2023/9/21第九章非正弦周期電流電路解永平2007.09.302023/9/22學(xué)習(xí)背景直流信號(hào)：直流分析法；正弦信號(hào)：同一頻率，相量分析法；非正弦周期信號(hào)：如何分析計(jì)算；思路：利用高等數(shù)學(xué)中的傅氏級(jí)數(shù)展開法，將非正弦周期電壓(電流)分解為恒定分量和一系列不同頻率正弦量之和。其它信號(hào)：方波、三角波、鋸齒波等分析方法？？？結(jié)果：直流信號(hào)、正弦信號(hào)同時(shí)存在，如何分析？2023/9/23基本學(xué)習(xí)思路非正弦周期信號(hào)恒定分量基波分量諧波分量時(shí)域疊加電路響應(yīng)電路響應(yīng)電路響應(yīng)電路響應(yīng)2023/9/24基本要求了解非正弦周期函數(shù)的分解方法及諧波的概念掌握非正弦周期電壓和電流的有效值、電路平均功率的計(jì)算正確運(yùn)用疊加原理分析計(jì)算非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2023/9/25提綱9.1非正弦周期信號(hào)

9.2非正弦周期信號(hào)分解為傅立葉級(jí)數(shù)

9.3非正弦周期量的有效值、平均功率

9.4非正弦周期電流電路的計(jì)算

9.5應(yīng)用---諧波在供電系統(tǒng)的危害2023/9/269.1非正弦周期信號(hào)(1)同頻率的正弦量：在前面分析的交流電路中，我們總是認(rèn)為電路中的激勵(lì)及各部分穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是同頻率的正弦量。(2)非正弦周期信號(hào)：在實(shí)際工程實(shí)踐中，常常會(huì)遇到按非正弦規(guī)律變化的電源和信號(hào)，例如鋸齒波、收音機(jī)或電視機(jī)的信號(hào)、脈沖信號(hào)，

(3)信號(hào)響應(yīng)：由非正弦周期信號(hào)在線性電路中產(chǎn)生的電流和電壓也將是按非正弦規(guī)律周期變化的量，即非正弦周期電流和電壓。(4)非正弦周期交流信號(hào)的特點(diǎn)不是正弦波；按周期規(guī)律變化：2023/9/27非正弦周期信號(hào)(5)非正弦信號(hào)的產(chǎn)生？

a.正弦電源經(jīng)過非線性元件時(shí)，產(chǎn)生的電流將不再是正弦波；

b.發(fā)電機(jī)由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)的緣故很難保證電動(dòng)勢(shì)是正弦波；

c.電路中有幾個(gè)不同頻率的正弦電源作用，疊加后就不再是正弦波了。(6)非正弦周期電流線性電路的穩(wěn)態(tài)分析：諧波分析法

a.利用數(shù)學(xué)中學(xué)過的傅氏級(jí)數(shù)展開法，將非正弦周期電壓（電流）分解為恒定分量和一系列不同頻率正弦量之和；

b.分別計(jì)算恒定分量和各頻率正弦量單獨(dú)作用下電路的響應(yīng)；

c.根據(jù)疊加定理，將所得響應(yīng)的時(shí)域形式相加，得到電路對(duì)原非正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2023/9/289.2非正弦周期信號(hào)分解為傅立葉級(jí)數(shù)(1)基本概念：一個(gè)周期為T的非正弦周期函數(shù)f(x)，當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)，就可以分解為一個(gè)收斂的三角函數(shù)。(2)傅立葉級(jí)數(shù)：f(x)可展開成一個(gè)收斂的傅立葉級(jí)數(shù)，即

式中：2023/9/29非正弦周期信號(hào)分解為傅立葉級(jí)數(shù)把上式中各個(gè)同頻率的sin項(xiàng)和cos項(xiàng)合并成一項(xiàng)，得：(3)定義：

a.恒定分量或直流分量：第一項(xiàng)A0是常量，稱為f(t)的恒定分量或直流分量；

b.基波：第二項(xiàng)Amcos(

t+φ1)是正弦波，其周期與原函數(shù)f(t)

相同，稱為1次諧波或基波（fundamentalwave）

c.諧波：其余各項(xiàng)依次稱為2次，3次，…，k次諧波，并統(tǒng)稱為高次諧波。恒定分量基波分量諧波分量特點(diǎn)：高次諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍，由于傅立葉級(jí)數(shù)是收斂的，一般來說諧波次數(shù)越高，其幅值越小。哪個(gè)分量作用大？依據(jù)是什么？2023/9/210非正弦周期信號(hào)分解為傅立葉級(jí)數(shù)

(4)頻譜：為了既方便而又直觀地表達(dá)周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)后包括哪些諧波分量、各諧波分量所占的比重以及對(duì)應(yīng)的初相位關(guān)系，通常將Akm對(duì)k

的函數(shù)關(guān)系繪成線圖，用以表明各次諧波的相對(duì)大小。圖中每條線段代表一個(gè)諧波分量的振幅，這種圖形稱為非正弦周期函數(shù)的振幅頻譜，簡(jiǎn)稱頻譜。(5)系數(shù)a0、ak、bk的計(jì)算公式；(6)常見周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，供諧波分析時(shí)直接引用。振幅頻譜圖2023/9/211例9-1將圖所示的周期函數(shù)f(t)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。解：f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為計(jì)算傅立葉系數(shù)如下2023/9/212將所得系數(shù)代入式(9-1)有例9-1將圖所示的周期函數(shù)f(t)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。2023/9/2139.3非正弦周期量的有效值、平均功率1.三角函數(shù)的性質(zhì)(1)余弦信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的積分為零(2)相同頻率的電壓、電流乘積在一個(gè)周期內(nèi)的積分為

(3)不同頻率的電壓、電流乘積在一個(gè)周期內(nèi)的積分為零注：三角函數(shù)的正交性2023/9/214(1)周期信號(hào)的有效值任何周期性的電流和電壓的有效值就是它們的均方根值，即：2023/9/215(2)非正弦周期函數(shù)有效值假設(shè)非正弦周期電流i(t)

可分解為傅立葉級(jí)數(shù)將i(t)

代入有效值公式，則得電流i(t)

的有效值為：非正弦周期電壓u(t)的有效值為：結(jié)論：非正弦周期電流（或電壓）的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。求得i(t)

的有效值為：2023/9/216(3)非正弦周期電流電路的功率設(shè)任意二端網(wǎng)絡(luò)端口的電壓u(t)和電流i(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，即：則，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率定義為：將傅立葉級(jí)數(shù)形式的u(t)和i(t)代入上式就可以求出P,則，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為：結(jié)論：

平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率

TT/2tisIm2023/9/2179.4非正弦周期電流電路的計(jì)算電路響應(yīng)電路is1is2is3is3is2is1(1)把給定的非正弦周期激勵(lì)源分解為傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式；(3)分別計(jì)算直流分量和各頻率諧波分量激勵(lì)下的電路響應(yīng)：直流分量用直流電路分析方法，此時(shí)電感短路，電容開路；對(duì)于不同頻率的正弦諧波分量，采用正弦電路相量分析計(jì)算方法；(4)應(yīng)用疊加定理把屬于同一響應(yīng)的各諧波響應(yīng)分量相加得到總的響應(yīng)值。(2)把得到的各次諧波等效為電路的激勵(lì)電源(電壓源或電流源)2023/9/218例9-2電路如圖(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路電流i、i1、i2。解：(1)直流分量10V作用時(shí)，電感短路，電容開路，如圖(b)所示。ii1R2+CLR1u(t)i2(a)I(0)I1(0)R2+R1U0I2(0)(b)2023/9/219(2)基波單獨(dú)作用時(shí)，如圖(c)所示。所以，有：R2+R1(c)例9-2電路如圖(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路電流i、i1、i2。2023/9/220R2+R1(d)(3)三次諧波單獨(dú)作用時(shí)，如圖(d)所示所以，有：例9-2電路如圖(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路電流i、i1、i2。2023/9/221(4)應(yīng)用疊加定理例9-2電路如圖(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路電流i、i1、i2。2023/9/222例9-3如圖所示N為無源網(wǎng)絡(luò)。已知u(t)=100cos314t+50cos(942t-30°)V，i(t)=10cos314t+1.75cos(942t+θ3)A，若N為RLC串聯(lián)時(shí)，求R、L、C的值，并求θ3的值和電路的平均功率。解：設(shè)基波角頻率為

，

=314rad/s。從基波的電流與電壓同相位可知，該電路對(duì)基波發(fā)生串聯(lián)諧振。所以，有：三次諧波阻抗的?？杀硎緸椋嚎山獬觯篘+u－iab設(shè)三次諧波電路呈現(xiàn)的阻抗角為：有：設(shè)電路消耗的平均功率為P，則2023/9/223例9-4如圖所示，已知：，，，，求電流表的讀數(shù)。解：由于i2與i1頻率相同，則：得：由KCL，得：所以，其有效值為：Ai1(t)i3(t)i2(t)A即電流表的讀數(shù)為5A。A2023/9/224例9-5如圖所示，已知us由直流分量和三次諧波組成，其直流分量為8V，和是電壓表，是電流表，已知的讀數(shù)為10V，1/(ωC)=9Ω

，ωL=1Ω，求和的讀數(shù)。

電流表的讀數(shù)為：解：(1)直流分量8V單獨(dú)作用時(shí)，等效電路如圖所示，則：2Ω2ΩCL+V1usAV三次諧波電壓有效值為：VV1AV1VAA(2)三次諧波單獨(dú)作用時(shí)：L和C對(duì)三次諧波發(fā)生串聯(lián)諧振，等效電路如圖所示，則：2Ω2Ω+V1usAVI(0)+U(0)2Ω+V1usAVI(3)+U(3)電壓表的讀數(shù)為：4VV2023/9/225例9-6已知：

，求圖示電路中各表讀數(shù)。解(1)當(dāng)直流分量u0=30V

作用于電路時(shí)，L1、L2短路，C1、C2開路，電路如圖所示。uabL1C1C2L2+_25F25F30

cdA2V1A110mHA3V240mHu0+_30

I1(0)I2(0)I3(0)U1(0)++__U2(0)2023/9/226(2)基波作用于電路時(shí)，電路的相量模型如所示。從圖中可知，L1、C1

對(duì)基波發(fā)生并聯(lián)諧振?；妷杭佑贚1、C1

并聯(lián)電路兩端，故：其中：+_30

j40

j10

-j40

-j40

__++例9-6已知：

，求圖示電路中各表讀數(shù)。2023/9/227+_30

j80

j20

-j20

-j20

__++(3)二次諧波作用于電路時(shí)，電路的相量模型如圖所示。從圖中可知，L2、C2

對(duì)二次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。所以：二次諧波電壓加于L2、C2

并聯(lián)電路兩端，故其中：例9-6已知：

，求圖示電路中各表讀數(shù)。2023/9/228有電流表讀數(shù)：

電壓表讀數(shù)為：(1)直流：I1(0)=I3(0)=1A，I2(0)=0A，U1(0)=U2(0)=30V；(2)基波：I1(1)=I3(1