專題恒成立和存在型求參歸類一、知識梳理與二級結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】參變分離基礎(chǔ)型【題型二】參變分離：虛設(shè)零點(diǎn)【題型三】參變分離：洛必達(dá)法則【題型四】分類討論求參型【題型五】分類討論求參：端點(diǎn)值型【題型六】分類討論求參：隱零點(diǎn)型【題型七】分類討論求參：整數(shù)型【題型八】同構(gòu)型求參數(shù)【題型九】x1與x2型求參：恒成立與存在型【題型十】x1與x2型求參：值域子集型【題型十一】x1與x2型求參：絕對值分離同構(gòu)【題型十二】數(shù)列型恒成立求參【題型十三】三角函數(shù)型恒成立存在求參三、高考真題對點(diǎn)練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結(jié)論一、虛設(shè)零點(diǎn)法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點(diǎn)只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決虛設(shè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化技巧：（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點(diǎn)）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍。二、常見同構(gòu)技巧：三、洛必達(dá)法則：1.洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型。2.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯。當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。3.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在與上可導(dǎo)，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。四、恒（能）成立問題的解法：1.若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.2.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.五.對于含有全稱量詞，特稱量詞的題目，有以下常見結(jié)論：；；.六.不等式恒成立（能成立）問題，一般有兩種方法：方法1：分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實(shí)現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.熱點(diǎn)考題歸納【題型一】參變分離型【典例分析】已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上增，在上減．(2)【分析】（1），討論或判斷的單調(diào)性；（2）由題意可得：對任意恒成立，即，通過導(dǎo)數(shù)求的最小值．【詳解】（1），當(dāng)時，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意得對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．【提分秘籍】參變分離型求參數(shù)：參變分離：當(dāng)不等式含有兩個字母時，其中一個有定義域的為變量，另外一個則為參數(shù)。兩個變量比較容易拆開時，則用參變分離。不容易拆開時，則可以采用分類討論和最值分析法來解決這類問題。

如何確定參數(shù)與變量：一般情況下，有范圍的字母為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，所求的字母（一般情況下）看為參數(shù)。參變分離發(fā)的適用范圍：恒成立或者存在問題求參數(shù)、是否能分離變量，如能分離（參數(shù)），則可以通過對變量函數(shù)求最值得到。、參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否能求出最值（端點(diǎn)值或臨界值），若無法求出最值，則無法用參變分離解決?！咀兪窖菥殹浚◤V東省湛江市第二十一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三3月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為，極大值為；（2）.【分析】（1）求，解不等式和可得單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性即可得極值；（2）由題意可得：不等式對于任意恒成立，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值，即可求解.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令，可得，，由，得；由，得或，所以函?shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為，所以當(dāng)時，函數(shù)極小值為，當(dāng)時，函數(shù)的極大值為，（2）若，不等式恒成立，即對于任意，不等式恒成立，設(shè)，，則，因?yàn)?，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題型二】參變分離求參：虛設(shè)零點(diǎn)型【典例分析】（2020秋·遼寧營口·高三營口市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值．【答案】（1）減函數(shù)；（2）3.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）不等式，變形為，因此令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得的取值范圍，從而得到最大的正整數(shù)．【詳解】（1），∵，∴，∴，∴在上是減函數(shù)；（2）當(dāng)時，恒成立，即對恒成立，，記，則，∴在上單調(diào)遞增，又，∴存在唯一實(shí)數(shù)根，且滿足，，由時，，時，，知的最小值是，∴，正整數(shù)k的最大值是3．【提分秘籍】虛設(shè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化技巧：（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點(diǎn)）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍?！咀兪窖菥殹浚?023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義可求得結(jié)果；（2）分離變量可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)后可令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可求得的零點(diǎn)，并得到的單調(diào)性，由此可求得，化簡可得，由此可求得的取值范圍.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無極小值.（2）由得：，在上恒成立；令，則；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問題，從而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來求得變量的取值范圍.【題型三】參變分離求參：洛必達(dá)法則型【典例分析】已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，令，則所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，（1），即在上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間．（2）對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．當(dāng)，對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．記，則，記，則，所以在單調(diào)遞減，又（1），所以，時，，即，所以在單調(diào)遞減．所以，綜上所述，的取值范圍是．【提分秘籍】若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

【變式演練】已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．【題型四】分類討論求參型【典例分析】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由恒成立，即恒成立，設(shè)，由單調(diào)性可得對恒成立，于是恒成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，即.（2）恒成立，即恒成立，于是恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，對恒成立，即對恒成立，于是恒成立，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，，所以的最小值是.【提分秘籍】分類討論法：考慮導(dǎo)函數(shù)等0時是否有實(shí)根，從而分類討論導(dǎo)函數(shù)有實(shí)根，但是實(shí)根是否落在定義域內(nèi)，從而討論。導(dǎo)函數(shù)有實(shí)根，導(dǎo)函數(shù)也落在定義域內(nèi)，但是這些實(shí)根的大小關(guān)系不確定從而進(jìn)行討論【變式演練】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間；（2）先由時不等式成立，得，再將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，代入可解得結(jié)果.【詳解】（1），，令，得或，令，得或，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，得，即，令，，因?yàn)椋裕O(shè)，則，令，得,令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即.【題型五】分類討論求參：端點(diǎn)值型【典例分析】（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，求．(2)證明：，．【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】（1）利用換元法，把題意轉(zhuǎn)化為證明.令，，分類討論求參：和，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得到，解出；（2）利用分析法，只需證，.記，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在內(nèi)單調(diào)遞減，由，即可證明.【詳解】（1）令，則可化為.令，，則若，則，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，，所以時，，不符合題意；若，則由得．當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以?dāng)或者時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意，故，解得．（2）要證，,只需證，由（1）可知，．記，則當(dāng)時，因此在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以即，故，.【提分秘籍】端點(diǎn)值效應(yīng)：端點(diǎn)值效應(yīng)，是通過端點(diǎn)值來縮小參數(shù)范圍，從必要條件入手尋找充要條件。1、恒成立或者存在求參數(shù)型題2、函數(shù)的最值只可以再極值點(diǎn)和端點(diǎn)值處取得3、本質(zhì)是“求函數(shù)的值域”問題?！咀兪窖菥殹?全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍原解：（1）時，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故 ，從而當(dāng)，即時，，而，于是當(dāng)時，.由可得.從而當(dāng)時， ，當(dāng)時，，而，于是當(dāng)時，. 綜合得的取值范圍為【題型六】分類討論求參：隱零點(diǎn)【典例分析】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)證明：曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)記的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，求使恒成立的的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線方程即可證明；（2）把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值小于等于零恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，所以，又，所以在處的切線方程為，即，恒過坐標(biāo)原點(diǎn).（2），定義域?yàn)椋?當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，故不恒成立.當(dāng)時，設(shè)，則，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又，因?yàn)?，所以，即，由零點(diǎn)存在定理知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，即.當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，要使恒成立，只需.因?yàn)椋桑獾?，故所求的的取值范圍?【提分秘籍】虛設(shè)零點(diǎn)法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點(diǎn)只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決【變式演練】（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條，求實(shí)數(shù)t的值；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，求出.然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推得.根據(jù)已知可得出，求解即可得出答案；（2）先證明當(dāng)時，有.然后可推得，進(jìn)而可得出所以當(dāng)時，成立.然后驗(yàn)證時，當(dāng)時，有，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，化簡可得，，依題意方程僅只一個實(shí)根，于是，解得或，所以當(dāng)或時，過點(diǎn)P作曲線的切線有且僅有一條．（2）設(shè)，，則恒成立，于是在上單調(diào)遞增，則，即，因此當(dāng)時，恒有成立，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，于是在上恒成立，所以當(dāng)時，，即成立；當(dāng)時，存在滿足，即，此時，，不合題意，綜上，a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先證明，進(jìn)而得出，即可得出時，恒成立.然后說明，不成立即可.【題型七】分類討論求參：整數(shù)型參數(shù)【典例分析】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)寫出一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得恒成立，并證明．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)切線方程的公式，求得切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，可得答案；（2）先寫出一個正整數(shù)，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究最值，可得答案.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，則，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）當(dāng)時，恒成立，即恒成立，證明過程如下．今，①當(dāng)時，，所以．②當(dāng)時，，令，則，可知在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以成立．一般情況下探求：當(dāng)時，，即，令，①當(dāng)時，，所以．②當(dāng)時，，令，則，可知在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以存在，使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋灾恍铦M足即可.【提分秘籍】討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號【變式演練】（2022屆高三下學(xué)期臨考沖刺原創(chuàng)卷（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得對恒成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)不存在滿足條件的整數(shù)a，理由見解析【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，分及兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)并求導(dǎo)，分和兩種情況分別討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，整理求解．(1)因?yàn)椋裕?，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，即在上單調(diào)遞增；由，解得，即在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)假設(shè)存在，使得對任意恒成立，即對任意恒成立．令，則，當(dāng)且時，，則在上單調(diào)遞增，若對任意恒成立，則，即，矛盾，故舍去；當(dāng)，且時，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則令即可．令，則，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，所以，所以不存在且，使得成立．綜上所述，不存在滿足條件的整數(shù)a．【題型八】同構(gòu)型求參數(shù)【典例分析】（河北省衡水中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，都，求k滿足的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可證明；（2）把轉(zhuǎn)化為對恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為對恒成立，分離參數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，則.因?yàn)椋援?dāng)時，，單減；當(dāng)時，，單增.所以，即，所以成立.（2）即為，亦即為，可化為對恒成立.不妨設(shè)，則.當(dāng)時，，單減；當(dāng)時，，單增.所以當(dāng)時，有對恒成立.即.令，則.所以當(dāng)時，，單減；當(dāng)時，，單增所以.即.綜上所述：的取值范圍為.【提分秘籍】同構(gòu)法求參數(shù)范圍通過對原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q或者變換，可以帶到一個與之相同（同構(gòu)，結(jié)構(gòu)相同，性質(zhì)相同）的新函數(shù)，新函數(shù)相對容易處理。利用同構(gòu)法，可以講原函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個更簡單的問題，并通過求導(dǎo)求最值進(jìn)行分析從而得到參數(shù)范圍。同構(gòu)法求解參數(shù)范圍：尋找原函數(shù)及其特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃畏绞健?gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析根據(jù)新函數(shù)極值最值等得到參數(shù)范圍【變式演練】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若對，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2)[，+∞）【分析】（1）分別求得和，根據(jù)，列出方程，即可求解；（2）將不等式變形轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）依題意，，，則，，因?yàn)樵邳c(diǎn),處的切線與在點(diǎn),處的切線互相平行，所以，又因?yàn)?，所以?）由，得，即，即，設(shè)，則，，由，設(shè)，可得，所以時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以,所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題型九】x1與x2型求參：恒成立與存在型【典例分析】（陜西省咸陽市高新一中2022-2023學(xué)年高三理科數(shù)學(xué)試題（A卷））已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數(shù)f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解值域；（2）把條件轉(zhuǎn)化為，分別求解的最小值可得實(shí)數(shù)a的范圍.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，即函?shù)為減函數(shù)，因?yàn)椋灾涤驗(yàn)?（2）因?yàn)?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以，因?yàn)?，所以，所以，?【提分秘籍】一般地，已知函數(shù)，(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【變式演練】（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，在處取得極小值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的極值；(3)設(shè)函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)極小值；極大值(3)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在極值處導(dǎo)函數(shù)為，極小值為聯(lián)立方程組即可求得，，求得函數(shù)解析式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，檢驗(yàn)求得，值是否滿足題意；（2）由（1）即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，即對任意總存在，使得的最小值不大于；對于，分、、三種情況討論即可．【詳解】（1）∵，則，由題意可得，解得，則函數(shù)的解析式為，且，令，解得：，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：減極小值增極大值減故符合題意，即.（2）由（1）可得：當(dāng)時，函數(shù)有極小值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值2.（3）∵函數(shù)在時，，在時，且，∴由（1）知：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又∵對任意總存在，使得，則當(dāng)時，的最小值不大于，對于開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故的最小值為，得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，得或，不合題意，舍去；綜上所述：的取值范圍是.【題型十】x1與x2型求參：值域子集型【典例分析】（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；(2)若方程在上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(3)若對任意，總存在唯一的，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則，解得的值；（2）若方程在上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，故在上有兩個實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得到答案；（3）若對任意，總存在唯一的，使得，則的值域滿足，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1），即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；（2）若方程在上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即在上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時，等式不成立，故在上有個實(shí)數(shù)根，令，則恒成立，故在和上均為增函數(shù)；當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上可得：（3）由（1）中得：當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)；故當(dāng)時，函數(shù)取最小值，當(dāng)時，函數(shù)，，當(dāng)時，函數(shù)；當(dāng)時，由得：，由對任意，總存在唯一的，使得得：，解得：；當(dāng)時，由得：，滿足對任意，總存在唯一的，使得當(dāng)時，由得：，由對任意，總存在唯一的，使得得：，解得：；綜上可得：【提分秘籍】一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；【變式演練】（2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)：.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）對于任意的都存在唯一的使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)不同情況下函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)題意，求得不同情況下的值域，結(jié)合其值域?yàn)榈淖蛹?，列出不等式，則問題得解.【詳解】（1）時，遞增，,時，遞減，，時，時遞減，時遞增，所以綜上，當(dāng)；當(dāng)當(dāng)（2）因?yàn)閷τ谌我獾亩即嬖谖ㄒ坏氖沟贸闪?所以的值域是的值域的子集.因?yàn)檫f增，的值域?yàn)椋╥）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又，所以在[1,e]上的值域?yàn)?所以，即.（ii）當(dāng)時，因?yàn)闀r，遞減，時，遞增，且，所以只需即，所以（iii）當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以不合題意.綜合以上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題型十一】x1與x2型求參：絕對值型分離同構(gòu)型【典例分析】（河南省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三12月大聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)，，，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)【分析】（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論即可；（2）當(dāng)，時，，去絕對值后，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】（1）由已知，（）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，則，，解得（舍），，∴當(dāng)時，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，，，，，，等價于，即，令，，則恒成立，令，，則，令，解得，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，的最大值為，∴當(dāng)時，，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，∴，，有，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，且，有，∴等價于，∴，設(shè)，，則，，且，等價于，即在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，∵當(dāng)時，的最大值為，∴的最小值為，∴，綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.【提分秘籍】1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值。2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)?！咀兪窖菥殹浚?021-2022學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三一調(diào)考試數(shù)學(xué)）已知（1）討論的單調(diào)性，（2）當(dāng)時，若對于任意，都有,求的取值范圍.【答案】（1）時在上單調(diào)遞增；時，的遞增區(qū)間為,的遞減區(qū)間為；（2）【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號，解不等式即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中得到的單調(diào)性結(jié)論，將絕對值不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求得的取值范圍．【詳解】（1）∵當(dāng)時當(dāng)時恒成立∴在上單調(diào)遞增當(dāng)時，令得，令得∴的遞增區(qū)間為，的遞減區(qū)間為（2）由（1）知時在上單調(diào)遞增不妨設(shè)，可化為即令則在單調(diào)遞增對恒成立則【題型十二】數(shù)列型恒成立求參【典例分析】（河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考圓夢計劃2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．【答案】(1)0(2)3【分析】（1）求出，得出函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；（2）根據(jù)（1），令得，兩端累加求和（右端恰為等比數(shù)列）即可得出.【詳解】（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在時，取得極大值，且為唯一極值點(diǎn)，∴在時，取得最大值0．（2）由（1）知當(dāng)時，．令得．從而即，故．而，所以m的最小值為3．【變式演練】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)為整數(shù)，且對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求的最小值；(3)證明：.【答案】(1)(2)2(3)證明見解析【分析】（1）法一：由得出，利用導(dǎo)數(shù)得出，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：由確定是上最小值，也是極小值，進(jìn)而得出的值，再檢驗(yàn)即可；法三：由洛必達(dá)法則求解即可；（2）由，通過賦值得出，再由等比求和公式得出的最小值；（3）由在上恒成立，令和，由對數(shù)的運(yùn)算證明即可.【詳解】（1）法一：在上恒成立在上恒成立設(shè)①當(dāng)時，恒成立在上單調(diào)遞增，且時，不符合題意，舍去②當(dāng)時，令，則；令，則.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.設(shè)令，則；令，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時，的取值范圍是：.法二：在上恒成立是上最小值，也是極小值，即當(dāng)時，令，則；令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增即，滿足：在上恒成立法三：①當(dāng)時，恒成立，.②當(dāng)時，恒成立，設(shè)設(shè)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，為“”型由洛必達(dá)法則得當(dāng)時，，即③當(dāng)時，恒成立，設(shè)設(shè)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，為“”型由洛必達(dá)法則得當(dāng)時，，即綜上，的取值范圍是：（2）由（1）知，，即在上恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）令，則.即又且的最小值為2.（3）不等式在上恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）令，則，即.令，則，即故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題（2）（3）時，關(guān)鍵是利用不等式，通過賦值得出的最值和證明不等式.【題型十三】三角函數(shù)型恒成立存在求參【典例分析】已知函數(shù)，．(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）由題意得恒成立，當(dāng)，時，顯然恒成立；當(dāng)時，得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值即可得出結(jié)果．【詳解】（1），，當(dāng)時，，，，（等號不能同時成立），所以；當(dāng)時，，，，所以，所以當(dāng)時，，綜上，在上單調(diào)遞增．（2），化簡得，①當(dāng)時，，顯然恒成立；②當(dāng)時，，顯然恒成立；③當(dāng)時，，∴．設(shè)，，設(shè)，．∵，∴，，∴，在上單調(diào)遞增，又由，所以當(dāng)時，∴，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，∴在上單調(diào)遞增，所以，故．【提分秘籍】三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求參：正余弦的有界性三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【變式演練】（江蘇省鹽城市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研（五）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，若，證明：．(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先不等式變形后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可證明；（2）首先構(gòu)造函數(shù)，分，和三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式，并得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，需證，只需證設(shè)，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以．所以（2）因?yàn)椋栽O(shè)，可得，又，則，若，，由（1）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以恒成立，符合題意；若，，當(dāng)時，，不合題意；若，因?yàn)闀r，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，又，所以存在，，?dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，不合題意；綜上，，的取值范圍是．高考真題對點(diǎn)練1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.,對應(yīng)當(dāng).2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)椋?，，故在上恒成立，所以?dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時，因?yàn)椋?，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價于在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時，與僅有一個交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.最新?？颊骖}1．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若對任意，恒成立，求整數(shù)m的最小值.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)1【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性得極值；（2）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求的最大值，確定的零點(diǎn)的范圍，得出最大值的范圍后可得最小的整數(shù)．【詳解】（1）當(dāng)時，，.當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時.，則在上單調(diào)遞減.所以在時取得極大值且極大值為，無極小值；（2）因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則.設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，使得，即，?dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，故整?shù)m的最小值為1.2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)﹔(2)當(dāng)時，若對任意，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時，無零點(diǎn)，當(dāng)或有一個零點(diǎn)，當(dāng)，有2個零點(diǎn)，(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解，（2）將不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函求解單調(diào)性，即可將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為恒成立，取對數(shù)即可求解.【詳解】（1）令則，記，則，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值也是最大值，又，而當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出的圖象如下：

因此當(dāng)時，即，無交點(diǎn)，此時無零點(diǎn)，當(dāng)或時，即或，有一個交點(diǎn)，此時有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，即，有兩個交點(diǎn)，此時有2個零點(diǎn)，綜上可知：當(dāng)時，無零點(diǎn)，當(dāng)或有一個零點(diǎn)，當(dāng)，有2個零點(diǎn)，（2）當(dāng)時，若對任意，恒有等價于：對任意，恒有，令，則不等式等價于，由于，令，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，由得對任意恒成立，兩邊取對數(shù)得對任意恒成立，故，所以故的范圍為3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，然后用點(diǎn)斜式求得直線方程；（2）令（），轉(zhuǎn)化為，恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和最值可得答案.【詳解】（1），當(dāng)時，，，，，所以時，函數(shù)的圖象在處的切線方程為：；（2）（）恒成立，令（），，（）恒成立，即為，恒成立，，令，恒過，（?。┤?，即，，，，在上單調(diào)遞增，恒成立.（ⅱ）設(shè)拋物線與軸的兩個交點(diǎn)分別為，且，當(dāng)，即時，，，則，在上單調(diào)遞減，此時，不滿足恒成立，綜上可知：的取值范圍為.4．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求得函數(shù)定義域?yàn)?，，通過分類討論即可得到答案；（2）首先得到的范圍，將原式轉(zhuǎn)化為對恒成立，即對恒成立，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得到答案.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，①?dāng)時，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）記，由（1）知，當(dāng)時，，則，則，當(dāng)時，恒成立，即對恒成立，即對恒成立，則，即對恒成立，令，對恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若，函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．【答案】(1)最小值為，最大值為(2)0【分析】（1）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；（2）將題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離可得，設(shè)，求導(dǎo)后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得上有極大值點(diǎn)，設(shè)為，再根據(jù)滿足的方程代入，結(jié)合的取值范圍分析最大值的范圍即可.【詳解】（1）若，則函數(shù)，．令，則或，由于，因而當(dāng)時．單調(diào)遞減，當(dāng)時．單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為（2），由在上是增函數(shù)，得在上恒成立，即，分離參數(shù)得設(shè)，則，，即設(shè)，由于因而方程在上有解，設(shè)為，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，所以的最大值為．因而，即，又又所以a的最大整數(shù)值為0．6．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┖瘮?shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)【分析】（1）在定義域內(nèi)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值；（2）將原式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為式子和需同號的問題，然后令，求導(dǎo)研究其單調(diào)性及值域，再根據(jù)函數(shù)值先得出參數(shù)需大于0，然后通過對參數(shù)分為和進(jìn)行分類討論即可得出最后結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，則此時當(dāng)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值.（2）原式等價于，即，因?yàn)樗?，即，令，可得，因?yàn)閷θ我夂愠闪?，所以，可?當(dāng)時，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以符合題意；當(dāng)時，令，解得，，因?yàn)樗援?dāng)時，有，即在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所?/p>