函數(shù)與幾何綜合題的解題方法函數(shù)與幾何綜合題主要有兩類,一類是幾何元素間的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題,簡(jiǎn)稱“幾函”問(wèn)題，其特點(diǎn)是根據(jù)已知幾何圖形間的位置和數(shù)量關(guān)系（如平行、全等、相似，特別是成比例）建立自變量與函數(shù)所表示的幾何元素間的等量關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)去解決幾何圖形中的問(wèn)題。另一類是函數(shù)圖像中的幾何圖形的問(wèn)題，簡(jiǎn)稱“函幾”問(wèn)題，其特點(diǎn)是根據(jù)已知函數(shù)圖像中的幾何圖形的位置特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決有關(guān)函數(shù)、幾何問(wèn)題。下面，筆者就上述兩類典型試題為例，談?wù)労瘮?shù)與幾何綜合題的解題策略。一、綜合使用分析法和綜合法就是從條件與結(jié)論出就是從條件與結(jié)論出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的“兩邊夾擊”，使它們?cè)谥虚g的某個(gè)環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問(wèn)題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問(wèn)的解答就使用了此種方法。【例1】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，求經(jīng)過(guò)M、B、C三點(diǎn)的⊙O′的直徑長(zhǎng)；（3）設(shè)⊙O′與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，經(jīng)過(guò)P（-2，0）、N兩點(diǎn)的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由。二、運(yùn)用方程的思想就是尋找要解決的問(wèn)題中量與量之間的等量關(guān)系，建立已知量與未知量間的方程，通過(guò)解方程從而使問(wèn)題得到解決；在運(yùn)用這種思想時(shí)，要注意充分挖掘問(wèn)題的的隱藏條件，尋找等量關(guān)系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個(gè)問(wèn)題的解決就用到了此種思想?！纠?】如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平移（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn)，連結(jié)FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（1）當(dāng)t=1時(shí)，求梯形OPFE的面積。t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時(shí)，求線段PF的長(zhǎng)。（3）設(shè)t的值分別取t1、t2時(shí)，（t1≠t2），所對(duì)應(yīng)的三角形分別是ΔAF1P1和ΔAF2P2，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似；請(qǐng)證明你的判斷。 三、注意使用分類討論的思想函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中往往注意考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此在解決這類問(wèn)題時(shí)，一定要多一個(gè)心眼兒，多從側(cè)面進(jìn)行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結(jié)論的一切可能性，從而使問(wèn)題的解答完整無(wú)遺。如本文例3中的第（2）、（3）問(wèn)，要從直角的頂點(diǎn)的位置、矩形的第四個(gè)頂點(diǎn)的位置進(jìn)行討論，例3第（2）問(wèn)中，求面積S與x間的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，也要分直線l在點(diǎn)C的左邊和右邊兩種情況來(lái)討論，千萬(wàn)不能一蹴而就?！纠?】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）將ΔOAC補(bǔ)成矩形，使ΔOAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊的對(duì)邊上，試直接寫(xiě)出矩形的未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)程）。四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準(zhǔn)確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計(jì)算；使用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，要時(shí)刻注意由圖形聯(lián)想其性質(zhì)，由性質(zhì)聯(lián)想相應(yīng)的圖形，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化；如本文中的例4，在解決y與x間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立起線段間的關(guān)系式，然后再利用線段間的關(guān)系，建立y與x間的函數(shù)關(guān)系；在求自變量x的取值范圍時(shí)，把自變量所對(duì)應(yīng)的幾何元素推到兩個(gè)極端的位置，求出相應(yīng)的值，再結(jié)合幾何量的實(shí)際意義和題目中的已知條件加以確定?！纠?】如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB＝6，延長(zhǎng)BA到F，使FA＝AB，若P為線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），過(guò)P點(diǎn)作半圓的切線，切點(diǎn)為C，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于E．設(shè)AC＝x，AC＋BE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系兩個(gè)三角形是否相似；請(qǐng)證明你的判斷。 （二）函數(shù)圖像中的幾何圖形的問(wèn)題1．三類基本初等函數(shù)中的圖形面積問(wèn)題解決這類問(wèn)題時(shí)，通常要將坐標(biāo)系中的圖形進(jìn)行分割，一般情況是將它分割成一些兩邊（或三邊）在坐標(biāo)軸上或者兩邊（或三邊）平行于坐標(biāo)軸的三角形（或梯形、矩形）等；同時(shí)要注意點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與點(diǎn)的坐標(biāo)間的區(qū)別，正確利用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示線段的長(zhǎng)度?！纠?】如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為y=x和y=﹣2x+6，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在OB上移動(dòng)（0＜x＜3），過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸垂直．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)△OBC中位于直線l左側(cè)部分的面積為s，寫(xiě)出s與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出（2）中函數(shù)的圖象；（4）當(dāng)x為何值時(shí)，直線l平分△OBC的面積？2、三類基本初等函數(shù)中的三角形、四邊形、圓的問(wèn)題：這類題目一般由1~3問(wèn)組成，第一問(wèn)往往是求函數(shù)的解析式，然后在此基礎(chǔ)上再與幾何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等問(wèn)題）四邊形（面積的函數(shù)關(guān)系式、特殊四邊形是否存在）和圓（直線與圓的位置關(guān)系的判斷、圓中的比例式是否成立）結(jié)合起來(lái)，利用初中的主干知識(shí)全面考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；解決這類綜合性問(wèn)題時(shí)要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：【例4】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）將ΔOAC補(bǔ)成矩形，使ΔOAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊的對(duì)邊上，試直接寫(xiě)出矩形的未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)程）?！纠?】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，求經(jīng)過(guò)M、B、C三點(diǎn)的⊙O′的直徑長(zhǎng)；（3）設(shè)⊙O′與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，經(jīng)過(guò)P（-2，0）、N兩點(diǎn)的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由。函數(shù)與幾何綜合題的解題策略：1、綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結(jié)論出就是從條件與結(jié)論出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的“兩邊夾擊”，使它們?cè)谥虚g的某個(gè)環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問(wèn)題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問(wèn)的解答就使用了此種方法；2、運(yùn)用方程的思想。就是尋找要解決的問(wèn)題中量與量之間的等量關(guān)系，建立已知量與未知量間的方程，通過(guò)解方程從而使問(wèn)題得到解決；在運(yùn)用這種思想時(shí)，要注意充分挖掘問(wèn)題的的隱藏條件，尋找等量關(guān)系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個(gè)問(wèn)題的解決就用到了此種思想；3、注意使用分類討論的思想。函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中往往注意考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此在解決這類問(wèn)題時(shí)，一定要多一個(gè)心眼兒，多從側(cè)面進(jìn)行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結(jié)論的一切可能性，從而使問(wèn)題的解答完整無(wú)遺。如本文例4中的第（2）、（3）問(wèn)，要從直角的頂點(diǎn)的位置、矩形的第四個(gè)頂點(diǎn)的位置進(jìn)行討論，例3第（2）問(wèn)中，求面積S與x間的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，也要分直線l在點(diǎn)C的左邊和右邊兩種情況來(lái)討論，千萬(wàn)不能一蹴而就；4、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準(zhǔn)確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計(jì)算；使用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，要時(shí)刻注意由圖形聯(lián)想其性質(zhì)，由性質(zhì)聯(lián)想相應(yīng)的圖形，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化；如本文中的例1，在解決y與x間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立起線段間的關(guān)系式，然后再利用線段間的關(guān)系，建立y與x間的函數(shù)關(guān)系；在求自變量x的取值范圍時(shí)，把自變量所對(duì)應(yīng)的幾何元素推到兩個(gè)極端的位置，求出相應(yīng)的值，再結(jié)合幾何量的實(shí)際意義和題目中的已知條件加以確定；5、運(yùn)