在正弦激勵(lì)的動(dòng)態(tài)電路中，若各電壓、電流均為與激勵(lì)同頻率的正弦波，則該電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法即為正弦穩(wěn)態(tài)分析，指的就是運(yùn)用相量的概念對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析。9-12

有效值 有效值相量一、有效值的概念正弦電流i流過(guò)電阻R，在一個(gè)周期T內(nèi)電阻消耗的能量為：T

Ti

(t)dt02021

i

(t)Rdt

RW

(0,T

)

設(shè)直流電流I流經(jīng)同樣的電阻R，在相同時(shí)間T內(nèi)，R消耗的能量為：02TI

2

Rdt

RTI

2W

(0,T

)

假定消耗的能量相同，即：W1

(0,T

)

W2

(0,T

)則有：T022

RTI

RTi

(t)dt1T02

i

(t)dt

I

TX

02x

(t)dt1Tx(t)tTOTi

(t)dt1T02

I

稱為交流電流i的有效值,又稱均方根值。二、正弦量的有效值與振幅的關(guān)系結(jié)論：Im2I

2U

UmmimT

ITT

IT2

m

dt2T12T1[cos(1

10202TI0220

0.707I

Im

Ti2dt

I

m

[cos(2

t

2

i

)

1]dt

t

)]

dti

Im

cos(

t

i

)三、有效值相量（相量）I

I

iU

U

ui

2I

cos(

t

i

)u

2U

cos(

t

u

)小常識(shí)*電網(wǎng)頻率：中國(guó)50

Hz；美國(guó)、日本60Hz

*

有線通訊頻率：300

-

5000

Hz*

無(wú)線通訊頻率：30

KHz-3×104

MHz例、

2oA,i

t

10

sin 314t

60

3oAi

t

4

cos 314t

60

1oi

t

5

cos(314t

60 )

A,寫(xiě)出三個(gè)正弦電流的相量，并繪出相量圖。52o

I1

60

A102o

I

2

150

A

2oi

t

10

cos 314t

60

90o

A,42

I

3

120o

A3o

oi

t

4

cos

314t

60

180

A解：作業(yè)：P450：9-429-5

基爾霍夫定律的相量形式在正弦穩(wěn)態(tài)中（具有相同頻率）相量形式為：一、KCL：

i

0

0

I

0

或：

I

m二、KVL：

u

0

0

U

0

或：

U

mWhy?例1.i1i2i3已知：i1

3

2

cos

t

Ai

4

2

cos(

t

90

)

A2求i3。3i

5

2

cos(

t

53.1

)結(jié)果：A已知12u

5

2

cos

t

Vu

5

2

sin

t

V求u3例_+_+_u3u22

+

u1結(jié)果：

u3

10

cos(

t

45

)V

u

Ri在正弦穩(wěn)態(tài)中：i

2I

cos(

t

i

)u

2U

cos(

t

u

)相量形式為：U

R

I

9-6

三種基本電路元件VCR的相量形式一、電阻元件i+_u

R含義：U

u=

RI即

u

=

i+1+jU

IO

tO說(shuō)明：電阻兩端正弦電壓與正弦電流同相。U

RI

u

=

i

i模相等幅角相等uiU

R

I

dtC

C

duC

i在正弦穩(wěn)態(tài)中：iC

2IC

cos(

t

i

)uCCu

2U

cos(

t

)相量形式為：CCI

j

CU

二、電容元件iCC+uC_

i

j

CUC含義：IC

u

CUC

u

90

j

1

90

即IC

CUC

i

u

90

+1說(shuō)明：

1）電流超前電壓90°；+jO2）電流與ω有關(guān)。ω=0，相當(dāng)于直流激勵(lì)，電容開(kāi)路。

ICCU

Oui

t

i

j

CUCIC

u

CUC

u

90

dtL

L

diL在正弦穩(wěn)態(tài)中iL

2IL

cos(

t

i

)uL

2U

L

cos(

t

u

)

u相量形式為L(zhǎng)LU

j

LI三、電感元件+iLLu_L

u

j

LIL

i含義：U

L

LIL

i

90

即UL

LI

L

90

u

i

tOui+1說(shuō)明：

1）電流滯后電壓90°；+jOLU

IL2）電壓與ω有關(guān)。

ω=0，相當(dāng)于直流激勵(lì)，電感短路。

u

j

LIL

iUL

LIL

i

90

Cu

1

id

tU

U

U

j

C

1

I

R

I

j

L

I

u

Riu

L

d

id

t元件時(shí)域VCR元件相量VCR電路元件VCR的相量形式時(shí)域電路i

R+

ui(t)u

(t)L+-i

(t)u(t)C+--相量模型相量圖I

U

U

I

I

U

U1

I

Cj

L+U

I

I

+-j

C

1

U

R+-I

U

電路元件VCR的相量形式U

LIU

RIR(2)用相量關(guān)系式i

u

2

2

cos(314t

60

)

AU

8

60

①I

U

2

60

②Ri

2 2

cos(314t

60

)

A③結(jié)論：純電阻電路,電壓與電流同相,可直接用時(shí)域關(guān)系式求解。例1：u

8

2

cos(314t

60

)V

，R=4Ω求，：i。解：(1)用時(shí)域關(guān)系式例2：i

解：用相量關(guān)系式I

1

30

①

0.02I

j

C

U

120

②

I

j

CU

2

cos(100t

120

)Vu

0.02③2

cos(100t

30

)A，C=0.5F，求：u。例3：L=4Hu，

82

cos(100t

50

)V，求：i。解：用相量關(guān)系式

50

0.02U

j

L

I

U

j

LI

140

①

U

8②2

cos(100t

140

)

Ai

0.02③總結(jié)：用相量式求解三個(gè)步驟：①寫(xiě)出已知正弦量的相量；（正變換）②利用元件或電路的相量關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算；③由得出相量求出對(duì)應(yīng)的正弦量（反變換）作業(yè)：P443：9-11P444：9-149-7

VCR向量形式的統(tǒng)一——阻抗與導(dǎo)納Rj

Lj

C

1

+_RI

UR

R

RI

U

RCI

CU

_C1j

C

I

U

CLI

LU

+

+_L

j

LI

U

L_Z

I+U

I

概括：

U

Z阻抗一、阻抗定義：二端元件正弦電壓、電流相量之比?；?/p>

IZ

U

U

Z

I——?dú)W姆定律的相量形式

電容的阻抗CZL

j

L

電感的阻抗1j

CR

:

ZR

R

電阻的阻抗L

:C

:

Z

二、導(dǎo)納定義：阻抗的倒數(shù)。ZY

1RZCCLLRRj

LY

j

CZ

R1j

CC

:1L

:

Z

j

L

Y

Y

1

G

I

YU

——?dú)W姆定律另一種相量形式牢記：R

:XL

LC

C1X

稱感抗稱容抗L

LB

1BC

C

稱容納稱感納一般：R

>

0X>0時(shí)，稱呈感性

X<0時(shí)，稱呈容性一般：G

>

0B>0時(shí)，稱呈容性

B<0時(shí)，稱呈感性說(shuō)明：阻抗與導(dǎo)納是復(fù)數(shù)1.直角坐標(biāo)形式Y(jié)

G

jBG—導(dǎo)納的實(shí)部，稱電導(dǎo)

B—導(dǎo)納的虛部，稱電納Z

R

jXR—阻抗的實(shí)部，稱電阻

X—阻抗的虛部，稱電抗2.極坐標(biāo)形式iZ

uIZ

Z

U

Z

——阻抗的模

Z——阻抗的輻角

Z

u

i

阻抗角

Z

>0時(shí)，稱為感性

Z

<0時(shí)，稱為容性

Z

=0時(shí)，稱電阻性u(píng)Y

iUY

Y

I

Y

——導(dǎo)納的模

Y

——導(dǎo)納輻角

Y

i

u

Y

>0時(shí)，稱為容性

Y

<0時(shí)，稱為感性

Y

=0時(shí)，稱電阻性3.阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系:ZY

11)直角坐標(biāo)形式Z

R

jXY

G

jB2)極坐標(biāo)形式Z

Z

ZY

Y

y1

R

jXZ R

jX

R2

X

2Y

1

ZY

1zy

2）阻抗適合元件串聯(lián)3）導(dǎo)納適合元件并聯(lián)非關(guān)聯(lián)參考方向加負(fù)號(hào)阻抗單位：歐姆(Ω) 導(dǎo)納單位：西門子(S)Z

ZkY

Yk注意：1）復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納是ω的函數(shù)作業(yè)：P444：9-15（2），（4）,（6）9-8,9-9,9-13

相量模型 相量分析法一、兩類約束相量形式與電阻電路的比較相量形式U

Z

I

I

0

U

0時(shí)域形式1.

KL:KCL

i

0KVL2.

VCR:

u

0u

Ri說(shuō)明：正弦穩(wěn)態(tài)相量形式與電阻電路約束形式完全相同。只要對(duì)換：結(jié)論：直流電阻電路的任意分析方法均可用于正弦穩(wěn)態(tài)電路分析。j

CC

R(G)

Z

(Y

)L

j

L1相量形式U

I

時(shí)域形式U

(u)

I

(i)

二、相量模型與相量分析法例：求i，uC

的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。時(shí)域模型uS

2US

cos(

t

us

)iRLC+_uC+u_S相量模型+ZRUS+

_

I_U

CZLZC1、描述時(shí)間電量相互作用的電路模型稱為時(shí)域模型。2、在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，將時(shí)域模型中正弦量表示為相量，元件表示為阻抗或?qū)Ъ{，稱為相量模型。2.

KVL:VCR:

ZL

I

j

LI

CCI

U

C1

Z

I

j

US

usU

R

U

L

U

C

U

SU

R

ZR

I

RI

U

LU

S+_RU

S+_

I+

U

R

_

+

U

L

_CU

j

C1j

L解：1.1

)

C

R

j(

L

I

等效阻抗：Z

U

SZR

ZL

ZCU

I

S

U1

CR

j

L

j

S

us1

)2R2U

C

(

L

I

S

Rusi1

L

C

arctgCCU

1j

C

Z

I

iI

CI

i

90

cos(

90

)iCu

2

t

I

C

i

2I

cos(

t

i

)3.結(jié)論：相量法分析步驟1、畫(huà)出電路的相量模型；（正變換）2、仿照直流電路的分析方法對(duì)相量進(jìn)行分析運(yùn)算；3、把求得的相量變換成對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)。（反變換）包括：直接利用兩類約束計(jì)算、網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、戴維南定理、疊加定理、等效化簡(jiǎn)法例1+i4

us1_+_us2-+

_uL-0.002F0.08H圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，已知us1

10us2

102

cos100t

V2

sin

100t

V

，試求i和當(dāng)us2=0時(shí)的uL。+4

+-j5

解：1作相量模型0

V_10_

10

90

VLU

I

j8

+_三、用相量法（相量解析法）分析簡(jiǎn)單電路+4

-j5

1.做相量模型0

V_10

90

V_

10+

LU

I

2.相量分析依據(jù)VCR：4

j8

j5I

10

0

10

90

2

28.1

3.i

4

cos(100t

8.1

)

Aj8

+_U

S2S1U

I8.1

相量圖：053.1

V=16利用分壓公式UL

4

j8

j5

0

j8

10當(dāng)uS2=0

求uL:+__+

LU

4

-j5

j8

0

V10uL

16

2

cos(100t

53.1

)

V

U

LU

S1

53.1o例2is4

+u_iL0.08H

0.002F圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，is

10

2

cos100t

A試求u和iL。解：1.做相量模型

ILj0.2S

j0.125S0.25S10

0

A+_U

2.相量分析根據(jù)VCR：10

0

I

U

ZI

38.3Y

0.25

j0.125

j0.2

16.7

106.7

16.7

4.79

Y

U

j0.125

38.3IL

L1.相量模型+_

ILj0.2S

j0.125S0.25S10U

0

A3.反變換：

U

38.3

16.7

4.79LI

106.7

VA

u

38.3LA

ILU

2

cos(100t

16.7

)Vi

4.79

2

cos(100t

106.7

)O

IS16.7

106.7

四、用相量圖法分析例圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中用相量圖法求uo與uS的相位關(guān)系。已知uS

S

2U

cos

t+uS–+uo–RC解：

I

U

0

U

C

相量圖法：未知結(jié)果，定性畫(huà)出各相量，作圖求解

1.對(duì)串聯(lián)電路的分析

1

I

0I

串聯(lián)電路宜設(shè)電流參考相量U

0RIU

C

CU

S

I2.對(duì)并聯(lián)電路的分析例圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，用相量圖法求iG

,u已知iS

2IS

cos

tiSu_+

iGGiCC解：S

IC

IG

IG+U

_j

CCGU

CUG

iU

U

U

I

I

G

C并聯(lián)電路宜設(shè)電壓參考相量

IG

IC

IS例：已知在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，A1的讀數(shù)為10A，A2的讀數(shù)為10A。求：電流表A的讀數(shù)。RCA1A2A10A10AabSU

U

cboSU

3

解：例SU

+_1

I3

I

Ia

bUabR1R2R31

C

joc已知U

S

,R1=R2，R3，

,

Cab用相量圖法求

I和

U

4、混聯(lián)電路分析US

I

I

I31SU

U

I

U

U

ao

3

bo1

I

I3

I

3U

caI3ab

boU

aoU

U

ab

ab作業(yè)：P445：9-22（c）9-10

uS11R11i1

R12

i2

...

R1m

imZ11—自阻抗：組成該回路各支路上阻抗之和。

Z12—互阻抗：兩回路之間公共支路阻抗之和。網(wǎng)孔方程:

U

s11

Z11

I1

Z12

I

2

...

Z1m

Im相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法9-10-1

網(wǎng)孔分析法的相量形式+_

j2

3

1

I2

I+j4

0

V10

__500

F+_+

i1i2uS4mH3

2i1例:圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中,已知

uS

10

2

cos1000t

V試用網(wǎng)孔分析法求i1,i2。解：1.作相量模型2.相量分析：列網(wǎng)孔方程3.反變換I22I1

1

I(3

j4)I

j4I

10

0

1

221i

2.772

cos(1000t

29.7

)

A2

cos(1000t

56.3

)

Ai

1.24

j4I

(

j4

j2)I

2I

1

2

19-10-2

節(jié)點(diǎn)分析法的相量形式

iS11G11u1

G12

u2

...

G1m

um節(jié)點(diǎn)電壓方程:

Y11

U1

Y12

U

2

...

Y1m

Um

Is11Y11—自導(dǎo)納：與該節(jié)點(diǎn)相連的各支路上導(dǎo)納之和。

Y12—互導(dǎo)納：兩節(jié)點(diǎn)之間公共支路導(dǎo)納之和。Ui

—節(jié)點(diǎn)電壓相量。+_

j2

_j4

1

I0

V1012

I3

U

1

+2.相量分析：列節(jié)點(diǎn)方程例：_500

F+_+

i1i2uS4mH3

圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中，已知

uS

10

2

cos1000t

V,試用節(jié)點(diǎn)分析法求i1。解：1.作相量模型12i1

10

2

I13

j2(1

1

1

)U

3

j4

j29-10-3戴維南定理的相量形式+Z0IUoc_+U_戴維南等效電路相量模型Uoc

——該網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓相量Z0

——網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部獨(dú)立源均置零時(shí)的等效阻抗_+

等效N單口網(wǎng)絡(luò)

I

U例：試求負(fù)載電流解：+_

IZLZoOCU

LOI

Z

Z

ZU

OC

UOC

OCZ

0

S

10

VU

+_j200

j50

100

LZ

I

IOCU

100

j50

10

0

j50

4.47

63.4

V100

j50Z

j200

100(

j50)

20

j160

200

53.1

O9-10-4

疊加定理的相量形式例_+uSi0.1HiS10

10

2

cos100t

V圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中,已知

uS

20S

i

4

cos(100t

45

)A試用疊加定理求i。解：1.作相量模型+_10

10

j10

0

V2045

A24

I+_10

10

j10

0

V2045

A24

I單獨(dú)作用時(shí)，0

V2.相量分析：

1)

20_+0

V20j10

I

10

2)單獨(dú)作用時(shí)，45

A24

2

45

AU

S10

j10I

I

10

10

j10

45

A24210

j10

2

90

A

I

j10

4

45

3)

I

I

I

2

45

290

45

23.反變換i

2

cos(100t

45

)A

1

j

j2作業(yè)：P446：9-28P449：9-409-11

相量模型的等效兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的端口電壓電流關(guān)系相同時(shí)，稱此兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)等效。一、無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路-U

NO

I+無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)

IU

Z

R

jX

——輸入阻抗U

I

Y

G

jB

——輸入導(dǎo)納（b）（c）阻抗等效電路（d）（e）導(dǎo)納等效電路有兩種等效電路，二者可以互相等效變換：1.

輸入阻抗

Z

R

jX2)

若X

0

，呈容性，則等效為：，

呈感性，則等效為：1)若X

0

L

XX

LRLR

C1

X

C

CX

12.輸入導(dǎo)納Y

G

jB

C

BB

C

B

L

1

LB

11)若B>0,則為GC2)若B<0,則為GL例1：已知Z1

2

，j4

分別求出時(shí)域電路模型。解：1）2

0.4HR

2

L

X

4

0.4H

10Y2

0.1

j0.2

S,

10rad

/

s2）10

0.02FG

0.11C

B

0.2

0.02F

10

R

1

10例2：?jiǎn)慰诰W(wǎng)絡(luò)如圖(a)所示，試計(jì)算該單口網(wǎng)絡(luò)

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效阻抗及等效電路。解：畫(huà)出

=1rad/s時(shí)的相量模型(b)，等效阻抗為Z

(1rad

/

s)

(1

j1)(

j2)

2

j2

2

1

j1

j2

1

jZ

(2rad

/

s)

(1

j2)(

j1)

2

j1

1

j3

(0.5

j1.5)

1

j2

j1

1

j1

2注意：R、X、G、B均為ω函數(shù)，等效電路是指某一頻率下的等效電路。畫(huà)出

=2rad/s時(shí)的相量模型(d)，等效阻抗為例3： 單口網(wǎng)絡(luò)如圖(a)所示，已知

=100rad/s。試計(jì)算等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。U

j2I

1I

j8(I

0.5U

1

)

j2I

1I

j8I

j8

0.5

(

j2I

)

(9

j6)I

I

Z

U

(9

j6)

等效為一個(gè)電阻和電感的串聯(lián)解：二、幾種常用的等效電路公式1.ZZkZ1

Z2ZnZnZ

Zkk

12.YY1YYY2knYnY

Ykk

13.Z1Z2ZZ1

Z2Z

Z1Z2

4.++_

_U

S

U

S1

U

S2

U

S3S1U

S2U

_

U

S3

++_U

S5.S3S2S1S

I

I

I

I

IS

IS3

IS2

IS1SSSZU

I

Z

S

ZSU

S

Z

S

ISZ

S

ZS6.SU

+_ZsS

IZs'三、含源單口網(wǎng)絡(luò)相量模型的等效電路可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源 與阻抗 的串聯(lián)來(lái)代替；的并聯(lián)來(lái)代替。U

ocZoZo也可用一個(gè)獨(dú)立電流源

I

sc

與阻抗四、等效化簡(jiǎn)法的相量形式例1：+_j20V2

2

1

j2

100

A

I求

I解：用電壓源與電流源相互轉(zhuǎn)換，化成單回路求解。I

U

10

j10

5AZ

2

j

2a+c5

Z

I2.

Zcb

j5

5

j5

j5(1

j)

5

j5

5

j5

1

j

2

23.

Z與Zcb的模相等，虛部大小相等，符號(hào)相反

Z

2.5

j2.5

+_iNcCR圖示電路處于正弦穩(wěn)態(tài)中

Cac

cb已知：R

1

5

,U

Uuab與i同相,求N的等效阻抗Z。例2：ab解：Zcbb_

j5

1.作相量模型作業(yè)：P448：9-33本章小結(jié)掌握有效值、阻抗、導(dǎo)納、時(shí)域模型、相量模型的概念；掌握基爾霍夫定律和歐姆定律的相量形式；熟練掌握用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路； 相量法——相量解析法?！嗔繄D法仿照直流電阻電路的分析方法進(jìn)行相量分析掌握電感、電容元件電壓與電流的相位關(guān)系及與ω的關(guān)系；熟練掌握R、L、C元件的Z和Y；會(huì)求任意無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò) 的Z和Y。習(xí)題課（2）1、利用復(fù)數(shù)概念，將正弦量用相量表示，使正弦交流電路的分析計(jì)算，化為相量分析核心：用相量模型進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算。2、阻抗或?qū)Ъ{雖然不是正弦量，也用復(fù)數(shù)表示，從而歸結(jié)出相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律。以此為依據(jù)，使一切簡(jiǎn)單或復(fù)雜的直流電路的規(guī)律，原理、定理和方法都能適用于交流電路。3、交流電路的分析計(jì)算除了數(shù)值上的問(wèn)題，還有相位問(wèn)題。直流量與交流量區(qū)別。4、R、L、C元件在穩(wěn)態(tài)時(shí)的相量形式為一個(gè)阻抗Z。牢記：L

C1j

CZ

j

L

Z

R(G)

R(G)5、無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)相量模型等效為一個(gè)阻抗或?qū)Ъ{；有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)獨(dú)立電壓源與阻抗串聯(lián)；或一個(gè)獨(dú)立電流源與阻抗并聯(lián)。

I

(i)

j

CL

j

LC

1U

I

時(shí)域模型

對(duì)

換

相量模型U

(u)

練習(xí)1:電路如圖(a)，已知電感電流iL

(t)

2

cos10t

A解：1.作相量模型

j1

jC2L21L1L1

1j

C

10

0.1Z

j

L

j10

0.2

j2

Z

Z

j

L

j10

0.6

j6

1

0

A

1AI

試用相量法求電流i(t),電壓uC(t)和uS(t)。LU

C

U

L

j

L2

I

j2

1

j2V2.

相量分析C

j1

j2

2

A

U

C1jω

C

II

I

I

1

2

1AL

CU

S

RI

j

L1I

U

C

3

(

1)

j6

(

1)

j2

3

j4

5

126.9

VS

u

(t)

5 2

cos(1