第七節(jié)解三角形應用舉例知識點測量中的有關術語上方下方0°≤θ<360°1．(易錯題)若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的(

)A．北偏東15°B．北偏西15°C．北偏東10°D．北偏西10°B2．如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，則可以計算出A，B兩點的距離為________m.3．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h＝________米．題型一距離問題合作探究

[例]

(2021·寧德質檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑為________．

求距離問題的兩個注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．D題型二高度問題合作探究[例]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.利用正、余弦定理求解高度問題應注意的三個問題(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵.

(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.[對點訓練]為了測量某新建的信號發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B的同一水平面內的兩個觀測點C，D，測得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點C的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則發(fā)射塔高AB＝________m.解析：如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC,

BF＝CE＝1m，∠AEF＝30°.題型三角度問題合作探究[例]在一次海上聯合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．[提醒]方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．[對點訓練]如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．[對點訓練]

《海島算經》是中國學者劉徽編撰的一部測量數學著作，現有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標桿BC和DE，兩標桿之間的距離BD＝1000步，兩標桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F三點共線，從后面的標桿D處后退127