第第頁【解析】2023-2024學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊單元測試第一章勾股定理（B卷）登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂

2023-2024學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊單元測試第一章勾股定理（B卷）

第一章勾股定理（B卷）

考試時間：120分鐘滿分：120分

姓名：__________班級：__________考號：__________

題號一二三總分

評分

注意事項：

1、填寫答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫

2、禁止提前收取答題卡

第Ⅰ卷客觀題

第Ⅰ卷的解釋

閱卷人一、選擇題（共10小題，每小題3跟，共30分）

得分

1．（2023八上·渭濱期末）將直角三角形的三條邊長做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A．同加一個相同的數(shù)B．同減一個相同的數(shù)

C．同乘以一個相同的正整數(shù)D．同時平方

2．（2023八上·西安期末）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經(jīng)過最低點B，最終蕩到最高點C處，若，點A與點B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點C與點B的高度差CE為（）

A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米

3．（2023八上·達(dá)川期末）在中，的對邊分別為，下列所給數(shù)據(jù)中，能判斷是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八上·開江期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．a(chǎn)2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13

5．如圖，長方形紙片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE長為（）

A．4.8B．5C．5.8D．6

6．（2022八上·石景山期末）在等腰中，，，則底邊上的高為（）

A．12B．C．D．18

7．（2022八上·拱墅月考）如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于()

A．9B．35C．45D．無法計算

8．（2022八上·長春期末）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為尺，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．B．

C．D．

9．（2023八上·侯馬期末）如圖，在中，，于點D，E是上一點，且，若，，則的長為（）

A．B．C．D．

10．（2022八上·龍崗期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．B．C．6D．

閱卷人二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）

得分

11．（2023八上·海曙期末）如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，則BD的長是.

12．（2023八上·余姚期末）如圖，在長方形紙片中，，，點M為上一點，將沿翻至，交于點G，交于點F，且，則的長度是.

13．（2023八上·江北期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，.現(xiàn)將三角形折疊，使得邊與重合，折痕為.則長為.

14．（2023八上·開江期末）如圖，一架梯子AB長5米，底端離墻的距離BC為3米，當(dāng)梯子下滑到DE時，米，則BE＝米.

15．（2023八上·平昌期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米.

第Ⅱ卷主觀題

第Ⅱ卷的解釋

閱卷人三、解答題（第16題10分，第17-18題每題7分，第19-21每題9分，第22-23每題12分，滿分75分）

得分

16．（2022八上·瑞安月考）在5×5的正方形網(wǎng)格中，點A，點B均在格點上，連結(jié)AB，請根據(jù)要求完成下列作圖：

（1）在圖1中找一個格點C，使得△ABC是直角三角形．

（2）在圖2中找一個格點D，使得△ABD是三個內(nèi)角都是銳角的等腰三角形．

17．（2023八上·新城期末）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠(yuǎn)處？

18．（2023八上·榆林期末）某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人如圖（1）.如圖（2），已知云梯最多只能伸長到（即），消防車高，救人時云梯伸長至最長，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？（延長交于點，，點在上，的長即為消防車的高）

19．（2023八上·長興期末）如圖，在中，，平分交于點D，作于點E.

（1）若，求的度數(shù)；

（2）若，，求的面積.

20．（2022八上·榆樹期末）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，已知點C與公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，停靠站A、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的長；

（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是多少？

21．（2022八上·長興月考）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM=1，MN=2，BN=，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．

（2）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=12，AM=5，求BN的長．

22．（2023八上·福州期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.過點A作直線AP，點C關(guān)于直線AP的對稱點為點D，連接BD，CD，直線BD交直線AP于點E.

（1）依題意補全圖1；

（2）在圖1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度數(shù)；

（3）若直線AP旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，請用等式表示線段EB，ED，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23．（2023八上·泉州期末）

（1）觀察猜想，如圖①點B、A、C在同一條直線上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，則BC、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）問題解決，如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC為直角邊向外作等腰Rt△DAC，連結(jié)BD，求BD的長；

（3）拓展延伸，如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，請直接寫出BD的長.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），

∴，

若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為，，，

此時，

∴A，B不符合題意；

若三邊都乘以n（n為正整數(shù)），則三邊分別為，，，

∴，

∴此時三角形還是直角三角形，故C符合題意；

若三邊都平方，則三邊分別為：，，，

∴，

故D不符合題意；

故答案為：C.

【分析】設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），則a2+b2=c2，若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(a±m(xù))2+(b±m(xù))2≠(c±m(xù))2，據(jù)此判斷A、B；同理可判斷CD.

2．【答案】B

【知識點】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，

∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，

∠AOF+∠OAF=90°，

∴∠COG=∠OAF，

在△AOF與△OCG中，

，

∴△AOF≌△OCG（AAS），

∴OG=AF=BD=4米，

設(shè)AO=x米，

在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，

解得x=8.5.

則CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.

故答案為：B.

【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF，由題意可得AO=OC，利用AAS證明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，設(shè)AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根據(jù)CE=GB=OB-OG進(jìn)行計算.

3．【答案】B

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此選項符合題意；

C、∵，設(shè)，則，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

D、∵，設(shè)，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

故答案為：B.

【分析】A、由題意分別計算a2+b2，c2的值，觀察是否滿足a2+b2=c2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

B、由已知的等式變形可得a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

C、設(shè)∠C=x，結(jié)合已知可將∠A和∠B用含x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B的度數(shù)即可判斷求解；

D、由題意可設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B、∠C的度數(shù)即可判斷求解.

4．【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

C、設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、D；根據(jù)B、C中的條件結(jié)合內(nèi)角和定理即可判斷.

5．【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

由折疊得BE=DE，

設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴42+（10-x）2=x2，

解得x=5.8.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=90°，由折疊得BE=DE，設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

6．【答案】B

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：如圖，過點A作于點，

是等腰三角形，，

，

在中，由勾股定理得，

，

即底邊上的高為，

故答案為：．

【分析】過點A作于點，先求出，再利用勾股定理求出AD的長即可。

7．【答案】C

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，

在Rt△BDM和Rt△CDM中，

BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，

∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2

又∵AB=6，AC=9，

∴MC2-MB2＝45．

故答案為：C．

【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中分別表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別表示出BM2和MC2，然后等量代換并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入數(shù)據(jù)計算即可.

8．【答案】D

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得：，

設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，

由勾股定理得：．

故答案為：D．

【分析】設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。

9．【答案】B

【知識點】勾股定理；線段的計算

【解析】【解答】解：在中，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)，求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，可得，再利用線段的和差求出EC的長即可。

10．【答案】B

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)秋千繩索的長度為，

由題意可得，

四邊形為矩形，，，，，

∴，，

在中，，

即，

解得，

即的長度為．

故答案為：B．

【分析】設(shè)秋千繩索的長度為，利用勾股定理可得，再求出即可。

11．【答案】

【知識點】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，

∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，

∴，

∵BD平分∠ABC交AC于點D，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

解得，

在中，，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】過點D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，利用HL證明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，則AE=AB-BE=2，設(shè)CD=DE=x，則AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.

12．【答案】

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：設(shè)，則，

由題意得：，

，，，

（AAS），

，，

在中，，

即：，

解得：.

故答案為：.

【分析】設(shè)CM=x，則BM=8-x，由題意得DE=DC=AB=10，利用AAS證明△GMB≌△GFE，得到MG=GF，結(jié)合BG=EG以及線段的和差關(guān)系可得EM=BF，則ME=BF=CM=x，EF=BM=8-x，然后在Rt△ADF中，由勾股定理進(jìn)行計算即可.

13．【答案】

【知識點】勾股定理；軸對稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：在中，

∴，

設(shè)，

依題意，，，，，

∴，

在中，

即，

解得：，即，

故答案為：.

【分析】首先根據(jù)勾股定理算出BC的長，由折疊得DE=CE，AD=AC=3，∠ADE=∠ACB=90°，設(shè)CE=x，則EB=4-x，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

14．【答案】1

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵AB=5，BC=3，

∴AC=，

∵AD＝1，

∴CD=AC-AD=3，

∴CE=，

∴BE=CE-CB=米，

故答案為：1.

【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC的值，則CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根據(jù)BE=CE-CB進(jìn)行計算.

15．【答案】9

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，

∴AB＝＝＝15（米），

∵CD＝10（米），

∴AD＝＝6（米），

∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），

答：船向岸邊移動了9米，

故答案為：9.

【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AB、AD的值，然后根據(jù)BD=AB-AD進(jìn)行計算.

16．【答案】（1）解：當(dāng)∠A=90°或∠B=90°時；

當(dāng)∠C=90°時

（2）當(dāng)AB=BD時

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；作圖-三角形

【解析】【分析】（1）要使△ABC是直角三角形，分情況討論，畫出圖形，當(dāng)∠A=90°，當(dāng)∠B=90°，當(dāng)∠C=90°，分別畫出符合題意的三角形.

（2）利用勾股定理，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形：當(dāng)AB=BD時；當(dāng)AB=AD時，畫出三個角都是銳角的等腰三角形即可.

17．【答案】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等.

∴DE＝CE，

∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，

∴AE2+AD2＝BE2+BC2，

設(shè)AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.

∵DA＝15km，CB＝10km，

∴x2+152＝（25﹣x）2+102，

解得：x＝10，

∴AE＝10km，

∴收購站E應(yīng)建在離A點10km處.

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】由題意可得DE＝CE，根據(jù)垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝xkm，則BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，據(jù)此解答.

18．【答案】解：在中，∵，（m），

∴（m），

在中，∵，，（m），

∴（m），

∴（m），

答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離為.

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】利用已知條件可得到∠AOB=90°，同時可求出OB的長，利用勾股定理求出AO的長；再在Rt△COD中，可得到OD的長，利用勾股定理求出OC的長；然后根據(jù)AC=OA-OC，代入計算求出AC的長.

19．【答案】（1）解：平分，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：平分，，，

，

，

，

，，

，，，

，

設(shè)，

，

，

，

解得，

，

的面積為：

.

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠C，則∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度數(shù)；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DB=DE，利用HL證明△ABD≌△AED，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，設(shè)BD=DE=x，則CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，接下來根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算.

20．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∵AC×BC=AB×CD，

∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．

故修建的公路CD的長是12km；

（2）解：在Rt△BDC中，BD==16（km），

一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程=CD+BD=12+16=28（km）．

故一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是28km．

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再結(jié)合三角形的面積求出CD的長即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的長，再利用線段的和差求解即可。

21．【答案】（1）解：N是線段AB的勾股分割點，理由如下：

∵AM=1，MN=2，BN=，

∴AM2+BN2=MN2

∴以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，

∴M，N是線段AB的勾股分割點．

（2）解：∵點M，N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，有兩種情況：

①MN為斜邊時，有AM2+BN2=MN2

設(shè)BN=x，則52+x2=(7-x)2，

∴x=

②BN為斜邊時，有BN2=AM2+MN2

設(shè)BN=x，則52+(7-x)2=x2，

∴x=，

綜上，BN的長為或.-

【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）N是線段AB的勾股分割點，理由如下：由于較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，從而結(jié)合勾股分割點的定義即可得出答案；

（2）分類討論：①MN為斜邊時，設(shè)BN=x，則MN=（7-x），根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可；

②BN為斜邊時，設(shè)BN=x，則MN=（7-x），根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可，綜上即可得出答案.

22．【答案】（1）解：補全圖形如下圖：

（2）解：連接AD.

由軸對稱的性質(zhì)可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC.

∵AB=AC，

∴AD=AB.

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD=150°.

∴∠ABE=15°.

（3）解：補全圖形，連接CE，AD.

由軸對稱的性質(zhì)可得：CE=DE，AD=AC，

∠ACE=∠ADE.

∵AB=AC，

∴AD=AB.

∴∠ADB=∠ABD.

∴∠ACE=∠ABD.

∵∠ABD+∠ABE=180°，

∴∠ACE+∠ABE=180°.

在四邊形ABEC中，

∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BEC=90°.

∴BE2+CE2=BC2.

∴EB2+ED2=BC2.

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；軸對稱的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可解決問題；

（2）連接AD，由軸對稱的性質(zhì)可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC，首先證明AB＝AD，∠BAD＝150°，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（3）補全圖形，連接CE，AD，由軸對稱的性質(zhì)可得：CE=DE，AD=AC，∠ACE=∠ADE，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角、鄰補角的定義及等量代換得∠ACE+∠ABE=180°，進(jìn)而根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明∠BEC＝90°，再利用勾股定理即可解決問題.

23．【答案】（1）BC＝BD+CE

（2）解：問題解決

如圖②，過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，

∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，

Rt△BDE中，BE＝9，

由勾股定理得：；

（3）

【知識點】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：（1）觀察猜想

結(jié)論：BC＝BD+CE，理由是：

如圖①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，

∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，

∴∠D＝∠EAC，

∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，

∴△ADB≌△EAC（AAS），

∴BD＝AC，EC＝AB，

∴BC＝AB+AC＝BD+CE；

故答案為：BC＝BD+CE；

（3）拓展延伸

如圖③，過D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，

同理得：△CED≌△AFD，

∴CE＝AF，ED＝DF，

設(shè)AF＝x，DF＝y(tǒng)，

則，解得：，

，，

由勾股定理得：.

【分析】（1）觀察猜想：利用同角的余角相等得∠D＝∠EAC，從而利用AAS判斷出△ADB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得BD＝AC，EC＝AB，可得結(jié)論：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；

（2）問題解決：過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，同理證明：△ABC≌△DEA，可得DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，最后在Rt△BDE中，利用勾股定理求BD的長；

（3）拓展延伸：過D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理證明三角形全等，得CE＝AF，ED＝DF，設(shè)AF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等列方程組可得x、y的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理算出BD的長．

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2023-2024學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊單元測試第一章勾股定理（B卷）

第一章勾股定理（B卷）

考試時間：120分鐘滿分：120分

姓名：__________班級：__________考號：__________

題號一二三總分

評分

注意事項：

1、填寫答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫

2、禁止提前收取答題卡

第Ⅰ卷客觀題

第Ⅰ卷的解釋

閱卷人一、選擇題（共10小題，每小題3跟，共30分）

得分

1．（2023八上·渭濱期末）將直角三角形的三條邊長做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A．同加一個相同的數(shù)B．同減一個相同的數(shù)

C．同乘以一個相同的正整數(shù)D．同時平方

【答案】C

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），

∴，

若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為，，，

此時，

∴A，B不符合題意；

若三邊都乘以n（n為正整數(shù)），則三邊分別為，，，

∴，

∴此時三角形還是直角三角形，故C符合題意；

若三邊都平方，則三邊分別為：，，，

∴，

故D不符合題意；

故答案為：C.

【分析】設(shè)直角三角形的三邊長分別為：a，b，c（斜邊），則a2+b2=c2，若三邊都加上（或減去）同一個m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(a±m(xù))2+(b±m(xù))2≠(c±m(xù))2，據(jù)此判斷A、B；同理可判斷CD.

2．（2023八上·西安期末）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經(jīng)過最低點B，最終蕩到最高點C處，若，點A與點B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點C與點B的高度差CE為（）

A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米

【答案】B

【知識點】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，

∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，

∠AOF+∠OAF=90°，

∴∠COG=∠OAF，

在△AOF與△OCG中，

，

∴△AOF≌△OCG（AAS），

∴OG=AF=BD=4米，

設(shè)AO=x米，

在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，

解得x=8.5.

則CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.

故答案為：B.

【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF，由題意可得AO=OC，利用AAS證明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，設(shè)AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根據(jù)CE=GB=OB-OG進(jìn)行計算.

3．（2023八上·達(dá)川期末）在中，的對邊分別為，下列所給數(shù)據(jù)中，能判斷是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此選項符合題意；

C、∵，設(shè)，則，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

D、∵，設(shè)，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此選項不符合題意；

故答案為：B.

【分析】A、由題意分別計算a2+b2，c2的值，觀察是否滿足a2+b2=c2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

B、由已知的等式變形可得a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

C、設(shè)∠C=x，結(jié)合已知可將∠A和∠B用含x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B的度數(shù)即可判斷求解；

D、由題意可設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計算∠A、∠B、∠C的度數(shù)即可判斷求解.

4．（2023八上·開江期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．a(chǎn)2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

C、設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、D；根據(jù)B、C中的條件結(jié)合內(nèi)角和定理即可判斷.

5．如圖，長方形紙片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE長為（）

A．4.8B．5C．5.8D．6

【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

由折疊得BE=DE，

設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴42+（10-x）2=x2，

解得x=5.8.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=90°，由折疊得BE=DE，設(shè)DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

6．（2022八上·石景山期末）在等腰中，，，則底邊上的高為（）

A．12B．C．D．18

【答案】B

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：如圖，過點A作于點，

是等腰三角形，，

，

在中，由勾股定理得，

，

即底邊上的高為，

故答案為：．

【分析】過點A作于點，先求出，再利用勾股定理求出AD的長即可。

7．（2022八上·拱墅月考）如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于()

A．9B．35C．45D．無法計算

【答案】C

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，

在Rt△BDM和Rt△CDM中，

BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，

∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2

又∵AB=6，AC=9，

∴MC2-MB2＝45．

故答案為：C．

【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中分別表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別表示出BM2和MC2，然后等量代換并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入數(shù)據(jù)計算即可.

8．（2022八上·長春期末）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為尺，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得：，

設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，

由勾股定理得：．

故答案為：D．

【分析】設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。

9．（2023八上·侯馬期末）如圖，在中，，于點D，E是上一點，且，若，，則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】勾股定理；線段的計算

【解析】【解答】解：在中，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)，求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，可得，再利用線段的和差求出EC的長即可。

10．（2022八上·龍崗期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．B．C．6D．

【答案】B

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)秋千繩索的長度為，

由題意可得，

四邊形為矩形，，，，，

∴，，

在中，，

即，

解得，

即的長度為．

故答案為：B．

【分析】設(shè)秋千繩索的長度為，利用勾股定理可得，再求出即可。

閱卷人二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）

得分

11．（2023八上·海曙期末）如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，則BD的長是.

【答案】

【知識點】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，

∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，

∴，

∵BD平分∠ABC交AC于點D，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

解得，

在中，，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】過點D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，利用HL證明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，則AE=AB-BE=2，設(shè)CD=DE=x，則AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.

12．（2023八上·余姚期末）如圖，在長方形紙片中，，，點M為上一點，將沿翻至，交于點G，交于點F，且，則的長度是.

【答案】

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：設(shè)，則，

由題意得：，

，，，

（AAS），

，，

在中，，

即：，

解得：.

故答案為：.

【分析】設(shè)CM=x，則BM=8-x，由題意得DE=DC=AB=10，利用AAS證明△GMB≌△GFE，得到MG=GF，結(jié)合BG=EG以及線段的和差關(guān)系可得EM=BF，則ME=BF=CM=x，EF=BM=8-x，然后在Rt△ADF中，由勾股定理進(jìn)行計算即可.

13．（2023八上·江北期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，.現(xiàn)將三角形折疊，使得邊與重合，折痕為.則長為.

【答案】

【知識點】勾股定理；軸對稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：在中，

∴，

設(shè)，

依題意，，，，，

∴，

在中，

即，

解得：，即，

故答案為：.

【分析】首先根據(jù)勾股定理算出BC的長，由折疊得DE=CE，AD=AC=3，∠ADE=∠ACB=90°，設(shè)CE=x，則EB=4-x，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

14．（2023八上·開江期末）如圖，一架梯子AB長5米，底端離墻的距離BC為3米，當(dāng)梯子下滑到DE時，米，則BE＝米.

【答案】1

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵AB=5，BC=3，

∴AC=，

∵AD＝1，

∴CD=AC-AD=3，

∴CE=，

∴BE=CE-CB=米，

故答案為：1.

【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC的值，則CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根據(jù)BE=CE-CB進(jìn)行計算.

15．（2023八上·平昌期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了米.

【答案】9

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，

∴AB＝＝＝15（米），

∵CD＝10（米），

∴AD＝＝6（米），

∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），

答：船向岸邊移動了9米，

故答案為：9.

【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AB、AD的值，然后根據(jù)BD=AB-AD進(jìn)行計算.

第Ⅱ卷主觀題

第Ⅱ卷的解釋

閱卷人三、解答題（第16題10分，第17-18題每題7分，第19-21每題9分，第22-23每題12分，滿分75分）

得分

16．（2022八上·瑞安月考）在5×5的正方形網(wǎng)格中，點A，點B均在格點上，連結(jié)AB，請根據(jù)要求完成下列作圖：

（1）在圖1中找一個格點C，使得△ABC是直角三角形．

（2）在圖2中找一個格點D，使得△ABD是三個內(nèi)角都是銳角的等腰三角形．

【答案】（1）解：當(dāng)∠A=90°或∠B=90°時；

當(dāng)∠C=90°時

（2）當(dāng)AB=BD時

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；作圖-三角形

【解析】【分析】（1）要使△ABC是直角三角形，分情況討論，畫出圖形，當(dāng)∠A=90°，當(dāng)∠B=90°，當(dāng)∠C=90°，分別畫出符合題意的三角形.

（2）利用勾股定理，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形：當(dāng)AB=BD時；當(dāng)AB=AD時，畫出三個角都是銳角的等腰三角形即可.

17．（2023八上·新城期末）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠(yuǎn)處？

【答案】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等.

∴DE＝CE，

∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，

∴AE2+AD2＝BE2+BC2，

設(shè)AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.

∵DA＝15km，CB＝10km，

∴x2+152＝（25﹣x）2+102，

解得：x＝10，

∴AE＝10km，

∴收購站E應(yīng)建在離A點10km處.

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】由題意可得DE＝CE，根據(jù)垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝xkm，則BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，據(jù)此解答.

18．（2023八上·榆林期末）某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人如圖（1）.如圖（2），已知云梯最多只能伸長到（即），消防車高，救人時云梯伸長至最長，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？（延長交于點，，點在上，的長即為消防車的高）

【答案】解：在中，∵，（m），

∴（m），

在中，∵，，（m），

∴（m），

∴（m），

答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離為.

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】利用已知條件可得到∠AOB=90°，同時可求出OB的長，利用勾股定理求出AO的長；再在Rt△COD中，可得到OD的長，利用勾股定理求出OC的長；然后根據(jù)AC=OA-OC，代入計算求出AC的長.

19．（2023八上·長興期末）如圖，在中，，平分交于點D，作于點E.

（1）若，求的度數(shù)；

（2）若，，求的面積.

【答案】（1）解：平分，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：平分，，，

，

，

，

，，

，，，

，

設(shè)，

，

，

，

解得，

，

的面積為：

.

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠C，則∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度數(shù)；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DB=DE，利用HL證明△ABD≌△AED，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，設(shè)BD=DE=x，則CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，接下來根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算.

20．（2022八上·榆樹期末）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，已知點C與公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？空続、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的長；

（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是多少？

【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∵AC×BC=AB×CD，

∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．

故修建的公路CD的長是12km；

（2）解：在Rt△BDC中，BD==16（km），

一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程=CD+BD=12+16=28（km）．

故一輛貨車從C處經(jīng)過D點到B處的路程是28km．

【知識點】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再結(jié)合三角形的面積求出CD的長即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的長，再利用線段的和差求解即可。

21．（2022八上·長興月考）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

（1）已知M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM=1，MN=2，BN=，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．

（2）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=12，AM=5，求BN的長．

【答案】（1）解：N是線段AB的勾股分割點，理由如下：

∵AM=1，MN=2，BN=，

∴AM2+BN2=MN2

∴以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，

∴M，N是線段AB的勾股分割點．

（2）解：∵點M，N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，有兩種情況：

①MN為斜邊時，有AM2+BN2=MN2

設(shè)BN=x，則52+x2=(7-x)2，

∴x=

②BN為斜邊時，有BN2=AM2+MN2

設(shè)BN=x，則52+(7-x)2=x2，

∴x=，