)稱流動(dòng)

無(wú)論是理想流體還是粘性流體、無(wú)論是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，只要是不可壓縮流體流動(dòng)，總存在流函數(shù)；但對(duì)于可壓縮流體流動(dòng)，由于連續(xù)性方程中多了對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)一項(xiàng)，因此只有在定常流動(dòng)時(shí)存在流函數(shù)對(duì)于平面流動(dòng)或軸對(duì)稱流動(dòng)3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

對(duì)于不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)，存在速度勢(shì)函數(shù)

和流函數(shù)ψ，

和ψ都滿足拉普拉斯方程，

和ψ均為調(diào)和函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中或者上式是聯(lián)系

和ψ的關(guān)系式，稱之為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件。

3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度對(duì)于不可壓縮流3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

在數(shù)學(xué)上，滿足柯西-黎曼條件的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)

和ψ，可以構(gòu)成一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)w(z)。

◆復(fù)數(shù)：對(duì)于任意二實(shí)數(shù)x、y，稱z=x+iy為復(fù)數(shù)。有如下表示方法：

復(fù)平面上的坐標(biāo)點(diǎn)：z=x+iy；復(fù)平面

復(fù)平面上過(guò)原點(diǎn)指向點(diǎn)（x,y）的向量；

三角函數(shù)形式：

指數(shù)函數(shù)形式：3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度在數(shù)學(xué)上，滿足3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

◆復(fù)變函數(shù)：設(shè)有一復(fù)數(shù)z=x+iy的集合G，如果有一確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每個(gè)復(fù)數(shù)z，就有一個(gè)或幾個(gè)相應(yīng)的復(fù)數(shù)w=u+iv隨著確定，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)（復(fù)變函數(shù)），表示為：w=f(z)。

◆定理一：函數(shù)f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是：u(x，y)、v(x，y)在D任一點(diǎn)(x，y)可微，且滿足柯西-黎曼條件：3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度◆復(fù)變函數(shù)：設(shè)有一復(fù)數(shù)

◆定理三：如果f(z)=u(x，y)+iv(x，y)是解析函數(shù)，那么必互相正交。

◆解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

◆定理二：任何一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都滿足拉普拉斯方程：◆定理三：如果f(z)=u(x，y)+iv(x，y3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

復(fù)變函數(shù)w(z)不僅是兩個(gè)一般變量x、y的函數(shù)，而且是復(fù)變量z＝x＋iy的解析函數(shù)，解析函數(shù)w(z)稱為復(fù)勢(shì)函數(shù)。復(fù)勢(shì)函數(shù)w(z)與速度勢(shì)函數(shù)

及流函數(shù)ψ之間有以下關(guān)系：

＝Re

w(z)實(shí)部

ψ＝Im

w(z)虛部3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

顯然，任何一種實(shí)際的不可壓流體平面無(wú)旋流動(dòng)必有一個(gè)確定的復(fù)勢(shì)函數(shù)w(z)；反之，任何一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)w(z)有可能代表一種不可壓流體平面無(wú)旋流動(dòng)，不過(guò)，要看這些復(fù)勢(shì)函數(shù)本身有沒(méi)有物理意義。一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)w(z)對(duì)自變量z的導(dǎo)數(shù)，只是流場(chǎng)某點(diǎn)位置的函數(shù)，與求導(dǎo)方向無(wú)關(guān)，即導(dǎo)數(shù)dw/dz稱為復(fù)速度，其實(shí)部為x方向的速度分量，虛部為y方向速度分量的負(fù)值。3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度顯然，任何一種3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

復(fù)速度的共軛函數(shù)稱之為共軛復(fù)速度。復(fù)速度的模就是速度的絕對(duì)值3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度復(fù)速度的共軛函3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

因此，復(fù)速度也可表示為式中共軛復(fù)速度可表示為3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度因此，復(fù)速度也可表示為3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度

解的可疊加性：任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的解析函數(shù)的線性組合仍然是解析函數(shù)，因此任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的復(fù)勢(shì)的線性組合仍然是代表某一種流動(dòng)的復(fù)勢(shì)。正是由于復(fù)勢(shì)的這種可疊加性，使我們有可能利用簡(jiǎn)單的復(fù)勢(shì)進(jìn)行線性組合以滿足具體問(wèn)題的邊界條件來(lái)獲得問(wèn)題的解。這種方法又稱奇點(diǎn)疊加法，因?yàn)楹?jiǎn)單復(fù)勢(shì)往往帶有奇點(diǎn)。3.4.2復(fù)勢(shì)函數(shù)和復(fù)速度解的可疊加性：3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)

(1)均勻直線流動(dòng)在速度為常數(shù)u∞的均勻流場(chǎng)中，速度u∞與x軸的夾角為α，則流場(chǎng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為xu∞yoαz均勻直線流動(dòng)3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)(1)3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)

(1)均勻直線流動(dòng)相應(yīng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)為或者3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)(1)3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)

(2)點(diǎn)源與點(diǎn)匯流動(dòng)

位于點(diǎn)z0＝x0＋iy0處的點(diǎn)源或點(diǎn)匯流動(dòng)

xyo(x0,y0)z點(diǎn)源流動(dòng)點(diǎn)匯流動(dòng)xyo(x0,y0)z3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)(2)3.4.3一些簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)

(2)點(diǎn)源與點(diǎn)匯流動(dòng)

點(diǎn)源或點(diǎn)匯流場(chǎng)的速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為式中Q是源(匯)強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源，Q取正值；對(duì)于點(diǎn)匯，Q取負(fù)值。3.4.3