福建省莆田市埭頭第一中學2021-2022學年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為

A.8B.16

C.32D.64參考答案：C

【知識點】由三視圖求面積、體積．G2解析：由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，如圖所示：由底面底邊長為4，高為2，故底面為等腰直角三角形，可得底面外接圓的半徑為：r=2，由棱柱高為4，可得球心距為2，故外接球半徑為：R==2，故外接球的表面積S=4πR2=32π，故選：C【思路點撥】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以4為高的直三棱柱的外接球相同，進而可得該幾何體外接球的表面積．2.若向量的夾角為，且，則與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：設向量與的夾角等于,因為向量的夾角為，且，所以，,,,.故選A.考點：平面向量數量積的運算.3.設全集為，集合則(

)參考答案：C略4.已知點，直線，點B是l上的動點，過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是

（A）拋物線

（B）橢圓

（C）雙曲線的一支

（D）直線參考答案：A5.（5分）（2015?上海模擬）關于函數和實數m、n的下列結論中正確的是（）A．若﹣3≤m＜n，則f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，則f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），則m2＜n2D．若f（m）＜f（n），則m3＜n3參考答案：C【考點】：指數函數單調性的應用．【專題】：綜合題；探究型．【分析】：觀察本題中的函數，可得出它是一個偶函數，由于所給的四個選項都是比較大小的，或者是由函數值的大小比較自變量的大小關系的，可先研究函數在（0，+∞）上的單調性，再由偶函數的性質得出在R上的單調性，由函數的單調性判斷出正確選項解：∵∴函數是一個偶函數又x＞0時，與是增函數，且函數值為正，故函數在（0，+∞）上是一個增函數由偶函數的性質知，函數在（﹣∞，0）上是一個減函數，此類函數的規(guī)律是：自變量離原點越近，函數值越小，即自變量的絕對值小，函數值就小，反之也成立考察四個選項，A選項無法判斷m，n離原點的遠近；B選項m的絕對值大，其函數值也大，故不對；C選項是正確的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D選項f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立綜上知，C選項是正確的故選C【點評】：本題是一個指數函數單調性的應用題，利用其單調性比較大小，解答本題的關鍵是觀察出函數是一個偶函數，且能判斷出函數在定義域上的單調性，最關鍵的是能由函數圖象的對稱性，單調性轉化出自變量的絕對值小，函數值就小，反之也成立這個結論，本題考查了判斷推理能力，歸納總結能力，是函數單調性與奇偶性綜合中綜合性較強的題，解題中能及時歸納總結可以順利求解此類題6.設函數在R上可導,其導函數為,且函數在x=－2處取得極小值,則函數y=xf'(x)的圖象可能是（

）參考答案：C7.下列函數中，既是偶函數，又在（0,1）上單調遞增的函數是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.設，其中x,y是實數，則在復平面內所對應的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D由，其中是實數，得：，所以在復平面內所對應的點位于第四象限.本題選擇D選項.9.復數（為虛數單位）等于（

）A. B. C. D.參考答案：A10.已知函數在區(qū)間[0，1]內至少出現2次極值，則ω的最小值為（） A． B． C． D． 參考答案：考點： y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義．專題： 三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．分析： 先根據三角函數的誘導公式將原函數變成y=sinωx，所以ωx=時該函數第一次取極值，時該函數第二次取極值，所以，x=1時，ω便取最小值．解答： 解：y=；∴時取第一次極值，時取第二次極值；∴，x取最大值1時，ω取最小值．故選：B．點評： 考查三角函數的誘導公式，及正弦函數的極值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數對任意的恒成立，則___________.參考答案：

12.若x，y滿足約束條件，則z＝x＋3y的最大值為

。參考答案：1013.若函數且，則a=

．參考答案：3由題意得，當時，令，解得（不合題意，舍去）；當時，令，解得，適合題意，故.

14.函數的遞增區(qū)間是_____________.參考答案：略15.（3分）（2008?天津）若一個球的體積為，則它的表面積為．參考答案：12π考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：有球的體積，就可以利用公式得到半徑，再求解其面積即可．解答：由得，所以S=4πR2=12π．點評：本題考查學生對公式的利用，是基礎題．16.下列說法：①命題“”的否定是“”；②函數是冪函數，且在上為增函數，則；

③命題“函數在處有極值，則”的否命題是真命題；④函數在區(qū)間上單調遞增；⑤“”是“”成立的充要條件。其中說法正確的序號是

。參考答案：①②④略17.在極坐標中，已知點為方程所表示的曲線上一動點，點的坐標為，則的最小值為____________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和．參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）（Ⅰ）當時，由得：．當時，①；②上面兩式相減，得：．

所以數列是以首項為，公比為的等比數列．得：．……6分（Ⅱ）．．……10分(12分)19.選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，曲線C1的方程為.以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為.（1）寫出曲線C1的參數方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）設點P在曲線C1上，點Q在曲線C2上，求|PQ|的最大值.參考答案：（1）曲線的參數方程為(為參數)，曲線的直角坐標方程為，即.（2）由（1）知，曲線是以為圓心，1為半徑的圓.設，則.當時，取得最大值.又，當且僅當三點共線，即在線段上時等號成立.∴.

20.在如圖的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求證：AC⊥平面FBC；（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．參考答案：考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關系與距離；空間向量及應用．分析：（1）證明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能夠證明AC⊥平面FBC．證明2：設∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）結合已知條件推導出AC⊥FC．由平面CDEF為正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解法2：由題設條件推導出CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）證明1：因為AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）證明2：因為∠ABC=60°，設∠BAC=α（0°＜α＜120°），則∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因為AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因為AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中點M，連結MD，ME，因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等邊三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中點N，連結MN，NE，則MN⊥AD．…（8分）因為MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因為AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN為直線BF與平面ADE所成角．…（10分）因為NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因為，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因為平面CDEF為正方形，所以CD⊥FC．因為AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系C﹣xyz．…（7分）因為ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨設BC=1，則B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）設平面ADE的法向量為=（x，y，z），則有即取x=1，得=是平面ADE的一個法向量．…（11分）設直線BF與平面ADE所成的角為θ，則．…（13分）所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為．…（14分）點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時要注意向量法的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.（本小題滿分13分）已知函數同時滿足：①函數有且只有一個零點；②在定義域內存在，使得不等式成立.設數列的前項和（）.

(Ⅰ)求函數的表達式；

(Ⅱ)求數列的通項公式；

(Ⅲ)在各項均不為零的數列中，所有滿足的整數的個數稱為數列的變號數.令，求數列的變號數.參考答案：（Ⅰ）有且只有一個零點，

解得

………………1分當時，函數上遞減故存在，使得不等式成立

………………2分當時，函數上遞增故不存在，使得不等式成立

………………3分綜上，得，

…………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）可知當時，

………………5分當時，

………………7分

…………8分(Ⅲ)由題設得

，

………………9分遞增，

………………10分即時，有且只有1個變號數；又∴此處變號數有2個；

………………12分綜上得數列的變號數為3.

………………13分

略22.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，直線AF2的斜率為，點P，Q在橢圓E上，其中P是橢圓上一動點，Q點坐標為.(1)求橢圓E的標準方程；(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于H，K兩點（H，K兩點均不與P點重合)，直線PH，PK與x軸分別交于點M，N.求的最小值及取得最小值時點P的坐標.參考答案：（1）（2）的最小值為，此時點P的坐標為或【分析】（1）根據直線的斜率求得，將點坐標代入托運方程，解出的值，進而求得的值以及橢圓方程.（2）設出三個點的坐標，由直線的方程求得點坐標以及,由直線的方程求得點坐標以及.利用基本不等式求得的最小值.根據基本不等式等號成立的條件以及絕對值的性質，求出點的坐標.【詳解】(1)由直線的斜率為可知直線