專題03函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性【方法點撥】1.常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.2.函數(shù)奇偶性、對稱性間關(guān)系：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，0)中心對稱；一般的，若對于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.3.函數(shù)對稱性、周期性間關(guān)系：若函數(shù)有多重對稱性，則該函數(shù)具有周期性且最小正周期為相鄰對稱軸距離的2倍，為相鄰對稱中心距離的2倍，為對稱軸與其相鄰對稱中心距離的4倍．(注：如果遇到抽象函數(shù)給出類似性質(zhì)，可以聯(lián)想y＝sinx，y＝cosx的對稱軸、對稱中心和周期之間的關(guān)系)4.善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性（中心對稱、軸對稱），有時需將對稱性與函數(shù)的奇偶性相互轉(zhuǎn)化.【典型題示例】例1（2021·新高考全國Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.例2（2021·全國甲卷（理）·12）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）A. B. C. D.【解析】因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．,所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．例3已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)時，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3,5]內(nèi)的所有根之和為________.【解析】因為函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱．作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得f(x)＝－eq\f(1,2)在區(qū)間[－3,5]內(nèi)有8個零點，且所有根之和為eq\f(1,2)×2×4＝4.例4已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．50【分析】同例1得f(x)的周期為4，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)，而f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2、f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋···＋f(50)＝f(47)＋f(48)＝f(1)＋f(2)＝2.例5已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有（2）成立，當(dāng)，，，且時，都有，則下列結(jié)論正確的有A．（1）（2）（3） B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸 C．函數(shù)在，上有5個零點 D．函數(shù)在，上為減函數(shù)【解答】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；對任意，都有（2）成立，當(dāng)時，有（2），則有（2），則有，即是函數(shù)的一條對稱軸；又由為奇函數(shù)，則，變形可得，則有，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)，，，且時，都有，則函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，則在區(qū)間，上為增函數(shù)；據(jù)此分析選項：對于對于，是函數(shù)的一條對稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，正確；對于，函數(shù)在，上有7個零點：分別為，，，0，2，4，6；錯誤；對于，在區(qū)間，上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在，上為增函數(shù)，又由為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則函數(shù)在，上為減函數(shù)，正確；故選：．

【鞏固訓(xùn)練】1．已知函數(shù)關(guān)于對稱,則的解集為_____.2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且的圖象與的圖象有四個交點，則這四個交點的橫縱坐標(biāo)之和等于___________.3.已知函數(shù)滿足，且時，，則（）A．0 B．1 C． D．4.已知f(x)是定義域為R的函數(shù)，滿足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝x2－x，則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)的周期為4B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝2對稱C.當(dāng)0≤x≤4時，函數(shù)f(x)的最大值為2D.當(dāng)6≤x≤8時，函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,2)5.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，則86．(多選題)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)，則()A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C.f(x＋3)為奇函數(shù) D.f(x＋4)為偶函數(shù)7.若定義在R上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，現(xiàn)給出下列4個論斷：①是周期為4的周期函數(shù)；②的圖象關(guān)于點對稱；③是偶函數(shù)；④的圖象經(jīng)過點；其中正確論斷的個數(shù)是______________.8.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，下列說法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱B.f(x)是周期為4的函數(shù)C.若f(x)滿足對任意的x∈[0，1]，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0，則f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞增D.若f(x)在[1，2]上的解析式為f(x)＝lnx＋1，則f(x)在[2，3]上的解析式為f(x)＝1－ln(x－2)

【答案與提示】1．【答案】【解析】∵函數(shù)關(guān)于對稱,∴,則由,結(jié)合圖象可得,求得2．【答案】8【解析】，故，即的圖象關(guān)于點對稱，又函數(shù)滿，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以四個交點的橫縱坐標(biāo)之和為8.3.【答案】D【解析】因為，所以.4.【答案】ABC【解析】由f(x＋1)＝f(x－3)，得f(x)＝f[(x－1)＋1]＝f[(x－1)－3]＝f(x－4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，A正確.由f(1＋x)＝f(3－x)，得f(2＋x)＝f(2－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，B正確.當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，函數(shù)f(x)在[0，2]上取得極小值－eq\f(1,4)，且f(0)＝0，f(2)＝2.作出函數(shù)f(x)在[0，8]上的大致圖象，如圖.由圖可知，當(dāng)0≤x≤4時，函數(shù)f(x)的最大值為f(2)＝2，C正確；當(dāng)6≤x≤8時，函數(shù)f(x)的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,4)，D錯誤.故選ABC.5.8【答案】－8【提示】四個根分別關(guān)于直線，對稱.6．【答案】ABC【解析】法一由f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)，(2，0)對稱，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù).又f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均為奇函數(shù).故選ABC.法二由f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)，(2，0)對稱，所以f(x)的周期為2|2－1|＝2，所以f(x)與f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)與f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均為奇函數(shù).故選ABC.7.【答案】3【解析】命題①：由，得：，所以函數(shù)的周期為4，故①正確；命題②：由是奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；命題③：由是奇函數(shù)，得：，又，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故③正確；命題④：，無法判斷其值，故④錯誤.綜上，正確論斷的序號是：①②③.8.【答案】ABC【解析】根據(jù)題意，f(x)的圖象關(guān)于點(1，1)對稱，A正確；又f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)＝f(－x)，則2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，從而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正確；由eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0可知f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，又f(x)的圖