4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算第四章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),并能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行一些簡單的化簡和證明.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]地震是一種常見的自然災(zāi)害,它的強(qiáng)度一般用里氏震級(jí)來表示.里氏震級(jí)是一種以發(fā)生地震時(shí)產(chǎn)生的水平位移作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的地震震級(jí)標(biāo)度.共分9個(gè)等級(jí),地震越大,震級(jí)的數(shù)字也越大.震級(jí)每增加一級(jí),通過地震釋放的能量約增加32倍.里氏震級(jí)的計(jì)算公式是,其中A0是距震中100km處接收到的0級(jí)地震的地震波的最大振幅,單位是μm;Amax是指我們關(guān)注的這個(gè)地震在距震中100km處接收到的地震波的最大振幅,單位是μm.如果知道了相關(guān)數(shù)據(jù),那么怎樣計(jì)算震級(jí)?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn)一:對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

條件a>0,且a≠1,M>0,N>0性質(zhì)(1)loga(MN)=logaM+logaN(2)Loga=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM(n∈R)名師點(diǎn)析

(1)逆向應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式,有利于化簡.(2)對(duì)于每一條運(yùn)算性質(zhì),都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)與log2(-3)均不存在,不能寫成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).(3)性質(zhì)(1)可以推廣到真數(shù)為無限多個(gè)正因數(shù)相乘的情況,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N*.微判斷

答案

(1)√

(2)×

(3)×(4)×

(5)×知識(shí)點(diǎn)二:對(duì)數(shù)換底公式名師點(diǎn)析

(1)換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.(2)換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來確定,一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù).(3)任何對(duì)數(shù)均可用常用對(duì)數(shù)表示,即(4)任何對(duì)數(shù)均可用自然對(duì)數(shù)表示,即

課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用分析利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.反思感悟

對(duì)于底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式的化簡、求值常用的方法(1)“收”,將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差).對(duì)數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg

2+lg

5=1在計(jì)算對(duì)數(shù)值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到,同時(shí)注意各部分變形要化到最簡形式.變式訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值:探究二換底公式的應(yīng)用例2計(jì)算下列各式的值:(1)log89×log2732;(2)(log43+log83)×.分析用換底公式將對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)后再化簡求值.反思感悟

1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對(duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),解決一般對(duì)數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計(jì)算、化簡、求值的一般思路:變式訓(xùn)練2計(jì)算:(1)log23×log36×log68;(2)(log23+log43)×(log32+log274).探究三有附加條件的對(duì)數(shù)求值問題(2)設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴l(xiāng)g

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.即logk(abc)=0.∴abc=1.要點(diǎn)筆記

條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對(duì)數(shù),以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化進(jìn)行解題.探究四換底公式在實(shí)際中的應(yīng)用例4分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對(duì)大小的單位.物理學(xué)家引入了聲壓級(jí)來描述聲音的大小:把一很小的聲壓P0=2×10-5帕作為參考聲壓,把所要測(cè)量的聲壓P與參考聲壓P0的比值取常用對(duì)數(shù)后乘20得到的數(shù)值稱為聲壓級(jí).聲壓級(jí)是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一,單位是分貝(dB).分貝值在60以下為無害區(qū),說明聲音環(huán)境優(yōu)良,60~110為過渡區(qū),110以上為有害區(qū).(1)試列出分貝y與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式.(2)某地聲壓P=0.002帕,則該地為以上所說的什么區(qū)?聲音環(huán)境是否優(yōu)良?(3)假若某精彩的文藝節(jié)目引起了觀眾多次響亮的掌聲,某記者用儀器測(cè)得其中一次掌聲的音量達(dá)到了90分貝,試求此時(shí)會(huì)場(chǎng)內(nèi)的聲壓是多少.反思感悟

解決對(duì)數(shù)應(yīng)用題的一般步驟

變式訓(xùn)練3一臺(tái)機(jī)器原價(jià)20萬元,由于磨損,該機(jī)器每年比上一年的價(jià)值降低8.75%,問經(jīng)過多少年這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解

設(shè)經(jīng)過x年,這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬元,則8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,所以約經(jīng)過10年這臺(tái)機(jī)器的價(jià)值為8萬元.

素養(yǎng)形成對(duì)數(shù)方程的解法典例

解下列方程:(1)lgx2-lg(x+2)=0;(2)lgx-lg3=2lg5-lg(x-10).方法點(diǎn)睛

(1)在對(duì)數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的方程叫做對(duì)數(shù)方程.(2)對(duì)數(shù)方程可將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對(duì)數(shù)后求解,或通過換元轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解,注意在將對(duì)數(shù)方程化為代數(shù)方程的過程中,未知數(shù)的范圍擴(kuò)大或縮小容易導(dǎo)致增、失根.故解對(duì)數(shù)方程必須把求出的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),否則易造成錯(cuò)解.

當(dāng)堂檢測(cè)1.(2021廣西玉林玉州高一期中)下列等式成立的是(

)2(8-4)=log28-log24C.log2(8+4)=log28+log24D.log223=3log22答案

D解析

∵log2(8-4)=log24=2,log28-log24=3-2=1,∴l(xiāng)og2(8-4)≠log28-log24,故A錯(cuò)誤;∵log2(8+4)=log212,log28+log24=log232,∴l(xiāng)og2(8+4)≠log28+log24,故C錯(cuò)誤;由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得log223=3log22,故D正確.故選D.2.(2021江蘇南京鼓樓高一期中)已知m=lg2,n=lg3,用m,n表示lg15=(

)+m+n B.1-m+nC.1+m-n D.1-m-n答案

B解析

lg

15=lg(3×5)=lg

3+lg

5=lg

3+(1-lg

2)=n+(1-m)=1-m+n,故選B.3.log52×log425等于(

)答案

C4.已知3a=2,用a表示log34-log36=

.

答案

a-1解析

∵3a=2,∴a=log32,∴l(xiāng)og34-log36=log322-log3(2×3)=2log32-log32-log33=a-1.答案