理論力學(xué)兩體問題第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣，兩體問題分解為兩個(gè)單粒子問題。第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2有心力場(chǎng)中單粒子的運(yùn)動(dòng)第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)方程第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)定性討論第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月討論粒子在吸引勢(shì)U=-a/r3中的運(yùn)動(dòng)情況解：粒子的有效勢(shì)能：Ueff=L2/2mr2-a/r3曲線漸近行為

r→∞，Ueff→0；

r→0，Ueff→-∞。(2)曲線零點(diǎn)：Ueff=0→r=ro=2ma/L2(3)曲線極值：dUeff/

dr=0→r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54m3a2-a/r3L2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3與距離成反比的有心力場(chǎng)吸引勢(shì)：U(r)=-a/r有效勢(shì)能：Ueff=L2/2mr2-a/rr→0，Ueff→+∞；

r→∞，Ueff→0。(2)曲線極值：dUeff/

dr=0→r=rm=L2/ma(Ueff)min=m

a2/2L2(3)曲線零點(diǎn)：Ueff=0→r=ro=L2/2ma-a/rL2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月比耐公式——軌道方程第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月比耐公式——軌道方程第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知引力作用F(r)=-GMm/r2

ro

，求運(yùn)行軌跡。解：比耐公式

h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2→

d2u/dθ2+u=μ/h2(μ=GM)軌跡方程:u=1/r=C1cosθ+C2sinθ+μ/h2

齊次解非齊次解取近日點(diǎn)(r極小值)的θ為零.r極小值條件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0.∵d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0

=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r=(C1cosθ+μ/h2)-1=p/(1+ecosθ)第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月r=p/(1+ecosθ)其中p=h2/μ(正焦弦長(zhǎng)度一半),

e=C1h2/μ(偏心率)。這是一原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線，力心位于焦點(diǎn)上。e<1橢圓e=1拋物線e>1雙曲線拋物線雙曲線橢圓第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月補(bǔ)充作業(yè):求e

與能量E

的關(guān)系，即證明：并討論E與圓錐曲線型的關(guān)系.第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性軌道閉合與軌道穩(wěn)定軌道穩(wěn)定的含義:

由于初始條件的微小變化或勢(shì)場(chǎng)本身的擾動(dòng)，使粒子偏離原軌道ro變?yōu)閞。若r始終保持在ro附近作小振動(dòng)，則稱此種軌道是穩(wěn)定的；反之，若隨著時(shí)間增加，r偏離ro越來越大，則稱此種軌道是不穩(wěn)定的。第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(Z)中的軌道為u=uo，軌道偏離：u=uo+

（為小量）第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性若A=0，隨(從而隨t)線性增加；若A<0，隨t線性增加。軌道不穩(wěn)定若A>0，作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，軌道穩(wěn)定。軌道穩(wěn)定條件：第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月討論U=a/r，A=1>0，軌道穩(wěn)定。U=-a/r3，

A=1–6ma/rL2=1-3rm/r

軌道穩(wěn)定條件A>0變?yōu)?/p>

r

>3rm

(3)U=kr2，A=1+6mkr4/L2>0

軌道永遠(yuǎn)穩(wěn)定條件。圓形軌道穩(wěn)定性條件為：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr>03dU/dr+d2U/dr2>0或-3F-dF/dr>0第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月OAρφoψ§3.6粒子散射問題設(shè)有心力場(chǎng)的力心在O點(diǎn)，由于有心力場(chǎng)對(duì)力心是中心對(duì)稱的，所以軌道對(duì)OA是軸對(duì)稱的。設(shè)無窮遠(yuǎn)處質(zhì)點(diǎn)速率為v∞，瞄準(zhǔn)距離為ρ。第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月OAρφoψ第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月散射要考慮一束速度相同的全同粒子群。假設(shè)粒子束在其截面內(nèi)密度均勻，而各個(gè)粒子有不同的瞄準(zhǔn)距離，相應(yīng)有不同的散射角ψ。dρρ假定n為單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角ψ到ψ+dψ內(nèi)的粒子數(shù)為dN，則定義散射的有效截面為dσ=

dN/n，dN個(gè)粒子可能來自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)區(qū)間內(nèi)的粒子。第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月假定n為單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角ψ到ψ+dψ內(nèi)的粒子數(shù)為dN，則定義散射的有效截面為

dσ=

dN/n，dN個(gè)粒子可能來自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)區(qū)間內(nèi)的粒子，即dN=2πnρdρ，所以dσ=2πρdρ=2πρ│dρ/dψ│dψφ到φ+dφ對(duì)應(yīng)的立體角為dΩ=2πsinψdψ因而dσ=(ρ/sinψ)│dρ/dψ│dΩdρρ第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年