第三章函數(shù)及其圖象第16講二次函數(shù)的幾何應用1.(2020·龍東)如圖，已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象經過點A(－1，0)，B

(3，0)，與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；解：根據(jù)題意，得解得故拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3.(2)拋物線上是否存在點P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：存在，點P的坐標為(2，3)或(4，－5)．2.(2020·廣元)如圖，直線y＝－2x＋10分別與x軸、y軸交于A，B兩點，C為OB的中點，拋物線y＝x2＋bx＋c經過A，C兩點.(1)求拋物線的解析式；解：在y＝－2x＋10中，令x＝0，則y＝10；令y＝0，則x＝5，∴點A的坐標為(5，0)，點B的坐標為(0，10)．∵C為OB的中點，∴點C的坐標為(0，5)．將A(5，0)和C(0，5)代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴拋物線的解析式為y＝x2－6x＋5.(2)D是直線AB下方的拋物線上的一點，且△ABD的面積為，求點D的坐標；解：聯(lián)立解得∴直線AB與拋物線交于點(－1，12)和(5，0)．∵D是直線AB下方拋物線上的一點，∴設點D的坐標為(m，m2－6m＋5)，且－1＜m＜5.如圖1，過點D作DE⊥x軸，交直線AB于點E，∴點E的坐標為(m，－2m＋10)，∴DE＝－2m＋10－(m2－6m＋5)＝－m2＋4m＋5.∵S△ABD＝∴m＝2，∴點D的坐標為(2，－3)．(3)P為拋物線上一點，若△APB是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離.解：設點P的坐標為(n，n2－6n＋5)，∴AP2＝(n－5)2＋(n2－6n＋5)2，BP2＝n2＋(n2－6n＋5－10)2，AB2＝125.如圖2，當點A為直角頂點時，BP2＝AB2＋AP2，解得或5(舍去)；如圖3，當點B為直角頂點時，AP2＝AB2＋BP2，解得或而拋物線對稱軸為直線x＝3，則綜上所述，點P到拋物線的對稱軸的距離為或或3.(2020·濰坊)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋8(a≠0)與x軸交于點A(－2，0)和點B(8，0)，與y軸交于點C，頂點為點D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E.(1)求拋物線的解析式；解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋8(a≠0)過點A(－2，0)和點B(8，0)，∴解得∴拋物線的解析式為(2)P是第一象限內拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標；解：在中，當x＝0時，y＝8，∴點C的坐標為(0，8)．又∵點B的坐標為(8，0)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋8.∵S△ABC＝2(1)AB·OC＝2(1)×10×8＝40，∴S△PBC＝5(3)S△ABC＝24.過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F.設點P的坐標為∴點F的坐標為(t，－t＋8)，∴PF＝∵S△PBC＝2(1)PF·OB＝24，∴，解得t＝2或t＝6，∴點P的坐標為(2，12)或(6，8)．(3)N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.解：∵C(0，8)，B(8，0)，∠COB＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形．拋物線的對稱軸為∴點E的橫坐標為3.又∵點E在直線BC上，∴點E的縱坐標為5，∴點E的坐標為(3，5)．設點M的坐標為(3，m)，點N的坐標為①如圖1，當MN＝EM，∠EMN＝90°時，此時△NME∽△COB，則解得或m＝0(n＝－2，)(舍去)，∴點M的坐標為(3，8)；②如圖2，當ME＝EN，∠MEN＝90°時，△MEN∽△COB，則解得或(舍去)，∴點M的坐標為③如圖3，當MN＝EN，∠MNE＝90°時，連接CM，故當點N為點C關于對稱軸l的對稱點時，△MNE∽△COB，此時四邊形CMNE為正方形，∴CM＝CE.∵C(0，8)，E(3，5)，M(3，m)，∴∴，解得m＝11或m＝5(舍去)，∴點M的坐標為(3，11)．綜上所述，在射線ED上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似，點M的坐標為(3，8)或或(3，11)．4.(2020·青海)如圖，拋物線經過B，D兩點，與x軸的另一個交點為點A，與y軸相交于點C.(1)求拋物線的解析式；解：把B(3，0)，D代入拋物線的解析式，得解得∴拋物線的解析式為(2)設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；解：令x＝0，得∴點C的坐標為令y＝0，得解得x＝－1或x＝3，∴點A的坐標為(－1，0)．

∴點M的坐標為(1，2)，如圖1，連接OM，S四邊形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB(3)設點Q在y軸上，點P在拋物線上.要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標.解：設點Q的坐標為(0，n)，①當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，(a)當點P在點Q左邊時，點P的坐標為(－4，n)．把P(－4，n)代入，得∴點P的坐標為(b)當點P在點Q右邊時，點P的坐標為(4，n)．把P(4，n)代入，得∴點P的坐標為②當AB為平行四邊形的對角線時，如圖2，AB與PQ