河北省保定市導(dǎo)務(wù)鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，其中，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.函數(shù)A.圖象無(wú)對(duì)稱軸,且在R上不單調(diào)B.圖象無(wú)對(duì)稱軸,且在R上單調(diào)遞增C.圖象有對(duì)稱軸,且在對(duì)稱軸右側(cè)不單調(diào)D.圖象有對(duì)稱軸,且在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增參考答案：D略3.是第一象限角，，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.函數(shù)(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為

（

）A.3

B.0

C.-1

D.-2參考答案：B5.若，則

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.在數(shù)列{}中，已知，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4參考答案：B

.故選B.8.“點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程”的…………（

）充分非必要條件

必要非充分條件

充要條件

既非充分也非必要條件參考答案：B9.已知集合，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：由，，得，故選項(xiàng)為C.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.10.已知函數(shù)若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題E5可行域?yàn)椤鰽BC，如圖，

當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立．當(dāng)a＞0時(shí)，直線ax+2y-z=0的斜率k=-＞kAC=-1，a＜2．

當(dāng)a＜0時(shí)，k=-＜kAB=2a＞-4。綜合得-4＜a＜2?！舅悸伏c(diǎn)撥】先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=ax+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需利用直線之間的斜率間的關(guān)系，求出何時(shí)直線z=ax+2y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)（1，0）處取得最小值，從而得到a的取值范圍即可．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中則的最小值為

參考答案：212.如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率依次成等差數(shù)列，第2小組的頻數(shù)為15，則抽取的學(xué)生人數(shù)為

．參考答案：60【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖．I2

解析：第2小組的頻率為（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；則抽取的學(xué)生人數(shù)為：=60．故答案為：60．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知，求出第2小組的頻率，再求樣本容量即可．13.在三角形ABC中，A=30°，AC=4，BC=3，則三角形ABC的面積等于__________．參考答案：或14.已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣y2≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率是．參考答案：考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用；幾何概型．.專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：作出Ω對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，其中B（6，0），C（0，6）．而A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣y2≥0}表示的平面區(qū)域是在區(qū)域Ω內(nèi)部，位于曲線y=下方、直線x=4左邊且在x軸上方的平面區(qū)域．利用定積分公式算出A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積S1=，再由Rt△OBC的面積為18，結(jié)合幾何概型計(jì)算公式即可算出所求的概率．解答：解：∵Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，∴作出Ω對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，其中B（6，0），C（0，6）又∵A={（x，y）|x≤4，y≥0，x﹣y2≥0}，∴作出A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到曲線y=下方、直線x=4左邊，且在x軸上方的平面區(qū)域，其面積為S1=dx====∵Rt△OBC的面積為S==18∴向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率P===故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)由不等式組確定的平面區(qū)域Ω和A，求向區(qū)域Ω內(nèi)投點(diǎn)能使點(diǎn)落在A內(nèi)的概率．著重考查了運(yùn)用定積分公式計(jì)算曲邊三角形的面積和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．15.如圖是一個(gè)算法的程序框圖，若輸入的x=8，則輸出的k=

；若輸出的k=2，則輸入的x的取值范圍是

。參考答案：4,(28,57]

16.已知函數(shù)，且，則對(duì)于任意的，函數(shù)總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的概率是

.參考答案：恒成立。即由幾何概率可得P=17.設(shè)定點(diǎn)A(3,0),動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足約束條件,則(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為______________.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)，一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：車輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過(guò)程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：租用單車數(shù)量（千輛）23458每天一輛車平均成本（元）3.22.421.91.7根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：，方程乙：.（1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（備注：，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差（也叫隨機(jī)誤差））；租用單車數(shù)量（千輛）23458每天一輛車平均成本（元）3.22.421.91.7模型甲估計(jì)值

2.42.1

1.6殘差

0-0.1

0.1模型乙估計(jì)值

2.321.9

殘差

0.100

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過(guò)比較，的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.（2）這個(gè)公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6,0.4；投放1萬(wàn)輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.4,0.6，問(wèn)該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，利潤(rùn)=收入-成本）.參考答案：（1）①經(jīng)計(jì)算，可得下表：②，，，故模型乙的擬合效果更好.（2）若投放量為8千輛，則公司獲得每輛車一天的收入期望為，所以一天的總利潤(rùn)為（元）若投放量為1萬(wàn)輛，由（1）可知，每輛車的成本為（元），每輛車一天收入期望為，所以一天的總利潤(rùn)為（元）所以投放1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)，應(yīng)該增加到投放1萬(wàn)輛.19.如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，平面PAC垂直圓O所在平面，直線PC與圓O所在平面所成角為60°，PA⊥PC．（1）證明：AP⊥平面PBC（2）求二面角P—AB一C的余弦值參考答案：(1)見解析.(2).【分析】（1）由已知條件得BC⊥平面PAC，可得又，由此能證明平面．（2）法一：過(guò)作于，由平面平面，知∠HCP為直線與圓所在平面所成角，可得，由此能得到為二面角的平面角.利用平面幾何知識(shí)求解即可．法二：利用空間向量法求解線面角.【詳解】（1）由已知可知，又平面平面圓，平面平面圓，∴平面，∴，又，，平面，平面，∴平面.（2）法一：過(guò)作于，由于平面平面，則平面，則為直線與圓所在平面所成角，所以.過(guò)作于，連結(jié)，則，故為二面角的平面角.由已知，，在中，，由得，中，，故，故，即二面角的余弦值為.法二：過(guò)作于，則平面，過(guò)作交于，以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，從而，，設(shè)平面的法向量，則得，令，從而，而平面的法向量為，故，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角、二面角的平面角的作法及求法，也考查了空間向量法的應(yīng)用，考查了空間思維能力，屬于中檔題．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為．（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．參考答案：（1）由消去參數(shù)t，得，所以圓C的普通方程為．……2分由，得，換成直角坐標(biāo)系為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為……………5分（2）化為直角坐標(biāo)為在直線l上，并且，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線l的距離為，…8分，所經(jīng)面積的最小值是……10分21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，，．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍；（2）證明．參考答案：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由已知得?/p>

………1分①當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

………2分②當(dāng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，因?yàn)?，所以，所以，所以，取，顯然且所以，．由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

………4分③當(dāng)時(shí)，由，得或．當(dāng)，則．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：00－0－1

注意到，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)，則，在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．若，則．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：00－0

－1注意到當(dāng)，時(shí)，，，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

綜上，的取值范圍是．

…7分（2）證明：．設(shè)，其定義域?yàn)椋瑒t證明即可．因?yàn)?，取，則，且．又因?yàn)?，所以函?shù)在上單增．所以有唯一的實(shí)根，且．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)的最小值為．所以．所以．

…12分22.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，過(guò)點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線A1M的斜率為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)為，求橢圓方程．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）由已知得點(diǎn)坐標(biāo)，由，得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又外心在軸上，設(shè)為，則由，解得，故，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去，得，則由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)