第一講正弦定理和余弦定理第一講正弦定理和余弦定理重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：正余弦定理及三角形面積公式．難點(diǎn)：在已知三角形的兩邊和其中一邊對(duì)角的情況下解的討論．重點(diǎn)難點(diǎn)知識(shí)歸納知識(shí)歸納3．三角形中的常見(jiàn)結(jié)論(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊．(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(4)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角函數(shù)關(guān)系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sin＝cos；cos＝sin；tan＝cot.3．三角形中的常見(jiàn)結(jié)論正弦定理和余弦定理課件4．解斜三角形的類型解斜三角形有下表所示的四種情況：4．解斜三角形的類型已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b與c；在有解時(shí)只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三邊c；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解時(shí)只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c邊，可有兩解，一解或無(wú)解，詳見(jiàn)下表.已知條件應(yīng)用一般解法一邊和兩角正弦由A＋B＋C＝180°求出在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解的情況如下：A為銳角A為鈍角誤區(qū)警示1．在利用正弦定理解決已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題時(shí)，可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷解的情況，作出正確取舍．2．在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角的關(guān)系或邊邊的關(guān)系，再用三角變換或代數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解．注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能．3．一般地，sinα>sinβ?/α>β，但在△ABC中，sinA>sinB?A>B.誤區(qū)警示一、判斷三角形形狀的方法根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊．具體有如下四種方法：①通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；②通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；③通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；④通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷及正、余弦函數(shù)有界性的討論；注意：在△ABC中，b2＋c2－a2>0?A為銳角，b2＋c2－a2＝0?A為直角，b2＋c2－a2<0?A為鈍角．一、判斷三角形形狀的方法二、解題技巧在△ABC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦有解(即存在)的充要條件是cosA＋cosB>0.簡(jiǎn)證如下：C有解?A＋B有解?0<A＋B<π?0<A<π－B<π?cosA>cos(π－B)?cosA>－cosB?cosA＋cosB>0.因此判斷C是否有解，只須考慮cosA＋cosB的符號(hào)即可．了解這一結(jié)論，對(duì)做選擇題或填空題來(lái)說(shuō)，將十分方便．二、解題技巧[例1]在△ABC中，sinA＝，cosB＝，求cosC.[例1]在△ABC中，sinA＝，cosB＝正弦定理和余弦定理課件[例1]在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和邊c的值．[例1]在△ABC中，已知a＝，b＝正弦定理和余弦定理課件點(diǎn)評(píng)：(1)已知兩角和一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論．這是易錯(cuò)的地方，也是?？疾榈牡胤剑c(diǎn)評(píng)：(1)已知兩角和一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接在△ABC中，(1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，則b＝________.(2)若b＝3，c＝，C＝45°，則a＝________.在△ABC中，[例2]在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列，則∠B的范圍是______．分析：欲求角B的取值范圍，可用余弦定理求cosB＝ 的取值范圍，利用條件a、b、c成等差可消去b，通過(guò)基本不等式可獲解．[例2]在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b答案：0<B≤答案：0<B≤在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，又c＝，b＝4，且BC邊上的高h(yuǎn)＝2.則(1)角C＝________；(2)a＝________.在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，又c答案：(1)60°(2)5答案：(1)60°(2)5[例3]在△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判斷三角形的形狀．[例3]在△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C解析：已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA※由正弦定理得，sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC為等腰或直角三角形．點(diǎn)評(píng)：得到※式后也可用正余弦定理化角為邊推證a＝b或a2＋b2＝c2.解析：已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀．(1)若acosA＝bcosB，則△ABC形狀為_(kāi)_______．(2)若，則△ABC形狀為_(kāi)_____．根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀．解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB?

?a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．解析：(1)由余弦定理得(2)由正弦定理得即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC為等邊三角形．答案：(1)等腰或直角三角形(2)等邊三角形總結(jié)評(píng)述：根據(jù)已知條件，適當(dāng)選取使用的定理，化邊為角或化角為邊，邊角互化是解決這類問(wèn)題的基本途徑.(2)由正弦定理得正弦定理和余弦定理課件在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且.(1)求sinB的值；(2)若b＝4，且a＝c，求△ABC的面積．在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且正弦定理和余弦定理課件分析：所給條件式為角的關(guān)系，又均為“二次”式，故化角為邊后可利用余弦定理尋求聯(lián)系求解．分析：所給條件式為角的關(guān)系，又均為“二次”式，故化角為邊后可正弦定理和余弦定理課件正弦定理和余弦定理課件答案：B答案：B一、選擇題1．在△ABC中，已知下列條件解三角形：①A＝60°，a＝，b＝1；②A＝30°，a＝1，b＝2；③A＝30°，c＝10，a＝6；④A＝30°，c＝10，a＝5.其中有唯一解的是 ()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①③④一、選擇題[答案]

B[解析]

>1>1·sin60°.故①有唯一解；2·sin30°＝1，故②有唯一解；10sin30°<6<10，故③有兩解；10sin30°＝5，故④有唯一解．[答案]B2．(文)△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是 ()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形[答案]

D[解析]

∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.故選D.2．(文)△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2(理)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 ()A．120° B．105°C．90° D．75°[答案]

A(理)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如3．(文)(09·浙江)設(shè)向量a，b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ()A．3B．4C．5D．6[答案]

B[解析]

當(dāng)圓與三角形兩邊都相交時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，本題新構(gòu)造的三角形是直角三角形，其內(nèi)切圓半徑恰好為1.故它與半徑為1的圓最多有4個(gè)交點(diǎn)．故選B.3．(文)(09·浙江)設(shè)向量a，b滿足：|a|＝3，|b|[答案]

C[答案]C∴點(diǎn)N在BC邊的中線上，同理點(diǎn)N也在AB、AC邊的中線上，∴點(diǎn)N是重心．∴點(diǎn)N在BC邊的中線上，同理點(diǎn)N也在AB、AC邊的中線上，∴[答案]

D[答案]D(理)△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B＝30°，△ABC的面積為0.5，那么b為 ()(理)△ABC中，