第8章立體幾何初步【章頭語】立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支,在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.在小學(xué)和初中,我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些從現(xiàn)實(shí)物體中抽象出來的立體圖形,你能在下圖中找到它們嗎?立體圖形各式各樣、千姿百態(tài),如何認(rèn)識(shí)和把握它們呢?本章我們將從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手,研究它們的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)習(xí)它們的表示方法,了解它們的表面積和體積的計(jì)算方法;借助長(zhǎng)方體,從構(gòu)成立體圖形的基本元素一點(diǎn)、直線、平面入手,研究它們的性質(zhì)以及相互之間的位置關(guān)系,特別是對(duì)直線、平面的平行與垂直的關(guān)系展開研究,從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間幾何體的性質(zhì).立體圖形是由現(xiàn)實(shí)物體抽象而成的.直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算,是認(rèn)識(shí)立體圖形的基本方法.由整體到局部,由局部再到整體,是認(rèn)識(shí)立體圖形的有效途徑.學(xué)習(xí)本章內(nèi)容要注意觀察,并善于想象.8.1基本立體圖形【節(jié)引言】在我們周圍存在著各種各樣的物體,它們都占據(jù)著空間一部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小,而不考慮其因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體(spacegeometry).本節(jié)我們主要從幾何體的組成元素及其相互關(guān)系的角度,認(rèn)識(shí)幾種最基本的空間幾何體.【觀察】如圖8.1-1,這些圖片中的物體具有怎樣的形狀?在日常生活中,我們把這些物體的形狀叫做什么?如何描述它們的形狀?紙杯紙箱腰鼓金字塔茶葉盒水晶螢石奶粉罐籃球和足球儲(chǔ)物箱鉛錘圖8.1-1觀察一個(gè)物體,將它抽象成空間幾何體,并描述它的結(jié)構(gòu)特征,應(yīng)先從整體入手,想象圍成物體的每個(gè)面的形狀、面與面之間的關(guān)系,并注意利用平面圖形的知識(shí).在圖8.1-1中,可以發(fā)現(xiàn)紙箱、金字塔、茶葉盒、水晶螢石、儲(chǔ)物箱等物體有相同的特點(diǎn):圍成它們的每個(gè)面都是平面圖形,并且都是平面多邊形;紙杯、腰鼓、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體也有相同的特點(diǎn):圍成它們的面不全是平面圖形,有些面是曲面.一般地,由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(polyhedron)(圖8.1-2).圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,如面ABE,面BAF;兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,如棱AE,棱EC;棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn),如頂點(diǎn)E,頂點(diǎn)C.圖8.1-1中的紙箱、金字塔、茶葉盒、儲(chǔ)物箱等物體都具有多面體的形狀.【貼示】在空間幾何體中說某個(gè)面是多邊形,一般也包括這個(gè)多邊形內(nèi)部的平面部分.圖8.1-2圖8.1-3一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體(rotatingsolid).這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.圖8.1-3中的旋轉(zhuǎn)體就是由平面曲線OAA'O下面,我們從多面體和旋轉(zhuǎn)體組成元素的形狀、位置關(guān)系入手,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一些特殊的多面體和旋轉(zhuǎn)體.1.棱柱【觀察】觀察圖8.1-4中的長(zhǎng)方體,它的每個(gè)面是什么樣的多邊形?不同的面之間有什么位置關(guān)系?圖8.1-4可以發(fā)現(xiàn),長(zhǎng)方體的每個(gè)面都是平行四邊形(矩形),并且相對(duì)的兩個(gè)面,如面ABCD和面A'如圖8.1-5,一般地,有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱(prism).圖8.1-1中的茶葉盒所表示的多面體就是棱柱.在棱柱中,兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,它們是全等的多邊形;其余各面叫做棱柱的側(cè)面,它們都是平行四邊形;相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).圖8.1-5棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示,如圖8.1-5中的棱柱記作棱柱ABCDEFA'B'C在圖8.1-4中的長(zhǎng)方體中,側(cè)棱和底面給我們以垂直的形象,如同教室里相鄰墻面的交線和地面的關(guān)系一樣.一般地,我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(圖8.1-6(1)(3)),側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(圖8.1-6(2)(4)).底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱(圖8.1-6(3)).底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體(圖8.1-6(4)).(2)(3)(4)圖8.1-62.棱錐像圖8.1-1中金字塔這樣的多面體,均由平面圖形圍成,其中一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形,并且這些三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn).如圖8.1-7,一般地,有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐(pyramid).這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面;有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面;相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱;各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).圖8.1-7棱錐用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母來表示,如圖8.1-7中的棱錐記作棱錐S?ABCD.棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形??,我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐??,其中三棱錐又叫四面體.底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱3.棱臺(tái)如圖8.1-8,用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)(frustumofapyramid).圖8.1-1中的儲(chǔ)物箱就給我們以棱臺(tái)的形象.在棱臺(tái)中,原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面.類似于棱柱、棱錐,棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn).【思考】請(qǐng)你仿照棱錐中側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)的定義，給出棱臺(tái)側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)的定義，并在圖8.1-8中標(biāo)出它們.圖8.1-8棱臺(tái)用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示,如圖8.1-8中的棱臺(tái)記作棱臺(tái)ABCD?A'B'C'D'例1將下列各類幾何體之間的關(guān)系用Venn圖表示出來:多面體,長(zhǎng)方體,棱柱,棱錐,棱臺(tái),直棱柱,四面體,平行六面體.解:如圖8.1-9所示.圖8.1-9【練習(xí)】1.觀察圖中的物體,說出它們的主要結(jié)構(gòu)特征.(2)(3)(4)(第1題)2.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)長(zhǎng)方體是四棱柱,直四棱柱是長(zhǎng)方體.()(2)四棱柱、四棱臺(tái)、五棱錐都是六面體.()3.填空題(1)一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成,其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形,其他各面都是全等的矩形,則這個(gè)幾何體是__________.(2)一個(gè)多面體最少有__________個(gè)面,此時(shí)這個(gè)多面體是__________.4.設(shè)計(jì)一個(gè)平面圖形,使它能折成一個(gè)直三棱柱.4.圓柱如圖8.1-10,以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱(circularcylinder).旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面;平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面;無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.圖8.1-10在生活中,許多物體和容器都是圓柱形的,如圖8.1-1中的奶粉罐.圓柱用表示它的軸的字母表示,如圖8.1-10中的圓柱記作圓柱O'5.圓錐與圓柱一樣,圓錐也可以看作是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的.如圖8.1-11,以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐(circularcone).圖8.1-1中的鉛錘就是圓錐形物體.圓錐也有軸、底面、側(cè)面和母線.圖8.1-11圓錐也用表示它的軸的字母表示,如圖8.1-11中的圓錐記作圓錐SO.【邊空思考】請(qǐng)你仿照?qǐng)A柱中軸、底面、側(cè)面、母線的定義,給出圓錐的軸、底面、側(cè)面、母線的定義,并在圖8.1-11中標(biāo)出它們.6.圓臺(tái)如圖8.1-12,與棱臺(tái)類似,用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)(frustumofacone).圖8.1-1中的紙杯就是具有圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的物體.圖8.1-12與圓柱和圓錐一樣,圓臺(tái)也有軸、底面、側(cè)面、母線(請(qǐng)你在圖8.1-12中標(biāo)出它們).圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示,如圖8.1-12中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O'【探究】圓柱可以由矩形旋轉(zhuǎn)得到,圓錐可以由直角三角形旋轉(zhuǎn)得到.圓臺(tái)是否也可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到?如果可以,由什么平面圖形旋轉(zhuǎn)得到?如何旋轉(zhuǎn)?7.球如圖8.1-13,半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體(solidsphere),簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球心;連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑;連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.球常用表示球心的字母來表示,如圖8.1-13中的球記作球O.圖8.1-13棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球是常見的簡(jiǎn)單幾何體.其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體,棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體,棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.【探究】棱柱、棱錐與棱臺(tái)都是多面體,它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí),它們能否互相轉(zhuǎn)化?圓柱、圓錐與圓臺(tái)呢?8.簡(jiǎn)單組合體現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體,除柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡(jiǎn)單幾何體外,還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的,這些幾何體稱作簡(jiǎn)單組合體.(2)(3)(4)圖8.1-14簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成,如圖8.1-14(1)(2)中物體表示的幾何體;一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成,如圖8.1-14(3)(4)中的幾何體.現(xiàn)實(shí)世界中的物體大多是由具有柱體、錐體、臺(tái)體、球等結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.【邊空思考】請(qǐng)你說一說圖8.1-14中各幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的.例2如圖8.1-15(1),以直角梯形ABCD的下底AB所在直線為軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體.說出這個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解:幾何體如圖8.1-15(2)所示,其中DE⊥AB,垂足為(2)圖8.1-15這個(gè)幾何體是由圓柱BE和圓錐AE組合而成的.其中圓柱BE的底面分別是⊙B和⊙E,側(cè)面是由梯形的上底CD繞軸AB旋轉(zhuǎn)形成的;圓錐AE的底面是⊙E,側(cè)面是由梯形的邊AD【練習(xí)】1.觀察圖中的物體,說出它們的主要結(jié)構(gòu)特征.(2)(3)(4)(第1題)2.說出圖中物體的主要結(jié)構(gòu)特征.(2)(第2題)(第3題)3.如圖,以三角形ABC的一邊AB所在直線為軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體.說出這個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.4.觀察我們周圍的物體,說出這些物體所表示的幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征.習(xí)題8.1【復(fù)習(xí)鞏固】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B(第1題)2.如圖,下列幾何體中為棱柱的是(填寫序號(hào)).(2)(3)(4)(5)(6)(7)(第2題)3.如圖,汽車內(nèi)胎可以由下面某個(gè)圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成,這個(gè)圖形是().(B)(C)(D)(第3題)4.如圖,判斷下列幾何體是不是臺(tái)體,并說明為什么.(2)(3)(第4題)5.如圖,說出圖中兩個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征.(2)(第5題)【綜合運(yùn)用】6.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面.(2)平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形.(3)有一個(gè)面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐.(4)正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.7.如圖,右邊長(zhǎng)方體中由左邊的平面圖形圍成的是().(C)(B)(第7題)8.如圖,長(zhǎng)方體ABCD?A'(第8題)(第9題)9.如圖,以?ABCD的一邊AB所在直線為軸,其他三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體.畫出這個(gè)幾何體的圖形,并說出其中的簡(jiǎn)單幾何體及有關(guān)的結(jié)構(gòu)特征.【拓展探索】10.下列命題是否正確?若正確,請(qǐng)說明理由;若錯(cuò)誤,請(qǐng)舉出反例.(1)有兩個(gè)面平行,其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱;(2)有兩個(gè)面平行且相似,其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái).8.2立體圖形的直觀圖【節(jié)引言】前面我們認(rèn)識(shí)了柱體、錐體、臺(tái)體、球以及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.為了將這些空間幾何體畫在紙上,用平面圖形表示出來,使我們能夠根據(jù)平面圖形想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu),這就需要學(xué)習(xí)直觀圖的有關(guān)知識(shí).直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空問幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖,實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合,用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.因此,直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.在立體幾何中,立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.要畫立體圖形的直觀圖,首先要學(xué)會(huì)畫水平放置的平面圖形.【觀察】如圖8.2-1,矩形窗戶在陽(yáng)光照射下留在地面上的影子是什么形狀?眺望遠(yuǎn)處成塊的農(nóng)田,矩形的農(nóng)田在我們眼里又是什么形狀?圖8.2-1在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過投影.一個(gè)物體的投影,不僅與這個(gè)物體的形狀有關(guān),而且還與投影的方式和物體與投影面的位置關(guān)系有關(guān).如果一個(gè)矩形垂直于投影面,投影線不垂直于投影面,則矩形的平行投影是一個(gè)平行四邊形(圖8.2-2).圖8.2-2利用平行投影,人們獲得了畫直觀圖的斜二測(cè)畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖,其步驟是:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',且使∠(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.對(duì)于平面多邊形,我們常用斜二測(cè)畫法畫它們的直觀圖.如圖8.2-3,?A'B'C'D'就是利用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的正方形圖8.2-3例1用斜二測(cè)畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.畫法:(1)如圖8.2-4(1),在正六邊形ABCDEF中,取AD所在直線為x軸,AD的垂直平分線MN為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.在圖8.2-4(2)中,畫相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O'(2)(3)圖8.2-4(2)在圖8.2-4(2)中,以O(shè)'為中點(diǎn),在x'軸上取A'D'=AD,在y'軸上取M'N'=12MN.以點(diǎn)N(3)連接A'B',C'D',【邊空思考】在利用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的過程中,x軸和y軸起到了什么作用?畫直觀圖時(shí),除多邊形外,還經(jīng)常會(huì)遇到畫圓的直觀圖的問題.生活的經(jīng)驗(yàn)告訴我們,水平放置的圓看起來非常像橢圓,因此我們一般用橢圓作為圓的直觀圖.實(shí)際畫圖時(shí)常用如圖8.2-5所示的橢圓模板.圖8.2-5【貼示】在立體幾何中,常用正等測(cè)畫法畫水平放置的圓.【練習(xí)】1.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),下列結(jié)論是否正確?正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×".(1)相等的線段在直觀圖中仍然相等.()(2)平行的線段在直觀圖中仍然平行.()(3)一個(gè)角的直觀圖仍是一個(gè)角.()(4)相等的角在直觀圖中仍然相等.()2.用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖(尺寸自定).(1)矩形;(2)平行四邊形;(3)正三角形;(4)正五邊形.畫幾何體的直觀圖時(shí),與畫平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸,并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變.下面介紹幾種簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖的畫法.例2已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3cm,2cm,1.5cm,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.分析:畫棱柱的直觀圖,通常將其底面水平放置.利用斜二測(cè)畫法畫出底面,再畫出側(cè)棱,就可以得到棱柱的直觀圖.長(zhǎng)方體是一種特殊的棱柱,為畫圖簡(jiǎn)便,可取經(jīng)過長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所在直線作為x軸、y軸、z軸.畫法:(1)畫軸.如圖8.2-6,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O(A)(2)畫底面.在x軸正半軸上取線段AB,使AB=3cm;在y軸正半軸上取線段AD,使AD=1cm.過點(diǎn)B作y軸的平行線,過點(diǎn)D作x軸的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)為C,則?ABCD就是長(zhǎng)方體的底面圖8.2-6(3)畫側(cè)棱.在z軸正半軸上取線段AA',使AA'=1.5cm,過B,C(4)成圖.順次連接A'【貼示】畫幾何體的直觀圖時(shí),如果不作嚴(yán)格要求,圖形尺寸可以適當(dāng)選取.用斜二測(cè)畫法畫圖的角度也可以自定,但要求圖形具有一定的立體感.例3已知圓柱的底面半徑為1cm,側(cè)面母線長(zhǎng)3cm,畫出它的直觀圖.解:(1)畫軸.如圖8.2-7,畫x軸、z軸,使∠xOz圖8.2-7(2)畫下底面.以O(shè)為中點(diǎn),在x軸上取線段AB,使OA=OB=1cm(3)畫上底面.在Oz上截取點(diǎn)O',使OO'=3cm,過點(diǎn)O'(4)成圖.連接AA對(duì)于圓錐的直觀圖,一般先畫圓錐的底面,再借助于圓錐的軸確定圓錐的頂點(diǎn),最后畫出兩側(cè)的兩條母線(圖8.2-8).圖8.2-8圖8.2-9畫球的直觀圖,一般需要畫出球的輪廓線,它是一個(gè)圓.同時(shí)還經(jīng)常畫出經(jīng)過球心的截面圓,它們的直觀圖是橢圓,用以襯托球的立體性(圖8.2-9).例4某簡(jiǎn)單組合體由上下兩部分組成,下部是一個(gè)圓柱,上部是一個(gè)圓錐,圓錐的底面與圓柱的上底面重合.畫出這個(gè)組合體的直觀圖.分析:畫組合體的直觀圖,先要分析它的結(jié)構(gòu)特征,知道其中有哪些簡(jiǎn)單幾何體以及它們的組合方式,然后再畫直觀圖.本題中沒有尺寸要求,畫圖時(shí)只需選擇合適的大小,表達(dá)出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征就可以了.畫法:如圖8.2-10,先畫出圓柱的上下底面,再在圓柱和圓錐共同的軸線上確定圓錐的頂點(diǎn),最后畫出圓柱和圓錐的母線,并標(biāo)注相關(guān)字母,就得到組合體的直觀圖.圖8.2-10【練習(xí)】1.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體的直觀圖.2.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)正六棱柱的直觀圖.3.一個(gè)簡(jiǎn)單組合體由上下兩部分組成,下部是一個(gè)圓柱,上部是一個(gè)半球,并且半球的球心就是圓柱的上底面圓心.畫出這個(gè)組合體的直觀圖.習(xí)題8.2【復(fù)習(xí)鞏固】1.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),下列結(jié)論是否正確?正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×"".(1)三角形的直觀圖是三角形.()(2)平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.()(3)正方形的直觀圖是正方形.()(4)菱形的直觀圖是菱形.()2.用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的等腰直角三角形的直觀圖:(1)直角邊橫向;(2)斜邊橫向.3.用斜二測(cè)畫法畫出底面邊長(zhǎng)為2cm,側(cè)棱長(zhǎng)為3cm的正三棱柱的直觀圖.4.畫底面半徑為1cm,母線長(zhǎng)為3cm的圓柱的直觀圖.【綜合運(yùn)用】5.一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為4cm,一內(nèi)角為60°6.已知一個(gè)圓錐由等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)形成,畫出這個(gè)圓錐的直觀圖.7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,畫出這個(gè)幾何體的直觀圖.正視圖側(cè)視圖俯視圖【拓廣探究】8.畫出你所在學(xué)校的一些建筑物的直觀圖(尺寸自定).(第7題)【閱讀與思考】畫法幾何與蒙日畫法幾何就是在平面上繪制空間圖形,并在平面圖上表達(dá)出空間原物體各部分的大小、位置以及相互關(guān)系的一門學(xué)科.它在繪畫、建筑等方面有著廣泛的應(yīng)用.畫法幾何起源于歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫和建筑技術(shù).意大利藝術(shù)家萊奧納多·達(dá)·芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)在他的繪畫作品中已經(jīng)廣泛地運(yùn)用了透視理論,主要是中心投影.法國(guó)數(shù)學(xué)家德薩格(GérardDesargues,1593-1662)在他的“透視法”中給出了空間幾何體透視像的畫法,以及如何從平面圖中正確地計(jì)算出幾何體的尺寸大小的方法,主要是運(yùn)用正投影.后來法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日經(jīng)討深入研究,在1799年出版了《畫法幾何學(xué)》一書.在該書中,蒙日第一次詳細(xì)闡述了怎樣把空間(三維)物體投影到兩個(gè)互相垂直的平面上,并根據(jù)投影原理(這種原理后來發(fā)展成射影幾何學(xué))推斷出該空間物體的幾何性質(zhì).蒙日的《畫法幾何學(xué)》不論是在概念上,還是在方法上都有深遠(yuǎn)的影響.這種方法對(duì)于建筑學(xué)、軍事學(xué)、機(jī)械制圖等方面都有極大的實(shí)用價(jià)值,從此畫法幾何就成為一門獨(dú)立的幾何分支學(xué)科.蒙日成為畫法幾何的創(chuàng)始人.蒙日生長(zhǎng)在法國(guó)大革命時(shí)代,他出生于法國(guó)東部博衲的一個(gè)小商人家庭.16歲時(shí),因?yàn)槭炀毜匾员壤呃L出家鄉(xiāng)的地圖,他被梅濟(jì)耶爾軍事學(xué)院聘為繪圖員.1768年,蒙日開始在梅濟(jì)耶爾軍事學(xué)院教授物理和數(shù)學(xué),那時(shí)他只有22歲.1780年,他被選為巴黎科學(xué)院通訊院士.1783年,他遷居巴黎后,積極投身巴黎的公共事務(wù),曾任度量衡委員會(huì)的委員、海軍與殖民部長(zhǎng),并參與創(chuàng)辦了巴黎綜合工科學(xué)校和法蘭西國(guó)家研究院.為了從數(shù)據(jù)中求出要塞中炮兵陣地的位置,蒙日用幾何方法避開了麻煩的計(jì)算.他用二維平面上的適當(dāng)投影來表達(dá)三維物體的聰明方法,在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,并導(dǎo)致畫法幾何的產(chǎn)生.法國(guó)大革命前后,由于軍事建筑上的迫切需要,蒙日的畫法幾何方法被列為軍事秘密,所以很久末能公之于世.直到當(dāng)時(shí)的軍事約束解除后,蒙日才公布了他的研究成果,這已是他建立畫法幾何之后30年的事了.8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積【節(jié)引言】前面我們分別認(rèn)識(shí)了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征和平面表示,本節(jié)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積.表面積是幾何體表面的面積,它表示幾何體表面的大小,體積是幾何體所占空間的大小.8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.例1如圖8.3-1,四面體P?ABC的各棱長(zhǎng)均為分析:因?yàn)樗拿骟wP?解:因?yàn)椤鱌BC是正三角形,其邊長(zhǎng)為a,所以S圖8.3-1因此,四面體P?S2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積我們以前已經(jīng)學(xué)習(xí)了特殊的棱柱一一正方體、長(zhǎng)方體的體積公式,它們分別是V正方體=aV長(zhǎng)方體=abc一般地,如果棱柱的底面積是S,高是?,那么這個(gè)棱柱的體積V【貼示】棱柱的高是指兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線,這點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐的底面積相等,高也相等,那么,棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.因此,一般地,如果棱錐的底面面積為S,高為?,那么該棱錐的體積V【貼示】棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離.由于棱臺(tái)是由棱錐截成的,因此可以利用兩個(gè)棱錐的體積差,得到棱臺(tái)的體積公式V其中S',S【貼示】棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離,即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線,這點(diǎn)與垂足之間的距離.【思考】觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式V它們之間有什么關(guān)系?你能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎?例2如圖8.3-2,一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體,下面部分是一個(gè)四棱錐,兩部分的高都是0.5m,公共面ABCD是邊長(zhǎng)為1m的正方形,那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3圖8.3-2分析：漏斗由兩個(gè)多面體組成,其容積就是兩個(gè)多面體的體積和.解：由題意知V所以這個(gè)漏斗的容積V【練習(xí)】1.正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2cm和6cm,側(cè)棱長(zhǎng)是5cm,求它的表面積.2.如圖是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)是4cm的立方體,將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為1cm的小立方體.(1)共得到多少個(gè)棱長(zhǎng)是1cm的小立方體?(2)三面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(3)兩面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(4)一面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(5)六個(gè)面均沒有顏色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?它們占有多少立方厘米的空間?(第2題)(第3題)3.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息,這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長(zhǎng)是50cm,那么石凳的體積是多少?4.求證:直三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面的面積和大于第三個(gè)側(cè)面的面積.8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積與多面體的表面積一樣,圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積也是圍成它的各個(gè)面的面積和.利用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開圖(圖8.3-3),可以得到它們的表面積公式:S圖8.3-3【思考】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式之間有什么關(guān)系?你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎?我們以前學(xué)習(xí)過圓柱、圓錐的體積公式,即V由于圓臺(tái)是由圓錐截成的,因此可以利用圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺(tái)的體積公式V【思考】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式之間有什么關(guān)系?結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式,你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式嗎?柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系?【歸納】V柱體=S?(SV錐體=1V臺(tái)體=13S當(dāng)S'=S2.球的表面積和體積設(shè)球的半徑為R,它的表面積只與半徑R有關(guān),是以R為自變量的函數(shù).事實(shí)上,如果球的半徑為R,那么它的表面積是S例3如圖8.3-4,某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成,半球的直徑是0.3m,圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)解:一個(gè)浮標(biāo)的表面積為2所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).圖8.3-4【思考】在小學(xué),我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式,你還記得是如何求得的嗎?類比這種方法,你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式嗎?類比利用圓周長(zhǎng)求圓面積的方法,我們可以利用球的表面積求球的體積.如圖8.3-5,把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格,連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個(gè)球體就被分割成n個(gè)“小錐體".圖8.3-5當(dāng)n越大,每個(gè)小網(wǎng)格越小時(shí),每個(gè)“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐,其高越近似于球半徑R.設(shè)O?ABCD是其中一個(gè)“小V由于球的體積就是這n個(gè)“小錐體”的體積之和,而這n個(gè)“小錐體”的底面積之和就是球的表面積.因此,球的體積V由此,我們得到球的體積公式V例4如圖8.3-6,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,求球與圓柱的體積之比.解：設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R∵V∴V圖8.3-6【節(jié)小結(jié)】本節(jié)我們學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積與體積的計(jì)算方法.在生產(chǎn)、生活中遇到的物體,往往形狀比較復(fù)雜,但很多物體都可以看作是由這些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的,它們的表面積與體積可以利用這些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積來計(jì)算.【練習(xí)】1.已知圓錐的表面積為am2,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,求這個(gè)圓2.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí),其體積和表面積的數(shù)值相等?3.將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件,求可能制作的最大零件的體積.4.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是80cm,60cm,55cm的水槽中裝有200000cm3的水,現(xiàn)放入一個(gè)直徑為習(xí)題8.3【復(fù)習(xí)鞏固】1.如圖,八面體的每一個(gè)面都是正三角形,并且4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,(第1題)(第2題)2.如圖,將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐,求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.3.如圖,一個(gè)三棱柱形容器中盛有水,側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1(第3題)(第4題)4.如圖,圓錐PO的底面直徑和高均是a,過PO的中點(diǎn)O'5.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是acm【綜合運(yùn)用】6.如圖是一個(gè)煙筒的直觀圖(圖中數(shù)據(jù)的單位為厘米),它的下部是一個(gè)正四棱臺(tái)形物體,上部是一個(gè)正四棱柱形物體(底面與四棱臺(tái)形物體的上底面重合).為防止雨水的侵蝕,同時(shí)使煙筒更美觀,現(xiàn)要在煙筒外部粘貼瓷磚,請(qǐng)你計(jì)算需要多少平方厘米的瓷磚?(結(jié)果精確到1cm(第6題)(第7題)7.有一堆規(guī)格相同的鐵制(鐵的密度是7.9×103kg/m3)六角螺母共重5.8kg.如圖,每一個(gè)螺母的底面是正六邊形,邊長(zhǎng)為12mm,內(nèi)孔直徑為10mm8.分別以一個(gè)直角三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體.這3個(gè)幾何體的體積之間有什么關(guān)系?【拓廣探索】9.如下頁(yè)圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積.(可用計(jì)算工具,尺寸如圖,單位:cm,π取3.14(第9題)【探究與發(fā)現(xiàn)】祖暅原理與柱體、錐體的體積一、祖暅原理祖暅(gèng)(5世紀(jì)一6世紀(jì))，字景爍,祖沖之之子，范陽(yáng)郡遒縣(今河北省淶水縣)人,南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家.祖暅在數(shù)學(xué)上做出了突出貢獻(xiàn),他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上,于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同,則積不容異”.這就是“祖暅原理”.“勢(shì)”即是高,“冪”是面積,祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1,夾在平行平面間的兩個(gè)幾何體(它們的形狀可以不同),被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面(陰影部分)的面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.圖1圖2這個(gè)原理是非常淺顯易懂的.例如，取一摞紙堆放在桌面上組成一個(gè)幾何體(圖2),使它傾斜一個(gè)角度,這時(shí)幾何體的形狀發(fā)生了改變,得到了另一個(gè)幾何體,但兩個(gè)幾何體的高度沒有改變,每頁(yè)紙的面積也沒有改變,因而兩個(gè)幾何體的體積相等.利用這個(gè)原理和長(zhǎng)方體體積公式,我們能夠求出柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積.祖暅給出上面的原理,要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年.在歐洲直到17世紀(jì),意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)才給出上述結(jié)論.二、柱體、錐體的體積下面我們用祖暅原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式.設(shè)有底面積都等于S,高都等于?的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,使它們的下底面在同一平面內(nèi)(圖3).根據(jù)祖暅原理,可知它們的體積相等.由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘高,于是我們得到柱體的體積公式V柱體=S?.其中圖3設(shè)有底面積都等于S,高都等于?的兩個(gè)錐體(例如一個(gè)棱錐和一個(gè)圓錐),使它們的底面在同一平面內(nèi)(圖4).根據(jù)祖暅原理,可推導(dǎo)出它們的體積相等.這就是說,等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等.圖4圖5如圖5,設(shè)三棱柱ABC?A'B'C'的底面積(即△ABC的面積)為S,高(即點(diǎn)A'到平面ABC的距離)為?,則它的體積為S?.沿平面A'BC和平面A'B'C如果三棱錐A'?ABC(即三棱錐1)以△ABC為底,那么它的底面積是S,高是?,而它的體積是事實(shí)上,對(duì)于一個(gè)任意的錐體,設(shè)它的底面積為S,高為?,那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為S,高為?的三棱錐的體積,即這個(gè)錐體的體積為V這就是錐體的體積公式.柱體和錐體是兩種基本幾何體,它們的體積公式有著廣泛的應(yīng)用.8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【節(jié)引言】前面我們初步認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體的組成元素,知道了頂點(diǎn)、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素.我們以直觀感知的方式認(rèn)識(shí)了這些基本元素之間的相互關(guān)系,從而得到了多面體的一些結(jié)構(gòu)特征.為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形的結(jié)構(gòu)特征,需要對(duì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究.本節(jié)我們先研究平面及其基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上,研究空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.8.4.1.平面在初中,我們已經(jīng)對(duì)點(diǎn)和直線有了一定的認(rèn)識(shí),知道它們都是由現(xiàn)實(shí)事物抽象得到的.生活中也有一些物體給我們以平面的直觀感覺,如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸,平面是向四周無限延展的.與畫出直線的一部分來表示直線一樣,我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.如圖8.4-1,當(dāng)平面水平放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫成橫向;當(dāng)平面豎直放置時(shí),常把平行四邊形的一邊畫成豎向.圖8.4-1我們常用希臘字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi);也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱.如圖8.4-1中的平面α,也可以表示為平面ABCD、平面下面,我們來研究平面的基本性質(zhì).【思考】我們知道,兩點(diǎn)可以確定一條直線,那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面?圖8.4-2在日常生活中,我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象:自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪著地就可以“站穩(wěn)”,三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī)(圖8.4-2).由這些事實(shí)和類似經(jīng)驗(yàn),可以得到下面的基本事實(shí):基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(圖8.4-3).圖8.4-3基本事實(shí)1給出了確定一個(gè)平面的依據(jù).它也可以簡(jiǎn)單說成“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C所確定的平面,可以記成平面直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn),平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn),直線、平面都可以看成是點(diǎn)的集合.點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l;點(diǎn)B在直線l外,記作B?l;點(diǎn)A在平面α內(nèi),記作A∈α;點(diǎn)【思考】如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P,直線l是否在平面α內(nèi)?如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢?在實(shí)際生活中,我們有這樣的經(jīng)驗(yàn):如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上,那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上.上述經(jīng)驗(yàn)和類似的事實(shí)可以歸納為以下基本事實(shí):基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)(圖8.4-4).圖8.4-4利用基本事實(shí)2,可以判斷直線是否在平面內(nèi).平面內(nèi)有無數(shù)條直線,平面可以看成是直線的集合.如果直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi),就說直線l在平面α內(nèi),記作l?α;否則,就說直線l不在平面α內(nèi),記作基本事實(shí)2也可以用符號(hào)表示為A基本事實(shí)2表明,可以用直線的“直”刻畫平面的“平”,用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.如圖8.4-5,由基本事實(shí)1,給定不共線三點(diǎn)A,B,C,它們可以確定一個(gè)平面ABC;連接AB,BC,圖8.4-5【貼示】利用信息技術(shù)工具,可以方便地作出這個(gè)圖形,觀察“直線網(wǎng)”的形成和編織成平面的過程,想象直線和平面的關(guān)系.【思考】如圖8.4-6,把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B?為什么?圖8.4-6想象三角尺所在的無限延展的平面,用它去“穿透”課桌面.可以想象,兩個(gè)平面相交于一條直線.教室里相鄰的墻面在地面的墻角處有一個(gè)公共點(diǎn),這兩個(gè)墻面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線.由此我們又得到一個(gè)基本事實(shí):基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線(圖8.4-7).圖8.4-7【貼示】如無特殊說明,本章中的兩個(gè)平面均指兩個(gè)不重合的平面.基本事實(shí)3告訴我們,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面一定相交于過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí),使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的“平”和“無限延展”.平面α與β相交于直線l,記作α∩P在畫兩個(gè)相交平面時(shí),如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住,通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫,這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些(圖8.4-8).圖8.4-8上述三個(gè)關(guān)于平面的基本事實(shí)是人們經(jīng)過長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來的,是幾何推理的基本依據(jù),也是我們進(jìn)一步研究立體圖形的基礎(chǔ).利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”,可以得到下面三個(gè)推論(圖8.4-9):推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.(2)(3)圖8.4-9事實(shí)上,如圖8.4-9(1),設(shè)點(diǎn)A是直線a外一點(diǎn),在直線a上任取兩點(diǎn)B和C,則由基本事實(shí)1,經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α.再由基本事實(shí)2,直線a也在平面α內(nèi),因此平面α經(jīng)過直線a和點(diǎn)【邊空思考】用類似的方法,你能說明推論2和推論3成立嗎?推論1~3給我們提供了確定一個(gè)平面的另外幾種方法.如圖8.4-10,用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對(duì)角拉直,如果這兩根細(xì)繩相交,說明桌子四條腿的底端在同一個(gè)平面內(nèi),否則就不在同一個(gè)平面內(nèi),其依據(jù)就是推論2.圖8.4-10【貼示】不共線的三點(diǎn),一條直線和這條直線外一點(diǎn),兩條相交直線,兩條平行直線,都能唯一確定一個(gè)平面.這些結(jié)論在后續(xù)研究直線和平面之間平行、垂直關(guān)系時(shí),也會(huì)經(jīng)常用到.【練習(xí)】1.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)書桌面是平面.()(2)平面α與平面β相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合.()2.下列命題正確的是().(A)三點(diǎn)確定一個(gè)平面(B)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面(C)圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面(D)梯形可確定一個(gè)平面3.不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?請(qǐng)畫出圖形說明你的結(jié)論.4.用符號(hào)表示下列語句,并畫出相應(yīng)的圖形:(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α外;(2)直線a既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【節(jié)引言】前面我們認(rèn)識(shí)了空間中點(diǎn)、直線、平面之間的一些位置關(guān)系,如點(diǎn)在平面內(nèi),直線在平面內(nèi)，兩個(gè)平面相交，等等.空間中點(diǎn)、直線、平面之間還有其他位置關(guān)系嗎?長(zhǎng)方體是我們熟悉的空間幾何圖形,下面我們借助長(zhǎng)方體進(jìn)一步研究空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.【觀察】我們知道,長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn),12條棱,6個(gè)面.12條棱對(duì)應(yīng)12條棱所在的直線,6個(gè)面對(duì)應(yīng)6個(gè)面所在的平面.觀察如圖8.4-11所示的長(zhǎng)方體ABCD?觀察你所在的教室,你能找到上述位置關(guān)系的一些實(shí)例嗎?你能再舉出一些表示這些位置關(guān)系的其他實(shí)例嗎?圖8.4-11空間中點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種:點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外.如圖8.4-11中,點(diǎn)A在直線AB上,在直線A'B'外.空間中點(diǎn)與平面的位置關(guān)系也有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.如圖8.4-11中,點(diǎn)A在平面ABCD下面我們研究空間中直線、平面之間的位置關(guān)系.1.空間中直線與直線的位置關(guān)系在圖8.4-11中,直線AB與DC在同一個(gè)平面ABCD內(nèi),它們沒有公共點(diǎn),它們是平行直線;直線AB與BC也在同一個(gè)平面ABCD內(nèi),它們只有一個(gè)公共點(diǎn)B,它們是相交直線;直線AB與CC我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線(skewlines).于是,空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:這樣,空間中兩條直線平行和我們學(xué)過的平面上兩條直線平行的意義是一致的,即首先這兩條直線在同一平面內(nèi),其次是它們不相交.如果直線a,圖8.4-122.空間中直線與平面的位置關(guān)系在圖8.4-11中,直線AB與平面ABCD有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);直線AA'與平面ABCD只有一個(gè)公共點(diǎn)A;直線A'(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)直線與平面平行一一沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線與平面相交或平行時(shí),直線不在平面內(nèi),也稱為直線在平面外.圖8.4-13表示了直線與平面的三種位置關(guān)系.圖8.4-13【貼示】一般地,直線a在平面α內(nèi),應(yīng)把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內(nèi);直線a在平面α外,應(yīng)把直線a或它的一部分畫在表示平面α的平行四邊形外.直線a與平面α相交于點(diǎn)A,記作a?α=A;直線a與平面3.空間中平面與平面的位置關(guān)系在圖8.4-11中,平面ABCD與平面A'B'C'D'(1)兩個(gè)平面平行一一沒有公共點(diǎn);(2)兩個(gè)平面相交一一有一條公共直線.畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí),要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行(圖8.4-14).圖8.4-14平面α與平面β平行,記作α//【探究】如圖8.4-15,在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'與其他同學(xué)交流一下你的結(jié)果.圖8.4-15例1如圖8.4-16,用符號(hào)表示下列圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系.(1)(2)圖8.4-16分析:根據(jù)圖形,先判斷直線、平面之間的位置關(guān)系,然后用符號(hào)表示出來.解:在(1)中,α∩在(2)中,α∩例2如圖8.4-17,AB∩α=B,圖8.4-17解:直線AB與a是異面直線.理由如下.若直線AB與直線a不是異面直線,則它們相交或平行.設(shè)它們確定的平面為β,則B∈β,a?β.由于經(jīng)過點(diǎn)B與直線a有且僅有一個(gè)平面α,因此平面α與β重合,從而AB?α,進(jìn)而【貼示】例2告訴我們一種判斷異面直線的方法:與一個(gè)平面相交的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線.【練習(xí)】1.選擇題(1)如果兩條直線a與b沒有公共點(diǎn),那么a與b((A)共面(B)平行(C)是異面直線(D)可能平行,也可能是異面直線(2)設(shè)直線a,b分別是長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線,則a與(A)平行(B)相交(C)是異面直線(D)可能相交,也可能是異面直線2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'中,判定直線AB與AC,直線AC與A(第2題)3.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l//α(2)若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行.()(3)如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.()(4)若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).()4.已知直線a,b,平面α,β,且習(xí)題8.4【復(fù)習(xí)鞏固】1.畫出滿足下列條件的圖形:(1)a?(2)α∩2.選擇題(1)經(jīng)過同一直線上的3個(gè)點(diǎn)的平面().(A)有且僅有1個(gè)(B)有且僅有3個(gè)(C)有無數(shù)個(gè)(D)不存在(2)若直線a不平行于平面α,且a?(A)α內(nèi)的所有直線與a是異面直線(B)α內(nèi)不存在與a平行的直線(C)α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行(D)α內(nèi)的所有直線與a都相交3.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面.()(2)四邊形可以確定一個(gè)平面.()(3)若a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,且a4.填空題(1)如果a,b是異面直線,直線c與a,b都相交,那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有(2)若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行,則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系是__________；(3)已知兩條相交直線a,b,且a//平面α,則b與α的位置關(guān)系是5.正方體各面所在平面將空間分成幾部分?【綜合運(yùn)用】6.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線共面嗎?請(qǐng)說說你的理由.7.如圖,三條直線兩兩平行且不共面,每?jī)蓷l直線確定一個(gè)平面,一共可以確定幾個(gè)平面?如果三條直線相交于一點(diǎn),它們最多可以確定幾個(gè)平面?(第7題)(第8題)8.如圖,△ABC在平面α外,AB∩α【拓廣探索】9.如圖是一個(gè)正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么在AB,CD,(第9題)10.在本節(jié),我們學(xué)習(xí)了平面,了解了它的基本特征以及一些利用點(diǎn)、直線、平面等組成立體圖形的基本元素刻畫這些特征的方法.類似地,直線有什么基本特征?如何刻畫直線的這些基本特征?8.5空間直線、平面的平行【節(jié)引言】在平面幾何的學(xué)習(xí)中,我們研究過兩條直線的位置關(guān)系,重點(diǎn)研究了兩條直線平行,得到了這種特殊位置關(guān)系的性質(zhì),以及判定兩條直線平行的定理.類似地,空間中直線、平面間的平行關(guān)系在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用,也是我們要重點(diǎn)研究的內(nèi)容.本節(jié)我們研究空間中直線、平面的平行關(guān)系,重點(diǎn)研究這些平行關(guān)系的判定和性質(zhì).8.5.1直線與直線平行我們知道,在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線是平行直線,并且當(dāng)兩條直線都與第三條直線平行時(shí),這兩條直線互相平行.在空間中,是否也有類似的結(jié)論?【觀察】如圖8.5-1,在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'觀察你所在的教室,你能找到類似的實(shí)例嗎?圖8.5-1可以發(fā)現(xiàn),DC//A'B'.再觀察我們所在的教室(圖8.5-2),黑板邊所在直線AA'圖8.5-2基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.基本事實(shí)4表明,空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行.它給出了判斷空間兩條直線平行的依據(jù).基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性.例1如圖8.5-3,空間四邊形ABCD中,E,F,G,圖8.5-3分析:要證明四邊形EFGH是平行四邊形,只需證明它的一組對(duì)邊平行且相等.而EH,FG分別是△ABD和△CBD的中位線,從而它們都與BD平行且等于證明：連接BD.∵EH是△∴EH//BD同理FG//BD,且∴EH∴四邊形EFGH為平行四邊形.【邊空思考】在本例中,如果再加上條件AC=BD,那么四邊形【思考】在平面內(nèi),如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).在空間中,這一結(jié)論是否仍然成立呢?與平面中的情況類似,當(dāng)空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行時(shí),這兩個(gè)角有如圖8.5-4所示的兩種位置.(2)圖8.5-4對(duì)于圖8.5-4(1),我們可以構(gòu)造兩個(gè)全等三角形,使∠BAC和∠B'如圖8.5-5,分別在∠BAC和∠B'A'C'的兩邊上截取AD∵AD?A'D∴A同理可證AA∴D∴四邊形DD∴DE∴△∴∠BAC對(duì)于圖8.5-4(2)的情形,請(qǐng)同學(xué)們自己給出證明.這樣,我們就得到了下面的定理:定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).圖8.5-5【練習(xí)】1.如圖,把一張矩形紙片對(duì)折幾次,然后打開,得到的折痕互相平行嗎?為什么?(第1題)(第2題)2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A'3.如圖,AA',BB(第3題)(第4題)4.如圖,在四面體A?BCD中,E,F,G分別為AB,8.5.2直線與平面平行【節(jié)引言】在直線與平面的位置關(guān)系中,平行是一種非常重要的關(guān)系.它不僅應(yīng)用廣泛,而且是學(xué)習(xí)平面與平面平行的基礎(chǔ).怎樣判定直線與平面平行呢?根據(jù)定義,判定直線與平面是否平行,只需判定直線與平面有沒有公共點(diǎn).但是,直線是無限延伸的,平面是無限延展的,如何保證直線與平面沒有公共點(diǎn)呢?【觀察】如圖8.5-6(1),門扇的兩邊是平行的.當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),另一邊與墻面有公共點(diǎn)時(shí)?此時(shí)門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與墻面平行嗎?(2)圖8.5-6如圖8.5-6(2),將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上,把這塊紙板繞邊DC轉(zhuǎn)動(dòng).在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中(AB離開桌面),DC的對(duì)邊AB與桌面有公共點(diǎn)嗎?邊AB與桌面平行嗎?可以發(fā)現(xiàn),無論門扇轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置,因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的一邊與固定的一邊總是平行的,所以它與墻面是平行的,硬紙板的邊AB與DC平行,只要邊DC緊貼著桌面,邊AB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就不可能與桌面有公共點(diǎn),所以它與桌面平行.一般地,我們有直線與平面平行的判定定理:定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.它可以用符號(hào)表示:a這一定理在現(xiàn)實(shí)生活中有許多應(yīng)用.例如,安裝矩形鏡子時(shí),為了使鏡子的上邊框與天花板平行,只需鏡子的上邊框與天花板和墻面的交線平行,就是應(yīng)用了這個(gè)判定定理.你還能舉出其他一些應(yīng)用實(shí)例嗎?【貼示】定理告訴我們,可以通過直線間的平行,得到直線與平面平行.這是處理空間位置關(guān)系的一種常用方法,即將直線與平面的平行關(guān)系(空間問題)轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系(平面問題).例2求證:空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊的平面.已知:如圖8.5-7,空間四邊形ABCD中,E,F分別是求證:EF//平面BCD圖8.5-7證明：連接BD.∵AE∴EF又EF?平面BCD,BD∴EF//平面【貼示】今后要證明一條直線與一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條與此直線平行的直線就可以了.前面,我們利用平面內(nèi)的直線與平面外的直線平行,得到了判定平面外的直線與此平面平行的方法,即得到了一條直線與平面平行的充分條件.反過來,如果一條直線與一個(gè)平面平行,能推出哪些結(jié)論呢?這就是要研究直線與平面平行的性質(zhì),也就是研究直線與平面平行的必要條件.下面我們研究在直線a平行于平面α的條件下,直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系.如圖8.5-8,由定義,如果直線a//平面α,那么a與α無公共點(diǎn),即a與α內(nèi)的任何直線都無公共點(diǎn).這樣,平面α內(nèi)的直線與平面α外的直線a只能是異面或者平行的關(guān)系.那么,在什么條件下,平面α內(nèi)的直線與直線a圖8.5-8假設(shè)a與α內(nèi)的直線b平行,那么由基本事實(shí)的推論3,過直線a,b有唯一的平面β.這樣,我們可以把直線b看成是過直線a的平面β與平面α的交線.于是可得如下結(jié)論:過直線a的平面β與平面α相交于b,則下面,我們來證明這一結(jié)論.如圖8.5-9,已知a//求證:a//圖8.5-9證明:∵α∴b又a//∴a與b又a?∴a這樣,我們就得到了直線與平面平行的性質(zhì)定理:定理一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.直線與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行,這也給出了一種作平行線的方法.例3如圖8.5-10(1)所示的一塊木料中,棱BC平行于面A'(1)要經(jīng)過面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P(2)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系?分析:要經(jīng)過面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開,實(shí)際上是經(jīng)過BC及BC(2)圖8.5-10解:(1)如圖8.5-10(2),在平面A'C'內(nèi),過點(diǎn)P作直線EF,使EF//B'C',并分別交棱(2)因?yàn)槔釨C平行于平面A'C',平面BC'與平面A'C'相交于B'C',所以BC//B'C'.由(1)知,顯然,BE,CF都與平面【練習(xí)】1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?(1)與AB平行的平面是_________；(2)與AA'平行的平面是(3)與AD平行的平面是__________.(第1題)(第2題)2.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D13.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)如果直線a//b,那么a平行于經(jīng)過b(2)如果直線a和平面α滿足a//α,那么a與α(3)如果直線a,b和平面α滿足a//α(4)如果直線a,b和平面α滿足a//b4.如圖,α∩β=(第4題)8.5.3平面與平面平行【節(jié)引言】我們首先討論平面與平面平行的判定問題.類似于研究直線與平面平行的判定,我們自然想到要把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題.根據(jù)平面與平面平行的定義,可以發(fā)現(xiàn),因?yàn)閮蓚€(gè)平行平面沒有公共點(diǎn),所以一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面沒有公共點(diǎn).也就是說,如果兩個(gè)平面平行,那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行.因?yàn)檫@個(gè)定義給出了兩個(gè)平面平行的充要條件,所以可以想到,如果一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面一定平行.【思考】如何判定一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面呢?有沒有更簡(jiǎn)便的方法?【探究】根據(jù)基本事實(shí)的推論2,3,過兩條平行直線或兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.由此可以想到,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行或相交的直線都與另一個(gè)平面平行,是否就能使這兩個(gè)平面平行?我們可以借助以下兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行觀察.如圖8.5-11(1),a和b分別是矩形硬紙片的兩條對(duì)邊所在直線,它們都和桌面平行,那么硬紙片和桌面平行嗎?如圖8.5-11(2),c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線,它們都和桌面平行,那么三角尺和杲面平行嗎?(1)c(2)圖8.5-11如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行,這兩個(gè)平面不一定平行.我們借助長(zhǎng)方體模型來說明.如圖8.5-12,在平面A'ADD'內(nèi)畫一條與A'A平行的直線EF,顯然A'A與圖8.5-12圖8.5-13如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,這兩個(gè)平面是平行的.如圖8.5-13的長(zhǎng)方體模型中,平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC,BD分別與平面A'B'C'D'內(nèi)兩條相交直線A兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個(gè)平面.為什么可以利用兩條相交直線判定兩個(gè)平面平行,而不能利用兩條平行直線呢?你能從向量的角度解釋嗎?一般地,我們有如下平面與平面平行的判定定理(圖8.5-14):定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.它可以用符號(hào)表示為a圖8.5-14圖8.5-15這個(gè)定理告訴我們,可以由直線與平面平行判定平面與平面平行.如圖8.5-15,工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次,如果水平儀的氣泡兩次都在中央,就能判斷桌面是水平的,就是應(yīng)用了這個(gè)判定定理.例4已知正方體ABCD?A1B1圖8.5-16證明:∵ABCD∴D∴D∴四邊形D1∴又D1A?平面B∴D1A同理D1B1又D1∴平面AB1D下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì),也就是以平面與平面平行為條件,探究可以推出哪些結(jié)論.根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn),我們先探究?jī)蓚€(gè)平行平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系.圖8.5-17如圖8.5-17,借助長(zhǎng)方體模型,我們看到,B'D'所在的平面A'C'與平面AC平行,所以B'D'與平面AC分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線什么時(shí)候平行呢?我們?nèi)匀灰罁?jù)基本事實(shí)的推論進(jìn)行分析:如果α//β,a?α,b?β,且a//下面,我們來證明這個(gè)結(jié)論.圖8.5-18如圖8.5-18,平面α//β,平面γ分別與平面α,∵α∴a又α//∴a又a,b同在平面∴a我們把這個(gè)結(jié)論作為兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.定理兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.這個(gè)定理告訴我們,可以由平面與平面平行得出直線與直線平行.如果直線不在兩個(gè)平行平面內(nèi),或者第三個(gè)平面不與這兩個(gè)平面相交,以兩個(gè)平面平行為條件,你還能得出哪些結(jié)論?例5求證:夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.圖8.5-19如圖8.5-19,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈∵α∴BD又AB//∴四邊形ABDC是平行四邊形.∴AB從本節(jié)的討論可以看到,由直線與直線平行可以判定直線與平面平行;由直線與平面平行的性質(zhì)可以得到直線與直線平行;由直線與平面平行可以判定平面與平面平行;由平面與平面平行的定義及性質(zhì)可以得到直線與平面平行、直線與直線平行.這種直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.【練習(xí)】1.判斷下列命題是否正確.若正確,則說明理由;若錯(cuò)誤,則舉出反例.(1)已知平面α,β和直線m,n,若(2)若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一平面β,則α//(3)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.(5)一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交,則必與另一個(gè)相交.2.平面α與平面β平行的充分條件可以是().(A)α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行(B)直線a//α,a//β,且直線(C)直線a?α,直線b(D)α內(nèi)的任何一條直線都與β平行3.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1(第3題)(第4題)4.如上頁(yè)圖,平面α//β,γ∩α=習(xí)題8.5【復(fù)習(xí)鞏固】1.選擇題(1)若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是().(((2)如果直線a//平面α,P∈α(A)只有一條,不在平面α內(nèi)(B)有無數(shù)條,不一定在α內(nèi)(C)只有一條,且在平面α內(nèi)(D)有無數(shù)條,一定在α內(nèi)2.已知平面α,β和直線a,b,c,且a//b3.如圖,在長(zhǎng)方體木塊ABCD?A1B1C1D1(第3題)(第4題)4.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'5.如圖,在四面體D?ABC中,E,(1)BD//平面EFG(2)AC//平面EFG(第5題)(第6題)6.如圖,a,b是異面直線,畫出平面α,使a?7.如下頁(yè)圖,α∩β=(第7題)(第8題)8.如圖,直線AA',BB',【綜合運(yùn)用】9.如圖,E,E'分別為長(zhǎng)方體ABCD?A(第9題)(第10題)10.如圖,AB//α,11.已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面,求證：另一條也平行于這個(gè)平面.12.一木塊如圖所示,點(diǎn)P在平面VAC內(nèi),過點(diǎn)P將木塊鋸開,使截面平行于直線VB和AC,在木塊表面應(yīng)該怎樣畫線?(第12題)(第13題)13.如圖,α//β//γ,直線a與b分別交α,β,【拓廣探索】14.如圖,a,b是異面直線,a?(第14題)15.如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD?A1(1)有水的部分始終呈棱柱形;(2)沒有水的部分始終呈棱柱形;(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值;(4)棱A1(5)當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí),BE?其中所有正確命題的序號(hào)是__________，為什么?(2)(3)(第15題)8.6空間直線、平面的垂直【節(jié)引言】與平行關(guān)系類似,垂直也是空間直線、平面之間的一種特殊位置關(guān)系,它在研究空間圖形問題中具有重要的作用.類比平行關(guān)系的研究過程,本節(jié)將研究空間直線、平面之間的垂直關(guān)系,重點(diǎn)研究這些垂直關(guān)系的判定和性質(zhì).8.6.1直線與直線垂直空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:平行直線、相交直線和異面直線.在初中我們已經(jīng)研究了平行直線和相交直線.本節(jié)我們主要研究異面直線,首先研究如何刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.【觀察】如圖8.6-1,在正方體ABCD?A'B'C'D'中,直線A'C'與直線圖8.6-1我們知道,平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角,其中不大于90°如圖8.6-2,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'//a,b'//圖8.6-2【貼示】研究異面直線所成的角,就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.這是研究空間圖形的一種基本,思路,即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.如果兩條異面直線所成的角是直角,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直,記作a⊥當(dāng)兩條直線a,b相互平行時(shí),我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α【邊空思考】直線a,b所成角的大小與點(diǎn)例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD?(1)哪些棱所在的直線與直線AA(2)求直線BA'與(3)求直線BA'與圖8.6-3圖8.6-4解:(1)棱AB,BC,(2)因?yàn)锳BCD?A'從而異面直線BA'與AC所成的角等于例2如圖8.6-5(1),在正方體ABCD?A1B1C1分析:要證明AO1⊥BD,應(yīng)先構(gòu)造直線AO(2)圖8.6-5證明：如圖8.6-5(2),連接B1∵ABCD∴BB1?D∴B∴直線AO1與B1D1連接AB1,又O1為底面A∴O1為∴A∴A從例1與例2的解答可以看到,為了簡(jiǎn)便,求異面直線a,b所成的角時(shí),點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.例如取在直線b上,然后經(jīng)過點(diǎn)O作直線a'//a,那么a'與圖8.6-6【練習(xí)】1.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直,那么另一條也與已知直線垂直.()(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行.()2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?(1)與直線AB垂直的直線有__________條;(2)與直線AB異面且垂直的直線有__________條;(3)與直線AB和A'D'都垂直的直線有(4)與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是直線(第2題)(第3題)3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A'(1)直線BC和A'(2)直線AA'和4.如圖,在正三棱柱ABC?A'B'C'中,D(第4題)8.6.2直線與平面垂直【節(jié)引言】在日常生活中,我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí).比如,旗桿與地面的位置關(guān)系(圖8.6-7),教室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系等,都給我們以直線與平面垂直的形象.圖8.6-7【觀察】如圖8.6-8,在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化,影子BC的位置在不斷地變化,旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?圖8.6-8事實(shí)上,隨著時(shí)間的變化,盡管影子BC的位置在不斷地變化,但是旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直.也就是說,旗桿AB所在直線與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直.對(duì)于地面上不過點(diǎn)B的任意一條直線B'C',總能在地面上找到過點(diǎn)B的一條直線與之平行,根據(jù)異面直線垂直的定義,可知旗桿AB所在直線與直線B一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖8.6-9所示.圖8.6-9【思考】在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結(jié)論推廣到空間,過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?可以發(fā)現(xiàn),過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.【貼示】在棱錐的體積公式中,棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離.下面我們來研究直線與平面垂直的判定,即探究直線與平面垂直的充分條件.根據(jù)定義可以進(jìn)行判斷,但無法驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直.那么,有沒有可行的方法?【探究】如圖8.6-10,準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片堅(jiān)起放置在杲面上((1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?為什么?圖8.6-10容易發(fā)現(xiàn),AD所在直線與桌面所在平面α垂直(圖8.6-11)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時(shí),由于翻折之后垂直關(guān)系不變,所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD,圖8.6-11事實(shí)上,由基本事實(shí)的推論2,平面α可以看成是由兩條相交直線BD,DC所唯一確定的,所以當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí),就能保證直線AD與一般地,我們有如下判定直線與平面垂直的定理.定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.【貼示】定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”和“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.【思考】?jī)蓷l相交直線可以確定一個(gè)平面,兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線"嗎?你能從向量的角度解釋原因嗎?如果改為“無數(shù)條直線"呢?例3求證:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.已知:如圖8.6-12,a//b,分析：要證明直線b⊥α,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,只需證明直線b垂直于平面圖8.6-12圖8.6-13證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,∵直線a⊥∴a∵∴b又m?∴b【邊空思考】你能用直線與平面垂直的定義證明這個(gè)結(jié)論嗎?如圖8.6-14,一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.圖8.6-14【邊空思考】如果AB是平面α內(nèi)的任意一條不與直線AO重合的直線,那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么?一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°.直線與平面所成的角θ的取值范圍是例4如圖8.6-15,在正方體ABCD?A1B1圖8.6-15分析:關(guān)鍵是找出直線A1B在平面解:連接BC1,BC1與B1∵A∴A1B∴A又BC∴BC1∴A1O為斜線A1B在平面A1DC在Rt△A1BO∴BO∴∠B∴直線A1B和平面A1【練習(xí)】1.如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等,那么這兩條直線一定平行嗎?2.如圖,四棱錐S?ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,求證:AC(第2題)(第3題)3.如圖,在直四棱柱A'B'C'4.過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△(2)若PA=PB=PC,∠C=90°(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA下面我們研究直線與平面垂直的性質(zhì),即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結(jié)論.根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn),我們可以探究直線a與平面α內(nèi)的直線的關(guān)系.但由定義,a與α內(nèi)的所有直線都垂直.所以,可以探究a,我們知道,在平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行.在空間中是否有類似的性質(zhì)呢?【觀察】(1)如圖8.6-16,在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'圖8.6-16圖8.6-17(2)如圖8.6-17,已知直線a,b和平面α.如果a⊥可以發(fā)現(xiàn),這些直線相互平行.不失一般性,我們以(2)為例加以證明.如圖8.6-18,假設(shè)b與a不平行,且b?α=O.顯然點(diǎn)O不在直線a上,所以點(diǎn)O與直線a可確定一個(gè)平面,在該平面內(nèi)過點(diǎn)O作直線b'//a,則直線b與b'是相交于點(diǎn)O的兩條不同直線,所以直線b與b'可確定平面β,設(shè)α∩β=c,則O∈c.因?yàn)閍⊥α,b圖8.6-18【貼示】由于無法把兩條直線a,這樣,我們得到了直線與平面垂直的一條性質(zhì)定理:定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們,可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直判定這兩條直線互相平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.在a⊥α的條件下,如果平面α外的直線b與直線a垂直,你能得到什么結(jié)論?如果平面β與平面你還能自己提出更多的問題,發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論嗎?例5如圖8.6-19,直線l平行于平面α,求證:直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.圖8.6-19證明:過直線l上任意兩點(diǎn)A,B分別作平面α的垂線AA∵A∴A設(shè)直線AA1,∵l∴l(xiāng)∴四邊形AA∴A由A,B是直線l上任取的兩點(diǎn),可知直線l上各點(diǎn)到平面一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.由例5我們還可以進(jìn)一步得出,如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.【貼示】在棱柱、棱臺(tái)的體積公式中,它們的高就是它們的上、下底面間的距離.例6推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式V其中S',S解：如圖8.6-20,延長(zhǎng)棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P,得到截得棱臺(tái)的棱錐.過點(diǎn)P作棱臺(tái)的下底面的垂線,分別與棱臺(tái)的上、下底面交于點(diǎn)O',O,則PO設(shè)截得棱臺(tái)的棱錐的體積為V,去掉的棱錐的體積為V'、高為?',則V圖8.6-20所以棱臺(tái)的體積V由棱臺(tái)的上、下底面平行,可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似,并且S所以?代人(1),得V【邊空思考】請(qǐng)你自己證明“棱臺(tái)的上、下底面相似”這個(gè)結(jié)論.【練習(xí)】1.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α2.已知A,B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè),且它們與α的距離相等,求證:直線3.如圖,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的