2020--2021學(xué)年度第二學(xué)期

高一數(shù)學(xué)期末模擬試題一

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共9小題，每小題4分，共36分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，

選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.在空間中，下列結(jié)論正確的是（）

A.三角形確定一個平面B.四邊形確定一個平面

C.一個點(diǎn)和一條直線確定一個平面D.兩條直線確定一個平面

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)確定平面的公理及其推論對選項(xiàng)逐個判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】三角形有且僅有3個不在同一條直線上的頂點(diǎn)，故其可以確定一個平面，即A正

確；

當(dāng)四邊形為空間四邊形時不能確定一個平面，故B錯誤；

當(dāng)點(diǎn)在直線上時，一個點(diǎn)和一條直線不能確定一個平面，故C錯誤；

當(dāng)兩條直線異面時，不能確定一個平面，即。錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本定理及其推論，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于基

礎(chǔ)題.

2.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=-2+i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，即可得解.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z=-2+i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為（-2,1）,位于第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，牢記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量。=(1,2),h-(x,4),且那么x的值為()

A.14B.12C.2D.—8

【答案】D

【解析】

【分析】

由平面向量垂直的坐標(biāo)表示解方程即可得解.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),5=(X,4),alb^

所以M?5=X+8=0，解得x=—8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知一組數(shù)據(jù)為4,5,6,7,8,8,第4()百分位數(shù)是()

A.8B.7C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)橛?位數(shù)，

所以6x40%=2.4,

所以第40百分位數(shù)是第三個數(shù)6.

故選：C

5.底面邊長為2,高為1的正三棱柱的體積是()

A.V3B.1C.

V

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)棱柱體積公式求得結(jié)果.

【詳解】底面邊長為2,高為1的正三棱柱的體積是(苧x2?)xl=6

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查棱柱體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.在△ABC中，B=60°,b1=ac則cosA=()

A.0B.—C.—D.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】

由余弦定理且3=60。得。2="+c?-ac，再由尸=ac，^a2+c2-ac=ac>得，

得A=B=C=6()°,可求cosA的值.

【詳解】由余弦定理得：h2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac^

XZJ2-ac>a2+c2-ac—ac>(?-c)2=0,

a—c,A—B—C—60°,

,1

/.cosA=—.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.甲、乙、丙、丁四組人數(shù)分布如圖所示，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的情況可以知道丙、丁兩組人

數(shù)和為()

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)甲組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，再求出丙、丁兩組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，即

可得解.

【詳解】解：???甲組人數(shù)為120人，占總?cè)藬?shù)的百分比為30%,

...總?cè)藬?shù)為120?30%=400人，

?.?丙、丁兩組人數(shù)和占總?cè)藬?shù)的百分比為1-30%-7.5%=62.5%

丙、丁兩組人數(shù)和為400X62.5%=250人.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了餅形圖的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖，。是AABC的重心，AB^a,AC^b,。是邊上一點(diǎn)，且3萬=3。3,

貝U()

—1-5-

B.OD=-a----b

12121212

C.OD-D.Ol5=L+l

1212

【答案】A

【解析】如圖，延長A。交于E,由已知。為ASBC的重心，

則點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，

且荷=2詼，AE=1（AB+AC）

由8萬=3。3，得：。是的四等分點(diǎn)，

則比=礪+而=1樂+，而」而+砌-麗）

3432、,4、>

故選A.

o

B

D

9.如圖所示，為了測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂。作為測量基點(diǎn)，從A點(diǎn)測得

M點(diǎn)的仰角NM4N=60，C點(diǎn)的仰角NC4B=45°，NM4C=75°，從C點(diǎn)測得

ZMCA=6O'.已知山高BC=5（X）m,則山高M(jìn)N（單位：加）為（）

A.750B.750A/3C.850D.8500

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算出AC,在八4皿中，利用正弦定理求得A"，然后在中可計(jì)

算出MN.

【詳解】在中，NC4B=451NABC為直角，則AC=-^'=500底（加），

sin45°''

在AACM中，NM4c=75°，ZMCA=6Q，則ZAMC=45°，

，十…卬ACAMACsin60500&x日

由正弦定理------=-------,可得AM--；~——=-----尸-----=500V3（/?）,

sin450sin60°sin450立'7

V

在用△4VW中，NM47V=60",ZANM=90.：.MN=AMsin60=750（/??）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

第二部分（非選擇題共80分）

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.

【答案】一1+i;

【解析】

2i2z.(l+z)-2+2/,.

【詳解】V;_^=_1+/，故答案為T+,

1-z(l-z)-(l+z)2

11.某射擊運(yùn)動員平時100次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

命中環(huán)數(shù)12345678910

頻數(shù)24569101826128

如果這名運(yùn)動員只射擊一次，估計(jì)射擊成績是6環(huán)的概率為；不少于9環(huán)的概率

為.

【答案】(1).](2).1

【解析】

【分析】

由表中的數(shù)據(jù)，求對應(yīng)的比值可得答案.

【詳解】由題意得：這名運(yùn)動員只射擊一次，估計(jì)射擊成績是6環(huán)的概率為19=',

10010

12+81

不少于9環(huán)的概率為——=一，

1005

故答案為：—；--

105

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖，若正方體ABCO-A4G2的棱長為1，則異面直線AC與AB所成的角的大小

是；直線A8和底面ABC。所成的角的大小是

【解析】

【分析】

①通過平行關(guān)系，直線A8與直線AC所成角即直線AB與直線4a所成角，解三角形即

可得解；

②根據(jù)線面角定義，通過垂直關(guān)系找出線面角即可.

【詳解】作圖：連接4C8G交BC于。，連接4。

TT

①在正方體中，A8=8G=4G，易得VABC1為等邊三角形，NA41G=2

由A4與CG平行且相等，則四邊形ACGA為平行四邊形，CA//C.A，

直線AB與直線AC所成角即直線AB與直線4a所成角，

所以所成角為?；

②正方體中，AAJ?平面ABC。，

所以幺84就是直線AB和平面ABCO所成的角

n

由于AA=AB,A,AIAB,A是等腰直角三角形，所以24胡=：,

1T

所以直線AB和底面ABCQ所成的角的大小一.

4

_-TT1T

故答案為：①?。虎谝?

34

【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角和直線與平面所成角，通過平行線求異面直線夾

角，通過垂直關(guān)系根據(jù)定義找出線面角即可求解.

13.某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為一和二.現(xiàn)安排甲組

35

研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品8,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立，則至少有一種新產(chǎn)品

研發(fā)成功的概率為.

13

【答案■

【解析】

【分析】利用對立事件的概率公式，計(jì)算即可，

【詳解】解：設(shè)至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件加，事件〃為事件加的對立事件，

則事件〃為一種新產(chǎn)品都沒有成功，

因?yàn)榧滓已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為一和二.

35

貝!|p(n)=(l-|)(l-1)=^,

再根據(jù)對立事件概率之間的公式可得尸⑹=1-p(〃)=1q=2，

13

故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率石.

13

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對立事件的概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知向量M=(1,2),b=2A/5,allb＞且萬與B方向相同，那么5=.

【答案】(2,4)

【解析】

【分析】

根據(jù)題中條件，先設(shè)后=(“,2”)(。＞0),再由向量模的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量的模列出方程

求出參數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄咳?。,2),且M與5方向相同，

所以可設(shè)B=(a,2a)(a＞0),

又W=2j5,所以Ja2+4“2=26,解得4=2(負(fù)值舍去)，

所以B=(2,4)

故答案為：(2,4).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由向量的模求向量，解題的關(guān)鍵在于設(shè)出向量的坐

標(biāo)，結(jié)合題中條件確定等量關(guān)系求出參數(shù)，本題中根據(jù)向量同向，先設(shè)

b=(a,2a)(a>0),再由向量模列出等量關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題

型.

15.已知。，。是不重合的兩條直線，a,4為不重合的兩個平面，給出下列命題：

①若a_La,allp,則c_L，；

②出/a且a〃尸，則尸；

③若a_Le,blla，則￡_L〃.

所有正確命題的序號為.

【答案】①?

【解析】

【分析】

對于①，由面面垂直的判定定理得對于②，或au分；對于③，由線面垂直

的性質(zhì)得九

【詳解】解：由。，。是不重合的兩條直線，a,夕為不重合的兩個平面，知：

對于①，若a_L。，al1/3,則由面面垂直的判定定理得。_L力，故①正確；

對于②，若a〃a且?！ㄊ?，則a〃6或au￡,②錯誤；

對于③，若a_La,6/a,則由線面垂直的性質(zhì)得“_15,故③正確.

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與面面垂直的判定，線面垂直性質(zhì)，掌握空間直線、平面的平

行關(guān)系的判定方法是解題基礎(chǔ).

三、解答題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過

程.

16.已知復(fù)數(shù)z=，〃Q〃—l)+a〃2+2，〃—3)i,當(dāng)加取何實(shí)數(shù)值時，復(fù)數(shù)z是：

(1)純虛數(shù)；

(2)z=2+5L

【答案】(1)〃？=0；(2)加=2.

【解析】

【分析】

（1）利用加（加一1）=0,（〃，+2加-3）70,即可求解.

（2）利用復(fù)數(shù)相等的條件實(shí)部與虛部分別相等加（加-1）=2,（加2+2加-3）=5即可求解.

=0m=0或m=1

【詳解】（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則＜）cc八，解得〈，叱-3且加工所以加=°

m~+2加一3。0

m(m-V)=2

（2）利用復(fù)數(shù)相等的條件實(shí)部與虛部分別相等可得〈

m+2m-3=5

機(jī)=2或加=-1

解得t，即用=2

m=2或相=-4

17.某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得

分按照［0,20］,(20,40J,(40,60J,(60,80J,(80,100］分組，繪成頻率分布直

方圖（如圖）.

（II）分別求出抽取的20人中得分落在組［0,20］和（20,40］內(nèi)的人數(shù);

（III）估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

170

【答案】（I）x=0.0100；（II）分別為2人和3人；（III）平均數(shù)為56,中位數(shù)為亍,

眾數(shù)為50.

【解析】

【分析】

（I）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出x.

（II）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出得分落在［0,20］內(nèi)的人數(shù)和得分落在（20,40］內(nèi)的

人數(shù).

(III)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得能估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和所有參賽

選手得分的眾數(shù).

【詳解】(I)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

(0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)x20=1,

解得x=0.()l(X)；

(II)由頻率分布直方圖能求出：

得分落在［0,20］內(nèi)的人數(shù)為：20x0.0050x20=2,

得分落在(20,40］內(nèi)的人數(shù)為：20x0.0075x20=3；

(III)估計(jì)所有參賽選手得分的平均數(shù)為：

0.0050x20x10+0.0075x20x30+0.0150x20x50+0.0125x20x70+0.0100x20x90=56

設(shè)所有的參賽選手得分的中位數(shù)為。，

170

則0.0050x20+0.0075x20+0.0150x(a—40)=0.5,解得a=匕，

3

則所有參賽選手得分的眾數(shù)估計(jì)值為：”士絲=50.

2

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的求法，考查運(yùn)算

求解能力，考查識圖能力，屬于?？碱}.

18.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=厲，c=3,

cosB——.

6

(1)求sinC的值；

(2)求△ABC面積.

【答案】(1)YH；(2)15.

62

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sin8,利用正弦定理求得結(jié)果；

(2)利用余弦定理構(gòu)造方程求得a,由三角形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】（I）?.?cosB=-工＜0且3G（0,乃），Be

6

sinB=71-COS2B=

6

y/35

由正弦定理得：.廠csinBFV2?.

sinC=------=/—=---

b屈6

（2）由余弦定理得：cos8="~+—=」,解得：。=2或。=一3

2ac6a6

（舍），

/.S^ABC=—?^sinC=—x2xVL5=.

2262

【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形的問題，考查學(xué)生對于正弦定理、余弦定理和三角

形面積公式掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.

19.某市為了解社區(qū)群眾體育活動的開展情況，擬采用分層抽樣的方法從A,B,C三個行政區(qū)

抽出6個社區(qū)進(jìn)行調(diào)查.已知A,B,C行政區(qū)中分別有12,18,6個社區(qū).

（1）求從A,B,C三個行政區(qū)中分別抽取社區(qū)個數(shù)；

（2）若從抽得的6個社區(qū)中隨機(jī)的抽取2個進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，求抽取的2個社區(qū)中至

少有一個來自A行政區(qū)的概率.

3

【答案】（1）2,3,1；（2）j.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的原理，在抽樣的過程中保持每個個體被抽到的概率相等,按照人

數(shù)的比列把抽樣的人數(shù)分到相應(yīng)的層,則6有I上?=抽一樣=日人￡數(shù)*,即可求出每層應(yīng)該抽取

366該層的人數(shù)

的人數(shù)；

（2）首先對抽取的6個社區(qū)進(jìn)行編號4,4，鳥，員,用，。，則列出從6個社區(qū)中選取兩個的

所有基本事件數(shù)為15,在所有的基本事件中找出滿足至少有一個來自A社區(qū)的基本事件數(shù)

93

為9,再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可以得到該事件的概率為百=-.

【詳解】（1）社區(qū)總數(shù)為12+18+6=36,樣本容量與總體中的個體數(shù)比為?=：.

366

所以從A,B,。三個行政區(qū)中應(yīng)分別抽取的社區(qū)個數(shù)為2,