巧用切線長定理解題林紹隆本文就切線長定理在計算和證切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等明中的應(yīng)用，舉幾種常見的類型，以供參考。本文就切線長定理在計算和證一、求角度B,如果。。的半徑為28，且例1.如圖1所示，CA和B,如果。。的半徑為28，且AB=6,求NACB的度數(shù)。圖1解：連接0C交AB于點(diǎn)DVCA>CB分別是。。的切線ACA=CB,0C平分NACB故OC_LAB由AB=6,可知BD=3在RtAOBD中，0B=273士Zr. BD3V3故sin/BOD==-■==——OB2V3 2所以NBOD=60°又因B是切點(diǎn)，故OB_LBC,所以NOCB=30°,則NACB=60°。二、求線段長例2.如圖2,在AABC中，ZABC=90°,0是AB上的一點(diǎn)，以0為圓心，0B為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,與AC切于點(diǎn)D,連接DB、DE、0C,若AD=2,AE=1。求CD的長。解：VZABC=90°,OB是半徑：.CB切。0于點(diǎn)B〈AC切。0于點(diǎn)DACB=CD由AC切。0于點(diǎn)D,可得AD2=AE^AB而AD=2,AE=1,故AB=4設(shè)CO=Q5=x,在Rt^ABC中，有（x+2）2=，+42,解得工二3即DC=3o三、證線段相等例3.如圖3,在Rt^ABC中，ZACB=90°,以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作。O的切線EF交AC于點(diǎn)E。求證：AE=DE。圖3證明：連接CD。由BC是（DO的直徑，可得NCDB=90°又因NACB=90°,故CE切。0于點(diǎn)C。因DE切。O于點(diǎn)D,故CE=DE所以NEDC=NECD則NEDC+NADE=90°,ZECD+ZA=90°AZADE=ZAo所以DE=AE。四、證明線段成比例例4.如圖4,AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點(diǎn)，CDJ_AB于點(diǎn)D,從C、B兩點(diǎn)分別作半圓0的切線，它們相交于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P。求證：PD：CE=AD：AB。證明：顯然NPDA=90°YEB為半圓0的切線，AB是半圓0的直徑,，EB_LAB,即NEBA=90。又因NPAD=NEAB,所以△APDs/\AEBAPD：BE=AD：AB由EC、EB都是半圓。的切線，可知CE=BEAPD：CE=AD：ABo五、證明線段平行例5.如圖5,P為。。外一點(diǎn)，PA、PB為。0的切線，A和B是切點(diǎn)，BC是。。的直徑。求證：AC〃OP。圖5證明：連接AB,交OP于點(diǎn)D?！窹A、PB分別切。。于點(diǎn)A、B,APA=PB則有N1=N2,PD±AB,可知N3=90°由BC是。。的直徑，知N4=90°,則N3=N4故AC〃OP。［練習(xí)］如圖6,在RtZXABC中，ZC=90°,BC=6,AC=3,過點(diǎn)B作以A為圓心、AC為半徑的。A的切線，切點(diǎn)為D,延長CA交。A于