2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中測(cè)試卷03

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的）

1.拋物線y=2x?的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（―,0）B.（0,-）C.（―,0）D.（0,—）

2288

【答案】D

【分析】

把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2P=g,p=：,

焦點(diǎn)為坐標(biāo)為（（）,：）.

o

故選：D.

2.直線八（2a-3及--+2=0不過(guò)第二象限，則a的取值范圍為（）

A.（3,0]B.[0,3）

C.[3,+oo）D.（-oo,0]U（3,+oo）

【答案】A

【分析】

分。=0與兩種情況分別分析，當(dāng)。片0時(shí)，將直線化為斜截式的形式，再分析得出答案.

【解析】

2

若4=0,則直線/的方程為x=該直線不過(guò)第二象限，合乎題意；

若awO,可得直線/的斜截式方程為>

aa

因?yàn)橹本€/不過(guò)第二象限，所以，解得a<0.

-<0

綜上所述，?<o.

故選：A

3.以下四個(gè)命表述正確的是()個(gè)

①若點(diǎn)4(1,2),圓的一般方程為』+y2+2x-4y+l=0,則點(diǎn)A在圓外

②圓C：*2+》2-2刀-8〉+13=0的圓心到直線4犬一3、+3=0的距離為2

③圓G：x2+)，2+2x=0與圓C?：爐+/-4》-8、+4=0恰有三條公切線

④兩圓V+y2+4x-4y=0與d+y?+2x72=0的公共弦所在的線方程為：x+2y+6=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

①將點(diǎn)A(l,2)代入圓可判斷；②將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心，利用點(diǎn)到直線距離公式可得；③求出兩

圓圓心和半徑，判斷位置關(guān)系可得：④兩圓方程相減即可求出.

【解析】

①點(diǎn)A(l,2)代入圓可得F+22+2xl-4x2+l=0,所以點(diǎn)A在圓上，故①錯(cuò)誤；

②由x2+y2-2x-8y+13=0可得(x-l)2+(y-4)2=4,則圓心為(1,4),由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到

14x1-3x4+31

線4x-3y+3=O的距離為一/.1=1,故②錯(cuò)誤；

③圓G化為(x+1)?+丁=1,圓心為G(-1,0)，半徑4=1,圓G化為(x—2)2+(y—4)2=16,圓心為C2(2,4),

半徑4=4,則圓心總巨|CG|=J(-l-2)2+(0-4)2=5=(+4,故兩圓外切，公切線有3條，故③正確；

④兩圓方程相減可得x-2y+6=0,故公共弦所在方程為x-2y+6=0,故④錯(cuò)誤，

綜上，正確的有1個(gè).

故選：A.

2

4.已知橢圓C：乂2+v二=1的焦點(diǎn)分別為Fi,Fi,P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

2

A.|PFI|+|PF2|=2

B.即斗正2面積的最大值是0

c.橢圓c的離心率為漁

2

D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-&=0相切

【答案】D

【分析】

結(jié)合已知條件分別求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)應(yīng)的。、h.c,對(duì)于選項(xiàng)AC：根據(jù)橢圓定義以及橢圓離心率的概

念即可求解；對(duì)于選項(xiàng)B：利用橢圓的焦點(diǎn)三角形的特征即可求解；對(duì)于選項(xiàng)D：求出以線段F1F2為直徑的

圓的圓心和半徑，然后求出圓心到直線x+y-&=0距離即可求解.

【解析】

由題意可知，橢圓C：x2+[=l的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。=正，短半軸長(zhǎng)匕=1,

設(shè)月(―c,0),6(c,0),則0=疝不=1，設(shè)尸(辱，力)，

對(duì)于選項(xiàng)A：|PFI|+|PF2|=2&，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榛豍F1F2面積為耳鳥II外區(qū);x2cx6=gx2xl=l,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：橢圓的離心率e=￡=3=也，故C錯(cuò)誤；

a422

對(duì)于選項(xiàng)D：以線段F1F2為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)。。0),半徑r=c=l,

故原點(diǎn)。。0)到直線x+y-&=0的距離d=叱°一偽=1,

VI2+12

從而以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y—夜=0相切，故D正確.

故選：D.

5.已知圓C是以點(diǎn)網(wǎng)2,2⑹和點(diǎn)汽儉,-2⑹為直徑的圓，點(diǎn)尸為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)8(1,1),

則2|E41Tp目的最大值為()

A.y/26B.4+V2C.8+5&D.叵

【答案】A

【分析】

由題設(shè)可知圓c：a-4)2+r=16,在坐標(biāo)系中找到a-4,0),應(yīng)用三角線相似將2|/訓(xùn)轉(zhuǎn)化到再利

用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.

【解析】

由題設(shè)，知：C(4,0)J1.|MN|=7(-2\/3-2^)2+(6-2)2=8.即圓C的半徑為4,

回21PAl-|P8|=|PD|-|P31,在國(guó)依。中I電>I-1P81<|8。|,

團(tuán)要使IP。ITP81最大，P,B,D共線且最大值為|BD|的長(zhǎng)度.

叫BD\="（1+4）"=726.

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先求出圓C方程，找到定點(diǎn)。使奈=箓，進(jìn)而將21PAi轉(zhuǎn)化到其它線段，結(jié)合三角形三

邊關(guān)系求目標(biāo)式的最值.

6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)加（內(nèi),乂），N（%,力）為不同的兩點(diǎn)，直線/的方程為6+外+c=。，

cax,+by.+c

s=—；:A——,下面四個(gè)命題中的假命題為（）

ax2+by,+c

A.存在唯一的實(shí)數(shù)15,使點(diǎn)N在直線/上

B.若5=1,則過(guò)M,N兩點(diǎn)的直線與直線/平行

C.若5=-1,則直線經(jīng)過(guò)線段M,N的中點(diǎn)；

D.若6>1,則點(diǎn)M,N在直線/的同側(cè)，且直線/與線段M,N的延長(zhǎng)線相交；

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意對(duì)6——分析，逐一驗(yàn)證.

【解析】

cax,+by,+c

解：對(duì)于A,3=-----------化為：g+〃％+c-S（%+蜘+c）=OU%+如+c*0）,即點(diǎn)N?,%）不在直線/

ax2+by2+c

上，因此A不正確.

對(duì)于5,3=\,則4（與一%2）+優(yōu)必-%）=0，即過(guò)仞，N兩點(diǎn)的直線與直線/的斜率相等，又點(diǎn)N（&,）3）不

在直線/上，因此兩條直線平行，故8正確；

對(duì)于C,5=-1,則g+如+。+（眶+奶+c）=0,化為:七+?>'+c=0,因此直線/經(jīng)過(guò)線段MN的

中點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于￡）,5>1,則（叼+孫+<?）、（畛+攝2+<?）=5（畛+奶+。2>0,則點(diǎn)M,N在直線/的同側(cè)，故。正確；

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于難題.

7.AABC的三個(gè)頂點(diǎn)為4（一2,2）、8（-2,1）、C（0,3）,已知“ABC與VAEC關(guān)于直線4x—3y—1=0對(duì)稱，戶、

。分別是AABC與VA5c上的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）

1224

A.2B.yC.4D.—

【答案】C

【分析】

計(jì)算出AABC三個(gè)頂點(diǎn)到直線4x-3y-l=0的距離，比較大小后可得出|PQ|的最小值.

【解析】

.卜8-6-1|

點(diǎn)A到直線4x-3.y-l=0的距離為也=I,,=3,

肚+（-3）

,1-8-3-1112

點(diǎn)B到直線4x—3y—1=0的距離為〃=/,,、，=-T，

1-9-11

點(diǎn)C至U直線4x-3y-1=0的距離為4=I,,、z=2,則分<乙<服，

g+（-3）

所以，當(dāng)點(diǎn)P、。分別與C、C'重合時(shí)，與直線4x-3y-1=0垂直,

故忸GL=2%=4.

故選：C

8.已知拋物線丁=22彳（P是正常數(shù)）上有兩點(diǎn)A（x,，x）,8（孫力），焦點(diǎn)產(chǎn)，

2

甲：

乙：乂必二一"2

.----------3,

丙：=

112

?。喝?勾=一以上是"直線A5經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸'的充要條件有幾個(gè)（）

\FA\|FB|p

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

先證明必要性：設(shè)過(guò)拋物線C：V=2px（〃＞（））的焦點(diǎn)尸的直線為：x=my+^,代入拋物線方程得：

y2-2pmy-p2=0,計(jì)算乂%、為々、OAOB＞即可判斷甲、乙、丙、丁都是必要條件，再設(shè)

|E41|FB\

2

直線A3的方程為：+代入拋物線方程得：y-2pmy-2pt=0,由韋達(dá)定理驗(yàn)證四個(gè)結(jié)論成立時(shí)，

實(shí)數(shù)f的值，即可判斷充分性，進(jìn)而可得正確答案.

【解析】

必要性：設(shè)過(guò)拋物線C：V=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線為：x=+g

代入拋物線方程得：/,2pmy-p2=0；

由直線上兩點(diǎn)AQ,%）,8（乙,力），

2

則有yty2=-p，

22

=吟％+會(huì)出+、)

段2+當(dāng)2+^-=￡

OAOB=xlx2+yly2=?)-

X1+x2+p2

=p~〃/

彳+ja十二P

故：甲、乙、丙、丁都是必要條件，

充分性：設(shè)直線A8方程為：x股+r,則直線45交X軸于點(diǎn)(r,0),

2

拋物線焦點(diǎn)「6，°)將直線A8的方程與拋物線方程得：y-2pmy-2pt=0,

由直線上兩點(diǎn)AQ,y),3(孫為)，

對(duì)于甲：

若不%=(叼1+"(叼2+f)='"x%+""(%+%)+/

=m2(-2pt)+tin-2pm+r=9,

可得r=±4,直線A3不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F.所以甲條件是"直線A3經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F"的必要不充分條件；

對(duì)于乙：若M%=-p2=-2pr,則/=5,直線A8經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,所以乙條件是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F"的充要

條件；

2

對(duì)于丙：OAOB=x,x2+y]y2=-2Pt+f=-^p,可得或"當(dāng)，直線A3不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,所以

丙條件是"直線A3經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸'的必耍不充分條件；

11_x+x+p

..-----1-----l2

對(duì)于?。簗幺||FB|玉+/)(馬+f)王*2+^&+々)+。

X]+入2+〃_2

=2乙"、p2=[可得"-直線AB不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F.所以丁條件是"直線48經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F"的必

+

t+—x2)+~2

要不充分條件；

綜上，只有乙正確，正確的結(jié)論有1個(gè).

故選：B

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)A8是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸的弦，若AQ,%),8(%,%),則：

2

/“、P~>

(1)x1x2=—,>防=一，；

(2)若點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，則朋=,°,忸尸|二P,

1-coscz1+cosa

2P

弦長(zhǎng)|A8|=X]+X2+p=(a為直線AB的傾斜角);

sin2a

（3）--------1--------=—?

|E4||FBIp'

（4）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

（5）以4F或8尸為直徑的圓與＞軸相切.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全對(duì)得5分，少選得3分，多選、錯(cuò)選不得分）

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)耳（西,乂），2伍,必）的直線都能用方程（廣乂）（毛-%）=（*-引（%-乂）表示

B.直線6+2y+6=0與直線x+（a-l）y+/—1=0互相平行，則a=—1；

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0.

D.若直線/沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿V軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直

2

線/的斜率為

【答案】ABD

【分析】

利用直線方程的一般式判斷A;直線平行的充要條件判斷B;對(duì)于C,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）的

直線為x-y=o,當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)截距式方程，即可求解；寫出平移后的直線與原方程一致判斷

D.

【解析】

對(duì)于A,由直線方程的兩點(diǎn)式可知過(guò)（為，y）,a2,y2）（且x產(chǎn)乂2，）葉為）兩點(diǎn)的所有直線方程為

上二人=土玉，化為整式后小工加%沒(méi)限制，所以經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)蟲為，乂）、租三，無(wú)）的直線都

%一乂占一%

可以用方程（y-X）（X2-X1）=（X-X|）（%一%）表示，正確.

對(duì)于B,直線以+2y+6=o與直線x+（a-l）y+a2-l=0互相平行，則。（a-1）=2,則。=—1或〃=2,當(dāng)a=2

時(shí)，兩直線重合（舍去），所以B正確；

對(duì)于C,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）的直線為x-y=0,

當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為“，即直線方程為二+2=1,

aa

???直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,

..—?——1，解得。=2,

aa

故直線方程為無(wú)+y-2=0,

綜上所述，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）且在入軸和y軸上截距都相等的直線方程為無(wú)+y-2=0或者x-y=O.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)直線/為了=丘+"由題意得'=以＞+3）+6+2=履+3%+6+2,

2

則弘+〃+2=b,，％=-§,.【D正確，

故選：ABD

10.已知圓。的方程為產(chǎn)+/=1,過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.,與作圓。的兩條切線以、P8,切點(diǎn)分別為A、B,

下列結(jié)論中正確的有（）

A.若P在直線3犬+”-10=。上，則四邊形。AP8的面積有最小值2

B.四點(diǎn)0、A、P、8共圓

C.直線A8的方程為公-+by-l=0

D.若尸。.方=8，則a+〃的最大值為3亞

【答案】BCD

【分析】

求出圓心到直線3x+4）」10=0的距離后可求四邊形OAPB的面積有最小值，故可判斷A的正誤，利用對(duì)角

為一對(duì)直角可判斷B的正誤，利用切點(diǎn)弦的計(jì)算方法可判斷C的正誤，利用向量的數(shù)量積可求得黯+從=9,

從而可求a+6的最大值，故可判斷D的正誤.

【解析】

故歸（加=6,所以四邊形。APB的面積有最小值2xgxlx|PA|m「石，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)閆R4O=NP8O=90。，故四點(diǎn)。、4P、8共圓，故B正確.

對(duì)于C,

此圓的方程為：x（x_a）+y（y_6）=o，

故AB:x2+y2-ax-by-^x1+y?-1）=0即ax+by-1=0,

故C正確.

對(duì)于D,因?yàn)锳0.pN=8，故（P4+A0?岡=8即而2=8,

所以而2=9即6+從=9，故（a+b）2+（a-b）2=18,

故（。+32418即〃+當(dāng)且僅當(dāng)“=匕=竽，

故的最大值為3亞.

故選：BCD.

11.已知圓。的半徑為定長(zhǎng)，A是圓。所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，尸是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線/

和直線。戶相交于點(diǎn)。.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列判斷正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)A在圓。內(nèi)（不與圓心重合）時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是橢圓;

B.點(diǎn)。的軌跡可能是一個(gè)定點(diǎn)；

C.點(diǎn)。的軌跡可能是拋物線.

D.當(dāng)點(diǎn)A在圓0外時(shí)，點(diǎn)。的軌跡是雙曲線的一支

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)A點(diǎn)所在的位置分類討論，結(jié)合橢圓、拋物線、雙曲線的定義判斷即可;

【解析】

由已知得

所以+|例=|/+|四=\OF\=r.

又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以

根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)。的軌跡是以。，A為焦點(diǎn)，，?為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.

圖］

當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，點(diǎn)。與圓心重合，軌跡為定點(diǎn)；

對(duì)C,由于當(dāng)點(diǎn)A與圓心。重合時(shí)，點(diǎn)。的軌跡為圓，綜合A,B,?？芍c(diǎn)。的軌跡不可能為拋物線.

對(duì)D,如圖3,連接QA,

由已知得|QA|=|Q".

所以|儂-依。||=闞-囪|==r.

又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外，所以

根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)。的軌跡是以。，A為焦點(diǎn)，，?為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.

故選：ABD.

12.已知平面上的線段/及點(diǎn)P,任取/上一點(diǎn)Q,稱線段長(zhǎng)度的最小值為點(diǎn)尸到線段/的距離，記作以尸」).

已知線段4：X=-1(-2"42),/2:x=l(-2<y<0),點(diǎn)尸為平面上一點(diǎn),且滿足段尸,/J=d(P?),若點(diǎn)尸的

軌跡為曲線C,A,8是第一象限內(nèi)曲線C上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(1，0)且|AF|=｝忸曰=亨，則()

A.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B.點(diǎn)A的坐標(biāo)為

C.點(diǎn)5的坐標(biāo)為停山D.ABW的面積為整

122J16

【答案】BCD

【分析】

先確定4和4對(duì)應(yīng)的圖象，然后對(duì)y進(jìn)行分類討論，分別研究點(diǎn)尸的軌跡，然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判

斷即可.

【解析】

4：x=-l(-24y42)為線段SQ,

/,：x=l(-2”40)為線段用，

又d(尸d)=d(P,，2),

①當(dāng)-24y40時(shí)，由題意可得，點(diǎn)尸在，軸上；

②當(dāng)y<-2時(shí)，d(P,l)=PQ,d(P,止PR,此時(shí)點(diǎn)P在V軸上;

③當(dāng)04y42時(shí),d(P,乙)為點(diǎn)尸到尤=一1的距離,d(P,l2)=PF,

此時(shí)點(diǎn)尸的軌跡是一條拋物線，準(zhǔn)線方程為x=-l,

所以夕=2,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=4x；

④當(dāng)y>2時(shí),d(P,l1)=PS,d(P,l2)=PF,

此時(shí)點(diǎn)P在"的中垂線上，而S(-1,2),F(l,0),中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

?

所以《?〃=一「二=-1，所以點(diǎn)P在直線y=x+i上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

又所以4+1=?,解得以=:,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(；』)，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)殁钍释?gt;|4又點(diǎn)B在y=x+l上，

y=x+\

聯(lián)立方程組八2,(商丫，可得x=],y=。，

所以點(diǎn)8的坐標(biāo)為(g,I),故選項(xiàng)C正確；

“回=9一1=［，故直線AB的方程為y=+

2-4

則直線A8與x=l的交點(diǎn)坐標(biāo)為

119(19/3、19

所以S*B=S"GA+$△”=力而X1--+-X-X^-1=-,故選項(xiàng)D正確.

21U\4)21Uk2)lo

故選：BCD.

本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的綜合應(yīng)用，考查了拋物線定義的應(yīng)用以及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與直線的位

置關(guān)系，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知圓C：/+了2-2〃吠+4〃?)，+5/-20=0(機(jī)€/?)上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)41,-2)的距離為不，則機(jī)的取

值范圍是___________

【答案】(—2,0)52,4)

【分析】

寫出以A為圓心，“=石為半徑的圓A的方程，判斷圓A與圓C的位置關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)圓心距與兩圓半徑

的關(guān)系求〃?的取值范圍.

【解析】

以A(l,-2)為圓心，以｛=逐為半徑的圓A：(x-l>+(y+2)2=5,

圓C：x2+y2-2mx+4my+5m2-20=0(meR)：圓心為C("4-2〃。，半徑&=26，

0|AC|=7(W-1)2+(-2/M+2)2=yj5m2-i0m+5，

由題意知：兩圓相交，即百<55%2—10〃?+5<3后，解得機(jī)W(-2,0)U(2,4).

故答案為：(-2,0)0(2,4)

14.唐代詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬德交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有

趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬”，即將軍在觀望峰火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎

樣走才能使路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為8(-2,0),若將軍從山腳下的點(diǎn)

處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2y=3,則"將軍飲馬"的最短路程為.

【答案】叵

3

【分析】

先求得點(diǎn)B關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)則點(diǎn)A,C之間的距離即為所求.

【解析】

如圖所示:

則白沙，解得

即"將軍飲馬"的最短路程為山竺

3

故答案為：叵

3

15.己知橢圓;■+與=1（。＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為"、K，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)48在橢圓上，且滿

a~b~

JTJI

足,日即I，若令4鉆=。且。G則該橢圓離心率的取值范圍為------------

【答案】性用

【分析】

由|43=|百目得A^B鳥為矩形，則明=2c?sine,A4=2c-cose=BK,故e=￡=~結(jié)合正弦

asin0+cos0

函數(shù)即可求得范圍.

【解析】

由已知可得M=2c,且四邊形鳥為矩形.

所以BF[=2c?sin6,A￡=2c?cos8=BF2,

又因?yàn)锽F]+BF2=2at所以2c?sin6+2c?8se=2a.

e=—c=---1---=----1---

得離心率asin+cos0拒sin(0+1，

因?yàn)?，所以O(shè)+y>|-，可得sin((9+?

1H五指

從11而ee—

故答案為:

16.已知點(diǎn)尸（2,0）,動(dòng)點(diǎn)。滿足以P。為直徑的圓與y軸相切，過(guò)點(diǎn)P作直線x+（加-1）尹2加-5=0的垂線,

垂足為R，則|QP|+|Q?|的最小值為.

【答案】紀(jì)叵

2

【分析】

由拋物線定義可知Q的軌跡方程，直線x+WTy+2〃L5=0過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)，可知R點(diǎn)的軌跡為

圓，再結(jié)合拋物線與圓的性質(zhì)即可得到最小值.

【解析】

由動(dòng)點(diǎn)Q滿足以QP為直徑的圓與y軸相切可知：動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)P的距離等于動(dòng)點(diǎn)Q到直線X=-2的距離,

故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為y2=8%,

由工+（加一1））?+2〃2—5=0可得%—丁一5+01（丁+2）=0,

%—y—5=0

■^=22解得D（3,—2）,即直線工+（加-1）'+2加一5=0過(guò)定點(diǎn)。（3,—2）,

又過(guò)P作直線x+（〃Ll）y+2m-5=0的垂線，垂足為R,

所以R點(diǎn)在以P。為直徑的圓上，直徑式方程為（尤-2乂>3）+可丁+2）=（）,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-gj+（丫+1）2=1,圓心嗚,-1）半徑「考

過(guò)。做QM垂直準(zhǔn)線，垂足為M,過(guò)E做EG垂直準(zhǔn)線，垂足為G

則|。尸|+|刎*\QM\+\QE\-^->\EG\-^-=￡-亭=9J

故答案為：紀(jì)叵

四、解答題（本大題共6小題，第17-18題10分，第19-21題12分，第22題14分，共70分.第23題為

附加題.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.已知兩點(diǎn)A（—3,4）,5（3,2）,過(guò)點(diǎn)P（LO）的直線/與線段A3有公共點(diǎn).

（1）求直線/的斜率上的取值范圍；

（2）求直線/的傾斜角a的取值范圍.

【答案】（1）（e,T]U[l,y）;（2）450<a<135°.

【分析】

（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出線段AB,標(biāo)出點(diǎn)P（l,0）,計(jì)算七,以及左即，數(shù)形結(jié)合可得&2%/或％4即.，

即可求解;

(2)直線/的傾斜角介于直線P8與小的傾斜角之間求出小、/>8的傾斜角，即可求解.

【解析】

如圖,由題意可知即小號(hào)=一1，%=言=1，

(1)要使/與線段A8有公共點(diǎn),

則直線/的斜率&的取值范圍是：kN%或kN%,即01或心T,

所以直線/的斜率左的取值范圍田)；

(2)由題意可知直線/的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，

又尸8的傾斜角是45,小的傾斜角是135，

所以傾斜角a的取值范圍是45<a<135.

18.已知圓C滿足：圓心在直線*+y=0上，且過(guò)圓G：x2+yJ2x+10y-24=0與圓

C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)A,B.

(1)求弦AB所在直線的方程：

(2)求圓C的方程.

【答案】(1)x-2y+4=0；(2)圓C:x2+y2+6x-6y+8=0.

【分析】

(1)利用兩圓的方程相減后可得弦4B所在直線的方程.

(2)利用圓系方程可求圓C的方程.

【解析】

(1)因?yàn)閳AG：Y+V-2工+lOy-24=0,圓C2：/+V+2x+2y-8=0,

且它們的交點(diǎn)為A5,

故的直線方程為：x2+/-2x+10y-24-(x2+r+2x+2y-8)=0,

整理得到A8的直線方程為：x-2y+4=0.

(2)設(shè)圓C的方程的方程為：x2+y2+2x+2y-8+A(x-2y+4)=0,

整理得至U圓C:x2+y2+(2+/l)x+(2—2/l)y-8+4/l=0,

故C[-等,1),因?yàn)镃在直線x+y=O上,故-學(xué)+2-1=0,

故2=4,故圓C:x?+V+6尤-6y+8=0.

19.已知圓C的圓心在直線2x—y—3=0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),3(3,2),

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/過(guò)點(diǎn)P(2,l)且與圓C相交，所得弦長(zhǎng)為26，求直線/的方程；

(3)設(shè)Q為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸(2,1),試求△OP。面積的最大值.

【答案】(1)(x-4)2+(y-5)2=10；⑵x=2或y：；(3)3+—.

422

【分析】

(1)設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，根據(jù)|C4「=|C<求得圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)對(duì)/的的斜率分成存在和不存在兩種情況，結(jié)合勾股定理、弦長(zhǎng)公式來(lái)求得直線/的方程.

(3)結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得圓上的點(diǎn)到直線O尸的距離的最大值，由此求得△OP。面積的最大值.

【解析】

(1)?.?圓C的圓心在直線2x-y-3=0上，設(shè)C(a,2a-3),

由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),8(3,2),可得|C4『=|C8『，

B|J(a-5)2+(2(z-3-2)2=(a-3)2+(2a-3-2)2,解得a=4.

故圓心C(4,5),半徑為r=|C4|=J(a-5)2+(2a-3-2)2=M,

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4>+(y-5)2=10.

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=2,弦心距等于2,滿足弦長(zhǎng)為2卡，符合

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-l=k(x-2),即丘-y+l-2A=0.

此時(shí)，弦心距小安￥=%1

yjk2+lyjk2+l

由/+(遙產(chǎn)=嚴(yán)解得％==3,故直線/的方程為y=4=X-1：.

442

綜上可得，所求的直線/的方程為x=2或y=；3x-]1.

(3)直線。P的方程為y=1x,即x-2y=0,故圓心到直線的距離為d=H；2x5|=&|

2V4+T5

故圓上的點(diǎn)到直線。p的距離最大為d+r=￥+Jib.再由==逐，

可得△0P。面積的最大值為；Jo葉(d+r)=3+半.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓x2+y2-4x=0的圓心為M.

(1)求過(guò)點(diǎn)P(0,—4)且與圓相交所得弦長(zhǎng)為2夜的直線方程：

(2)若過(guò)點(diǎn)P(0,-4)且斜率為k的直線/與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)直線。4。8的斜率分別為

kl,42.求證:kl+/f2=-l.

【答案】(1)X7-4=0或7x-y-4=0；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)設(shè)直線方程，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得圓心到直線的距離，從而得出直線方程，注意

討論斜率不存在的直線；

(2)直線/方程為丫=履-4,設(shè)4(西,弘),8(々,%),直線方程代入圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得王+々，&了2，然后

代入K+&可得.

【解析】

(1)圓M標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+y?=4,圓心為M(2,0),半徑r=2,

所以圓心到直線的距離為d=J,_(0)2=0,

因此斜率不存在的直線不合題意，直線斜率存在,

設(shè)直線方程為y=〃a-4,即見(jiàn)-丫-4=0,

所以1--..=叵,解得力=1或7.

+1

直線方程為x-y-4=0或7x-y-4=0；

(2)直線/方程為y=H-4,設(shè)4(%,州),8區(qū),必),

由=°得(1+/)/—4(2左+l)x+16=0,△=16(2%+1)2-64(1+r)>0,解得及>：.

所以］+公,x}x2=-^-^,

所以仁+公=&+&==(--4)々+依2-4)/

"x}x2x}x2XyX2

=2"/-43+與)=2._4(芭+々)=2k-(2k+1)=-1

XyX2XyX2

22o

21.已知：雙曲線與一春_=1(?>0,b>0)的離心率為彳且點(diǎn)卜2a,右)在雙曲線上.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為a，右焦點(diǎn)為用，p為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求心?尸思的最小值;

(3)若M是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，尸|為左焦點(diǎn)，寫出|M制的最小值.

【答案】(1)--^-=1;(2)-4；(3)I.

45

【分析】

(1)根據(jù)離心率及雙曲線上的點(diǎn)聯(lián)立方程求a,b即可求標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P(x,y)(xN2),寫出向量即利用二次函數(shù)求最值；

(3)設(shè)M(x,y)為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，求I例6I,利用二次函數(shù)求最值.

【解析】

c_3

a-2

Q5

(1)由題意有,/-層■=1，解得/=4,Z?2=5,

c2=a2+b2

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-￡=1;

45

(2)由已知得4(—2,0),入(3,0),設(shè)P(x,y)(xN2),則可=(—2—x,—y),%=(3—x,—y),

所以P\-=x2-x-6+y2=x2-x-6+^x2-5=^x2-x-ll=^x-^-,

因?yàn)閤22,所以當(dāng)x=2時(shí)，%取得最小值，且最小值為4

(3)設(shè)為雙曲線左支上任意一點(diǎn),

因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)6(-3,0),

所以|A/月|=J(x+3)2+),2=J(x+3/+-x2—5-x~+6x+4(x4—2),

94

由y=一尸+6x+4(xW—2),對(duì)稱軸為工=—>—2知，

43

9

當(dāng)x=-2時(shí)，ymin=-x4-2x6+4=l,

所以I峙Ln=L

22.已知橢圓E：4+4=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,鳥，離心率為e=立，過(guò)左焦點(diǎn)K作直線

a~b~2

4交橢圓E于A,8兩點(diǎn)，AA8心的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線4：*kx+m(km<0)與圓。：V+丁=1相切，且與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，|町|+加巴|是否存

在最小值？若存在，求出|砥|+|叫|的最小值和此時(shí)直線4的方程.

2

【答案】(1)—+v2=l;(2)最小值為2,x-VIy-6=0或x+應(yīng)y-6=o.

4

【分析】

⑴由橢圓定義結(jié)合已知求出。，半焦距c即可得解；

⑵由直線4與圓。相切得病=二+1,聯(lián)立直線4與橢圓E的方程消去y,借助韋達(dá)定理表示出阿閭+|N閭,

利用函數(shù)思想方法即可作答.

【解析】

(1)依題意，結(jié)合橢圓定義知的周長(zhǎng)為4a,則有4。=8,即L=2,

又橢圓的離心率為e=￡=3,得。=百，于是得〃=。2一。2=1,

a2

所以橢圓E的方程為三+丁=1；

4-

(2)因直線4：y=kx+m(km<0)與圓。：/+丁=1相切，則］崇!1=1，即療=公+1，

設(shè)加(5,乂),%(々,%)，(㈤42,同42),而點(diǎn)M在橢圓E上，則五+弁=1,即4=1-五，又6(6,0),

+4=|彳入一2|=2-—x,

|明|二向二3&7=t

同理|N周=2-4*2，于是得|“"+|八閭=4一3（％+々）,

y=kx+m

由2_消去y得：（1+4公）x2+8knr+4//?_4=0,顯然A>0,則為+々=-黑7

,T+'-'

又km<0,且療=二+1,因此得x_8|%|_8#(*+1),

*2-1+叱-4k2+1

令"4公+121,則0+々=2J—持=2J—3(；-+'4竽,當(dāng)且僅當(dāng);=；,即t=3時(shí)等號(hào)成立,

于是得|"K|+|N可存在最小值，且|MF1+|N用=4-#(占+*2)之2,|g|+|N閭的最小值為2,

/n2=k2