CH3數(shù)值計(jì)算方案大氣運(yùn)動方程組數(shù)值方法離散化的大氣運(yùn)動方程組數(shù)值解(近似解)（1）譜方法；（2）有限差分方法；§1差分方法和差分格式§2差分格式的基本性質(zhì)§3時(shí)間積分方法和積分格式§4有限差分格式的誤差分析§5非線性計(jì)算穩(wěn)定性主要內(nèi)容§1差分方法和差分格式首先要對解域進(jìn)行離散化（包括空間和時(shí)間的離散化），建立對應(yīng)的網(wǎng)格系。一、最簡單的一階線性偏微分方程的數(shù)值解法一維線性平流方程：(3.1)在x-t平面上建立以

x和

t為間隔的網(wǎng)格系，則任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則0其中為空間標(biāo)號，為時(shí)間標(biāo)號，

x

為空間格距（步長），

t

為時(shí)間格距（步長）。下面用Taylor展開式來構(gòu)造出常用的幾種差分格式，據(jù)Tailor展開式，當(dāng)

x為一小量時(shí)，有以下關(guān)系式：（3.3a）（3.3b）二、差分格式的建立（3.3a）第一種差分格式向前差格式（前差格式）xx+Δxx-Δx式中R為截?cái)嗾`差，它在一定程度上代表了差分格式的精度。一階精度（3.3b）第二種差分格式向后差格式（后差格式）xx+Δxx-Δx式中一階精度（3.3a）（3.3b）第三種差分格式中央差格式xx+Δxx-Δx式中二階精度前差格式： R=O

x

3.3c

后差格式： R=O

x

3.3d

中央差格式： R=O

x2

3.3e

R的階次越高，則誤差越小，差分格式的精度越高。中央差格式的精度要比前差格式和后差格式高。一階微分的三種常用的差分格式：

同樣，可以用時(shí)間差分格式來表示時(shí)間微商，得到類似的時(shí)間差分格式。這樣，若時(shí)間t取前差格式，空間x分別取前差、后差和中央差格式，則可以構(gòu)造出以下三種差分方程：

O

t,

x

3.13

O

t,

x

3.14

O

t,

x2

3.15

現(xiàn)引入記號，則二階微分的差分問題：R=O(?X2)xy(i,j)(i-1,j)(i+1,j)(i,j+1)(i,j-1)差分格式一旦建立，這種格式是否是可用的？必須在采用差分格式之前對之進(jìn)行進(jìn)一步的考查，討論差分格式的

相容性 收斂性 穩(wěn)定性

……………..等問題?！?差分格式的基本性質(zhì)一、差分格式的基本性質(zhì)

當(dāng)空間步長x和時(shí)間步長t很小時(shí)，差分方程是否逼近微分方程，這就是差分格式的相容性（一致性）問題。在實(shí)際問題中，通常利用R來考察差分格式的相容性（一致性）。

如果當(dāng)t,

x

0時(shí)，R0的，則差分方程與微分方程是相容的或是一致的。1、相容性（一致性）問題

可見，以上三種差分格式構(gòu)造的差分方程與微分方程（3.1）是相容（一致的）。 在設(shè)計(jì)一種差分格式時(shí)，首先必須考慮其相容性（一致性）。

O

t,

x

3.13

O

t,

x

3.14

O

t,

x2

3.15

在一定的定解條件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解f的問題，稱之為差分格式的收斂性問題。即

必須注意，差分格式的相容性并不能保證其收斂性。由于對應(yīng)微分方程的真解通常是并不知道的，要直接證明差分格式的收斂性是存在一定困難的，在考慮說明收斂性問題之前，先來討論差分格式的穩(wěn)定性問題。2、收斂性問題

設(shè)f代表微分方程的解，代表差分方程的準(zhǔn)確解，代表差分方程的近似解（數(shù)值解）。那么：解的截?cái)嗾`差舍入誤差在時(shí)間積分過程中，由于舍入誤差的影響，差分解的誤差是否隨時(shí)間增長的問題，即差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性問題。也就是說，當(dāng)時(shí)間步長趨向于0時(shí)，在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)，舍入誤差是否保持有界的問題，若保持有界則是穩(wěn)定的。3、穩(wěn)定性問題舍入誤差有界差分?jǐn)?shù)值解有界

差分格式的相容性、收斂性及穩(wěn)定性的關(guān)系如何？下面將給出拉克斯（Lax）等價(jià)定理：

如果差分方程逼近微分方程，即差分格式與微分方程是相容的，或者差分格式滿足相容性條件，差分格式的穩(wěn)定性，保證了其收斂性（計(jì)算穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件）。

可見，在差分格式滿足相容條件時(shí)，其穩(wěn)定性就保證了其收斂性，因此，要保證差分格式的穩(wěn)定性也就顯的格外重要了。關(guān)于差分格式的穩(wěn)定性的討論我們將在稍后的內(nèi)容進(jìn)行介紹。另外，在設(shè)計(jì)差分格式時(shí)，還必須考慮計(jì)算的有效性和節(jié)約計(jì)算資源，應(yīng)盡可能選擇計(jì)算簡單、速度快、使用計(jì)算機(jī)內(nèi)存少的方案。二、差分格式的線性計(jì)算穩(wěn)定性問題一維線性平流方程設(shè)其具有波動形式的初值則微分方程的解（3.32）時(shí)間用前差分，空間用向后差分格式，可得差分方程 O

t,

x

3.14

令于是有：而差分方程的近似解，可以表示為： 把近似解代入差分方程，進(jìn)一步有：故最終可以將上式寫成：（3.34）令上式可寫成：（3.35）根據(jù)以上遞推式子，差分近似解可表示為： （3.37）可見，如果上式滿足，即時(shí)，則有差分近似解的振幅將不隨n的增加而增大，即差分近似解是有界的，因此此時(shí)的差分格式就是穩(wěn)定的。這就是馮--紐曼的穩(wěn)定性必要條件。定義G為增幅因子：不難得出：（3.36）現(xiàn)根據(jù)以上討論的知識，用馮--紐曼方法來證明差分格式（3.14）的穩(wěn)定性。

歐拉公式：

首先，對于該差分格式，其增幅因子為：利用歐拉公式將上式展開：如果要，則應(yīng)滿足：

對上述不等式進(jìn)行討論：（1） （2）可見，當(dāng)時(shí)，有成立，則在這個(gè)條件下，差分格式（3.14）是穩(wěn)定的。

無解綜上所述，用Von-Neumann穩(wěn)定性判別方法來證明差分格式的線性計(jì)算穩(wěn)定性時(shí)的主要步驟為：

〖1〗設(shè)解的波動形式，代入差分方程。

〖2〗得出其對應(yīng)的增幅因子G。

〖3〗討論時(shí)的情況。

〖4〗根據(jù)滿足的條件判斷滿足差分格式穩(wěn)定性的條件。

§3時(shí)間積分方法和積分格式本節(jié)主要介紹時(shí)間積分格式的一般性概念，并給出不同的時(shí)間積分格式及其穩(wěn)定性的分析，以便對數(shù)值預(yù)報(bào)模式設(shè)計(jì)的算法有一個(gè)初步的了解。

一、時(shí)間積分方法數(shù)值預(yù)報(bào)的模式方程，通?？蓪懗桑海?.55a）此方程為振動類方程，其中，c為相速。若令,則平流方程就轉(zhuǎn)化為方程（3.55a）的形式了。對于前面討論的一維平流方程：（3.55c）假定可將平流方程化為如下形式：（3.55d）以振動方程為例來說明問題。假設(shè)為已知，來構(gòu)造時(shí)間積分格式，來求下一時(shí)刻的值。其中表示u在時(shí)刻的值，類推。二、時(shí)間積分格式1、二時(shí)間層的積分格式（非迭代格式）2、二時(shí)間層的積分格式（迭代格式）3、三個(gè)時(shí)間層的積分格式主要介紹三類時(shí)間積分格式，并討論每種格式的性質(zhì)：此類時(shí)間積分格式僅涉及到兩個(gè)時(shí)間層，故稱為二時(shí)間層的積分格式。1、二時(shí)間層的積分格式（非迭代格式）a、歐拉格式：b、后差格式（隱式格式）（3.63）（3.64）c、梯形格式（隱式格式）（3.65）其中A+B=1， 對于 （a）有：A=1，B=0

（b）有：A=0，B=1

（c）有：A=1/2，B=1/2上述三種格式可寫成以下通用形式：（3.66）格式分析：即利用Von-Neumann方法，討論其穩(wěn)定性。（其中，進(jìn)而有） 根據(jù)G的表達(dá)式，對時(shí)間積分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

求其增幅因子為：(3.69）（3.66）a、歐拉格式：A=1，B=0， 故其為絕對不穩(wěn)定格式。

b、后差格式（隱式格式）：A=0，B=1

可見其為無條件穩(wěn)定格式，或絕對穩(wěn)定格式。

c、梯形格式（隱式格式）：A=1/2，B=1/2

故為中性格式，其數(shù)值解振幅不變。2、二時(shí)間層的積分格式（迭代格式）a、歐拉—后差格式（3.72）是一個(gè)不斷迭代的過程。具體說明：b、赫恩格式：（3.73）其中，A+B=1。對于（a）有：A=0，B=1；（b）有：A=1/2，B=1/2通用形式：（3.74）穩(wěn)定性分析：（3.75）進(jìn)一步可以將其化為：（3.76）于是：（3.77）（1）、當(dāng)A=0，B=1時(shí)，為歐拉—后差格式，此時(shí)：

當(dāng)滿足時(shí)，格式為穩(wěn)定的，該格式為條件穩(wěn)定。（2）、當(dāng)A=1/2，B=1/2時(shí)，為赫恩格式 此時(shí)：

上式表明，無論該式中取何值，，故該格式為絕對不穩(wěn)定格式。在上面介紹的時(shí)間積分格式均為兩個(gè)時(shí)間層上的格式，下面我們將簡單介紹包含三個(gè)時(shí)間層的時(shí)間積分格式。常用的中央差格式，又稱跳背格式，其形式為： （3.78） 對于這種格式，可以看出不僅需要一個(gè)具有物理意義的初值，同樣還需要一個(gè)出于計(jì)算要求的初值，前者稱為物理初值，后者稱為計(jì)算初值。3、三個(gè)時(shí)間層的積分格式據(jù)Von-Neumann穩(wěn)定性判別方法，以上格式可寫成：對應(yīng)的兩個(gè)根為：出現(xiàn)了兩個(gè)增幅因子(這表明由于時(shí)間積分格式引起了計(jì)算解問題)。當(dāng)時(shí)，格式是穩(wěn)定的?！?有限差分格式的誤差分析實(shí)際工作中，不可能任意縮小步長（由于測站密度的限制，計(jì)算量過大等原因），實(shí)際計(jì)算是在有限的網(wǎng)格下進(jìn)行的，一定程度的誤差是不可避免的。差分方程可以精確代替微分方程；從而為得到足夠準(zhǔn)確的微分方程的近似解提供了保證。0時(shí)本節(jié)將分析在有限網(wǎng)格區(qū)域下差分格式引起的常見誤差。計(jì)算解是使用三個(gè)時(shí)間層積分格式所引起的一個(gè)普遍問題。以下以平流方程為例，與其有關(guān)的振幅方程為一、計(jì)算解問題分析采用三層時(shí)間積分格式時(shí)，計(jì)算解的產(chǎn)生及其特點(diǎn)。上方程的解析解為：一個(gè)解若時(shí)間微商取中央差格式（3.80）（3.55c）（3.56）可以得到關(guān)于增幅因子的二次方程：其對應(yīng)的兩個(gè)根為：（3.81）

由前知，微分方程的真解的增幅因子，而

可見，與相聯(lián)系的波，具有實(shí)際的物理意義，稱之為物理解，而與相聯(lián)系的波則不具有任何物理意義，是在計(jì)算過程中產(chǎn)生的虛假波型，稱之為計(jì)算解。對應(yīng)的兩個(gè)解我們可以表示為： 物理解： 計(jì)算解：其中a，b為常數(shù)。而計(jì)算所得的數(shù)值解為：（3.82）因此，在設(shè)計(jì)差分格式時(shí)，總是使得該差分格式下計(jì)算解與物理解振幅的比盡量小，實(shí)際工作中通常采用提高網(wǎng)格分辯能力來抑制和減小計(jì)算解帶來的影響。 以慣性振蕩為例，它反映了旋轉(zhuǎn)地球上均勻氣壓場中的大氣水平振蕩，其描述方程如下： 令其解為：，其中為慣性振蕩頻率。二、時(shí)間的截?cái)嗾`差（頻率誤差）以下通過數(shù)值方法求上述問題的振蕩頻率的差分解（數(shù)值解），通過與比較，說明差分格式所引起的頻率誤差。

差分方程形為： 設(shè)其數(shù)值解為：（為數(shù)值解頻率或差分解頻率）。代入上式，可得： （a）中央差格式（顯式格式）（b）采用梯形格式（隱式格式）差分方程：設(shè)其數(shù)值解為：（為數(shù)值解頻率/差分解頻率）代入上式有：

展開之后有：

令以上等式兩邊虛部、實(shí)部系數(shù)相等，則有：利用半角公式：故有：即為差分解頻率?？梢娪脮r(shí)間差商來代替時(shí)間微商時(shí)會引起頻率誤差。圖3.2時(shí)間差分格式的頻率比較假設(shè)某要素場可以表示為形如的波動則有：其中k為波數(shù)，或稱之為微分解的波數(shù)。令，則有若用中央差分運(yùn)算代替微分運(yùn)算：三、空間的截?cái)嗾`差（波數(shù)誤差）為差分解波數(shù)或計(jì)算波數(shù)若用四階精度的差分格式：其計(jì)算波數(shù)為：為了反映空間差商代替空間微商時(shí)引起的波數(shù)誤差，定義來表示空間差分格式的精確度。可見，差分格式的精度隨k或的減小而增大：對于波長較短的波，其產(chǎn)生的波數(shù)誤差較大；而波長較長的波，其產(chǎn)生的波數(shù)誤差較小。對于任何波長的波，四階差分格式均比二階差分格式精度高。因此，在實(shí)際工作中，縮小格距或采用較高階的差分格式均能提高計(jì)算的精確度。作圖可看出空間差分格式四、相速度和群速度誤差設(shè)其形式解為：一維平流方程：相速度和群速度的誤差以下以一維平流方程為例，說明差分格式在有限網(wǎng)格下所引起的相速和群速誤差。c為相速，其振動頻率為：其群速度為：可見，對于一維線性平流方程，為常數(shù)，不存在頻散。對一維平流方程取空間中央差格式，差分方程：假定差分解相速度：差分解群速度：可見：空間差分格式造成了相速度和群速度誤差，從而引起計(jì)算頻散。差分格式在波的移動和能量傳播方面均可造成誤差:（1）由于相速度誤差，減慢了平流過程；（2）造成虛假的計(jì)算頻散。（1）波長越長，誤差越小；波長越短，誤差就越大；（2）提高網(wǎng)格分辯率，使取得足夠小，可以提高相速度，群速度的準(zhǔn)確率。差分解相速度：差分解群速度：的誤差也就越小因此：本節(jié)討論表明：1、三層時(shí)間積分格式存在計(jì)算解問題：計(jì)算解對差分解的影響依賴于網(wǎng)格分辨率和波長。2、時(shí)間積分格式引起頻率誤差： 顯式格式使其頻率明顯增加，振動加快； 隱式格式使其頻率明顯減小，振動減慢。3、空間差分格式引起波數(shù)誤差：

高階差分格式所引起的波數(shù)誤差要比低階格式??；波長較短的波，誤差尤為嚴(yán)重。4、空間差分格式會引起計(jì)算頻散：

尤其對于短波，相速度和群速度均會產(chǎn)生很大的誤差。通?？刹捎锰岣呔W(wǎng)格分辯率的方法減小各種誤差?！?非線性計(jì)算穩(wěn)定性

前面討論了線性偏微分方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性問題，而數(shù)值天氣預(yù)報(bào)用的往往是一組非線性偏微分方程。

線性穩(wěn)定性條件對于非線性差分方程只是必要條件，即使?jié)M足這一條件，也可能會因?yàn)椴罘址匠痰倪吔鐥l件和非線性項(xiàng)的不正確表示而產(chǎn)生計(jì)算不穩(wěn)定現(xiàn)象。我們把這種在滿足線性穩(wěn)定性條件下，由于非線性作用而產(chǎn)生的不穩(wěn)定，稱為非線性不穩(wěn)定。

本節(jié)將通過一個(gè)計(jì)算實(shí)例的分析，來說明非線性計(jì)算不穩(wěn)定的產(chǎn)生，并進(jìn)一步分析其產(chǎn)生的原因。一、計(jì)算實(shí)例：對一維平流方程：（3.131）（3.132）第一種形式第二種形式上述方程可構(gòu)造不同的差分方程，下面給出其中兩種方案：其中：〖1〗〖2〗（3.133）（3.134）給定兩種不同的初值：〖1〗 （3.135） 〖2〗 （3.136）根據(jù)前面有關(guān)線性穩(wěn)定性的討論，其線性穩(wěn)定性判據(jù)為：此時(shí)差分格式是滿足線性計(jì)算穩(wěn)定性條件的。假設(shè)對兩種差分格式，分別用以上給定的初值進(jìn)行計(jì)算。為了考察二者的穩(wěn)定性，對每一步的格點(diǎn)總動能：進(jìn)行了計(jì)算，其總動能隨時(shí)間的變化如圖所示。

圖3.4差分格式總動能隨時(shí)間的變化曲線（a對應(yīng)初值1，b對應(yīng)初值2；實(shí)線-方案1，虛線-方案2）以上分析表明：

在滿足線性穩(wěn)定性的條件下，非線性差分方程仍然會產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象，而且不穩(wěn)定具有突變的特點(diǎn)。

非線性計(jì)算不穩(wěn)定的產(chǎn)生和差分格式有關(guān)，初值對計(jì)算不穩(wěn)定具有顯著的影響。以上簡單說明了非線性計(jì)算不穩(wěn)定的產(chǎn)生，下面進(jìn)一步分析其產(chǎn)生的原因。

有限網(wǎng)格系統(tǒng)能分辨的波的最短波長為 ，對于非線性作用產(chǎn)生的波長小于 的波動，網(wǎng)格系統(tǒng)不能正確地分辨，而把它錯(cuò)誤地表示成為某種波長大于的波，從而造成了這種波的誤差——混淆誤差。二、混淆誤差-非線性計(jì)算不穩(wěn)定產(chǎn)生的可能原因

我們把長度為的空間域分為I等分，即，為空間步長，可得I+1個(gè)空間格點(diǎn)。函數(shù)u在格點(diǎn)上的值可表示為有限級數(shù)的形式： （3.137）由于，上式也可寫成：

其中為k波數(shù)，而 為網(wǎng)格系統(tǒng)可以分辨的最大波數(shù)?；煜`差的產(chǎn)生：上述關(guān)系式表明：由于