一、內(nèi)容提要向量空間定義設(shè)Fn

非空子集V滿足條件：(1)若

V,

V,

則

+

V;(2)若

V,k

F,

則

k

V,當(dāng)非空集V滿足條件(1),(2)時,稱V對線性運(yùn)算封閉.

(3)這兩種線性運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算規(guī)律:第1頁一、內(nèi)容提要設(shè)

,

,

V;k,l

F,(i)

+

=+;(加法交換律)(ii)(+)+=+(+);(加法結(jié)合律)(iii)在

V

中存在零元素0,

對任何

V,(v)1=;使得

+(-

)=0;(iv)對任何

V,都有

負(fù)元素-

V,都有

+0=

;(vi)k(l)=(kl)

;(有關(guān)數(shù)乘結(jié)合律)第2頁一、內(nèi)容提要(vii)(k+l)

=k+l;(分派律)(viii)k(+)=k+k,(分派律)則稱V為(數(shù)域F上)線性空間或向量空間.

有關(guān)線性空間兩點(diǎn)說明①

假如數(shù)域F是實(shí)數(shù)域,則稱V為實(shí)線性空間;②

線性空間V必含零向量.假如數(shù)域F是復(fù)數(shù)域,則稱V為復(fù)線性空間;第3頁一、內(nèi)容提要線性空間基本性質(zhì)性質(zhì)1

線性空間零元素是唯一.性質(zhì)2

線性空間任一元素負(fù)元素是唯一.性質(zhì)3

0α=0,(-1)α=-α

,k0=0.性質(zhì)4

假如kα=0,則k=0或α=0.第4頁一、內(nèi)容提要線性空間子空間定義設(shè)W是線性空間V一種非空子集,當(dāng)W

V

時,

W按照V中所定義線性運(yùn)算也組成了一種線性

則稱W是V一種子空間.是V真子空間.稱W假如空間,定理1

設(shè)W是線性空間V一種非空子集,則W是V一種子空間W對于V線性運(yùn)算封閉.第5頁一、內(nèi)容提要生成空間設(shè)a1,a2,...,am是線性空間V中一組向量,記則稱V子集span{a1,…,am

}為由向量組a1,a2,...,am生成V子空間.dimspan{a1,…,am

}

=

R(a1,a2,...,am).第6頁一、內(nèi)容提要向量組線性表達(dá)等價說法

設(shè)有向量組A:a1,…,as,B:b1,…,bt.則有

(2)span{a1,…,as}=span{b1,…,bt}充足必要條件是A

組與B

組等價.(1)span{a1,…,as}為

span{b1,…,bt}子空間充足必要條件是A組可由B組線性表達(dá)；第7頁一、內(nèi)容提要向量空間基和維數(shù)定義

設(shè)

V

為線性空間,

a1,a2,...,ar

V,(i)a1,a2,...,ar

線性無關(guān);(ii)V中任歷來量都可由a1,a2,...,ar線性表達(dá)；則向量組a1,a2,...,ar

稱為線性空間V一種基,假如

r個向量且滿足r

稱為線性空間V維數(shù),并稱V為記作dim(V)=r,

r

維線性空間.第8頁一、內(nèi)容提要有關(guān)線性空間基幾點(diǎn)說明：①若把線性空間V看作向量組,則V基就是向量組最大線性無關(guān)組,

V維數(shù)就是向量組秩.②線性空間基不唯一.③假如線性空間V沒有基,

那么V維數(shù)為0.④若向量組a1,a2

,...,ar

是線性空間V一種基,

則V可表達(dá)為V

={x=

1a1+

2a2+…+

rar|

1,...,

r

F}.第9頁一、內(nèi)容提要向量在基下坐標(biāo)定義

假如在線性空間V中取定一種基α1,α2,…,αr,α=x1α1+x2α2+…+xrαr,數(shù)組

x1,x2,…,xr稱為向量α在基

α1,α2,…,αr下坐標(biāo).那么V中任歷來量α可惟一地表達(dá)為記作(

x1,x2,…,xr)T.第10頁一、內(nèi)容提要線性空間基變換與坐標(biāo)變換

線性空間基變換公式定義設(shè)α1,α2,...,αn和β1,β2,...,βn是n維線性空間V

兩個基,且第二個基可由第一種基表達(dá)為其中aij

為常數(shù)

(i,j=1,2,...,n),則稱矩陣A=(aij)n

n

為由基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn過渡矩陣.第11頁一、內(nèi)容提要利用矩陣乘法,可將上式改寫為：即(1)和(2)稱為基變換公式.第12頁一、內(nèi)容提要(I)α1,α2,...,αn;(II)β1,β2,...,βn.

定理2

設(shè)n維線性空間V有兩個基：且由基(I)

到基(II)過渡矩陣為A,基(I)下坐標(biāo)為x=(x1,x2,...,xn)T,

為y=(y1,y2,...,yn)T,

α在基(II)下坐標(biāo)或則有坐標(biāo)變換公式

坐標(biāo)變換公式第13頁一、內(nèi)容提要向量內(nèi)積與歐氏空間

內(nèi)積和歐氏空間定義設(shè)V是一種實(shí)線性空間,兩個向量α和β都指定了一種實(shí)數(shù)與之對應(yīng),假如對于V中任意這個實(shí)數(shù)記作<α,β>，且滿足下列條件：

(1)對稱性：

<α,β>=<β,α>;(4)非負(fù)性：

<α,α>

0,等號成立充足必要條件是(2)齊次性：<kα,β>=k<α,β>;(3)加性：<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>;α

=0.第14頁一、內(nèi)容提要柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式其中α,β和γ是V中任意向量,則稱實(shí)數(shù)k是任意實(shí)數(shù),<α,β>為α和β內(nèi)積,稱定義了內(nèi)積實(shí)線性空間V為實(shí)內(nèi)積空間或歐幾里得空間,簡稱為歐氏空間.定理3

設(shè)α和β是歐氏空間V中任意兩個向量,則有其中等號成立充要條件是向量α和β線性有關(guān).第15頁一、內(nèi)容提要向量范數(shù)與夾角對歐氏空間Rn來說,Cauchy-

Schwarz不等式是：

向量范數(shù)定義在歐氏空間V中,稱非負(fù)實(shí)數(shù)為向量α

范數(shù)(或長度),記作

||a||.即第16頁一、內(nèi)容提要

范數(shù)基本性質(zhì)對歐氏空間Rn來說,則假如向量α=(a1,a2,...,an

)T,設(shè)α,β為歐氏空間V中任意兩個向量,則向量范數(shù)有下列基本性質(zhì)：k為任意實(shí)數(shù),

(2)齊次性

||kα||=|k|

||α||;(3)三角不等式

||α+β||

||α||+||β||.(1)非負(fù)性

||α||

0,||α||=0充足必要條件是α

=

0;第17頁一、內(nèi)容提要

向量夾角定義非零向量a與b夾角φ為要求:零向量與任歷來量成任意角.

范數(shù)為1

向量稱單位向量.則稱向量a與b正交.

若

<a,b>=0,

非零向量a單位化(或規(guī)范化)向量第18頁一、內(nèi)容提要

距離定義對于歐氏空間V中兩個向量α和β

,稱范數(shù)

||α-β||為α與β距離,記作d(α,β).即d(α,β)=||α-β||.

距離基本性質(zhì)(2)非負(fù)性

d(α,β)≥0,且d(α,β)=0當(dāng)且僅當(dāng)α=β.(3)三角不等式

d(α,β)

d(α,γ)+d(γ,β).(1)對稱性

d(α,β)=d(β,α);第19頁一、內(nèi)容提要標(biāo)準(zhǔn)正交基及其基本性

正交向量組與正交單位向量組定義

對于歐氏空間V中一種向量組,假如向量組且其中向量兩兩正交,中不含零向量,則稱它為向量組或正交規(guī)范向量組.一種正交向量組.假如一種正交向量組中每個向量都是單位向量,則稱它是正交單位向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交第20頁一、內(nèi)容提要

正交向量組性質(zhì)定理4

正交向量組必是線性無關(guān)向量組.

正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基定義

在n維歐氏空間V中,單位向量組或稱為V標(biāo)準(zhǔn)正交基或規(guī)范正交基.由n個向量組成正交向量組稱為V正交基;由n個向量組成正交第21頁一、內(nèi)容提要定理5設(shè)

α1,…,αn

是n維歐氏空間V一種標(biāo)準(zhǔn)設(shè)α和β是V中任意兩個向量,α=x1α1+…+xnαn,β=y1α1+…+ynαn,正交基,則(1)xi=<α,αi

>(i=1,2,…,n),

(2)

<α,β>=x1y1+…+xnyn;即α=<α,α1>α1+…+<α,αn>αn,

(3)||α||=(4)d(α,β)=第22頁一、內(nèi)容提要Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化辦法

問題已知α1,…,αn為n維歐氏空間V一種基,如何求V一種標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,…,en?第一步:先求出V一種正交基β1,β2,…,βn.令…，則β1,β2,…,βn就是V一種正交基.第23頁一、內(nèi)容提要第二步:再求V

一種標(biāo)準(zhǔn)正交基e1,…,en.再令則e1,…,en

就是V一種標(biāo)準(zhǔn)正交基.第24頁一、內(nèi)容提要正交矩陣與正交變換

正交矩陣

正交矩陣幾個簡單性質(zhì)定義設(shè)

A為實(shí)方陣,

假如

ATA=

I,就稱

A為正交矩陣.(1)|A|=±1,即正交矩陣行列式為1或-1;設(shè)A,B

為同階正交矩陣,

則有(2)A-1,AT及A

伴隨矩陣A*均為正交矩陣;

(3)

AB

也是正交矩陣.第25頁一、內(nèi)容提要定理6

實(shí)方陣A為正交矩陣充要條件是A列(行)向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.推論

A為n階正交陣充足必要條件是A列(行)向量組為Rn一種規(guī)范正交基.第26頁一、內(nèi)容提要

Rn上正交變換定義

設(shè)P為n階正交矩陣,稱Rn到Rn線性變換對于x=(x1,

x2,,…,

xn)T∈Rn,

y=Px為Rn正交變換.第27頁一、內(nèi)容提要

正交變換幾個主要性質(zhì)即正交變換保持向量內(nèi)積不變;定理7

設(shè)P為n階正交矩陣,

則有x1,x2是Rn中任意向量,(1)<Px1

,Px2>

=<x1

,x2>

;即正交變換保持向量范數(shù)不變.(2)||Px1||=||x1||;第28頁二、典型例題第29頁例1

檢查下列集合對于所指線性運(yùn)算是否組成(1)與向量(0,1,1)T不平行全體3維數(shù)組向量,

對于數(shù)組向量加法和數(shù)乘運(yùn)算.線性空間.向量α1=(1,1,1)T,α2=(-1,1,1)T都與向量

因此全體與向量(0,1,1)T不平行向量集合對向量加法運(yùn)算不封閉,

解(0,1,1)T但α1+α2=(0,2,2)T與向量(0,1,1)T線性空間.不是故該集合不平行,

平行,第30頁(2)次數(shù)等于

n(n

1)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,

對于多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算.不封閉,

f(x)=xn是xn次多項(xiàng)式,

n次多項(xiàng)式,

解但0·f(x)=0不是x故全體n次多項(xiàng)式集合對數(shù)乘運(yùn)算故此集合不是線性空間.第31頁

(3)n階實(shí)對稱陣全體,

對于矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算.解故V是線性空間.記n階實(shí)對稱陣集合為V

,

(i)若A

V,B

V,

(A+B)T=(ii)若A

V,

R,(A)T

=從而

則A=AT,B=BT,因此

A+B

V.AT+BT

=A+B,則

A=AT,AT=A,因此

A

V.第32頁例2

判定四維向量(四元數(shù)組)是否是R4

一組基.解R4

維數(shù)為4

,

完全取決于這4個向量是否線性無關(guān).四個維向量,故R4

任何一組基有4

個而4個四維向量是否是R4

一組基,第33頁記則故從而向量α1,α2,α3,α4線性無關(guān).因此

1,

2,

3,

4

是

R4基.第34頁例3

已知

R4

兩組基求基

1,

2,

3,

4

到基

1,

2,

3,

4

過渡矩陣.解由基變換公式(

1,

2,

3,

4)=(

1,

2,

3,

4)A求過渡矩陣分析第35頁因此

A=P-1Q.要求出從基

1,

2,

3,

4到基

1,

2,

3,

4

過渡矩陣,

3,

4.設(shè)過渡矩陣為A,

(

1,

2,

3,

4)=(

1,

2,

3,

4)A,記

P=(

1,

2,

3,

4),則上式可寫為即要用向量組

1,

2,

3,

4表達(dá)向量組

1,

2,則有用矩陣初等行變換來求P-1Q.Q=(

1,

2,

3,

4),Q=PA,第36頁～～第37頁～～～第38頁～因此過渡矩陣A為第39頁例4

已知

R4

有兩組基(1)求由基(I)

到基(II)過渡矩陣;(2)求向量α=(x1,x2,x3,x4)

T在基(II)下坐標(biāo).解第40頁(1)設(shè)由基(I)到基(II)過渡矩陣為A,則由于(e1,e2,e3,e4)=I,因此即第41頁(2)已知向量α在基(I)下坐標(biāo)為x=(x1,x2,x3,x4)T,(2)求向量α=(x1,x2,x3,x4)T在基(II)下坐標(biāo).設(shè)向量α在基(II)下坐標(biāo)為y=(y1,y2,y3,y4)T,則由坐標(biāo)變換公式得:即故第42頁即(3)求向量α=(3,6,-9,12)T

在基(II)坐標(biāo).思考題第43頁例5

求向量α=(1,2,1,1)T

在

R4

一組基

1,

2,

3,

4

下坐標(biāo),

其中解向量

在基

1,

2,

3,

4

下坐標(biāo),

1,

2,

3,

4

表達(dá)向量

系數(shù).即為用基第44頁故本題等價于解方程組x1

1+