基于ar模型的功率譜估計仿真研究

1基于ar模型的功率譜估計譜譜估計是在頻率分析中隨機忽略信號的一種方法，通常分為兩類：一類是經(jīng)典譜的估計；另一種是現(xiàn)代譜的估計。由于經(jīng)典譜估計中將數(shù)據(jù)工作區(qū)以外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零,這相當于數(shù)據(jù)加窗,導致分辨率降低和譜估計不穩(wěn)定?，F(xiàn)代譜估計則不再簡單地將觀察區(qū)外的未知假設(shè)為而零,而是先將信號的觀測數(shù)據(jù)估計模型參數(shù),按照求模型輸出功率的方法估計信號功率譜,回避了數(shù)據(jù)觀測區(qū)以外的數(shù)據(jù)假設(shè)問題?？梢钥闯霈F(xiàn)代譜估計性能優(yōu)于經(jīng)典譜估計?；趨?shù)建摸的功率譜估計是現(xiàn)代功率譜估計的重要內(nèi)容,其目的就是為了改善功率譜估計的頻率分辨率,它主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型,其中基于AR模型的功率譜估計是現(xiàn)代功率譜估計中最常用的一種方法,這是因為AR模型參數(shù)的精確估計可以通過解一組線性方程求得,而對于MA和ARMA模型功率譜估計來說,其參數(shù)的精確估計需要解一組高階的非線性方程。在利用AR模型進行功率譜估計時,必須計算出AR模型的參數(shù)和激勵白噪聲序列的方差。這些參數(shù)的提取算法主要包括自相關(guān)法、Burg算法、協(xié)方差法、改進的協(xié)方差法,以及最大似然估計法。本文對自相關(guān)法和Burg算法進行分析,給出用這兩種算法估計出的AR模型參數(shù),并進行基于AR模型的功率譜估計仿真研究及比較兩種算法。2基于ar模型的功率譜估算和對兩個參數(shù)的提取算法2.1模型參數(shù)階數(shù)pAR模型,又稱為自回歸模型,是一個全極點的模型,可用如下差分方程來表示:其中u(n)是均值為零、方差為σ2的白噪聲序列,p是AR模型的階數(shù),ap(i),i=1,2,…,p是p階AR模型的參數(shù)。AR模型系統(tǒng)H(z)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為:從而得到AR模型的功率譜估計的計算公式:由(3)式可以看出,要利用AR模型進行功率譜估計,必須得到模型參數(shù)和白噪聲序列的方差。將(1)式變形有:式(4)的矩陣形式為:式(4)和(5)是AR模型的ARYule-Walker方程。2.2參數(shù)提取算法提取模型參數(shù)2.2.1ar模型參數(shù)的估計自相關(guān)法是AR模型參數(shù)求解中最簡單的一種方法。假定觀測的平穩(wěn)信號序列為{x(n-p),x(n-p+1),…,x(n-1)},自相關(guān)法是使序列x(n)的前向預(yù)測誤差功率:最小。利用自相關(guān)法求解AR模型參數(shù)的步驟:第一步:估計觀測序列的自相關(guān)系數(shù)矩陣;第二步:利用Lenvinson-Durbin遞推算法求解AR模型參數(shù)。Lenvinson-Durbin算法是從低階開始遞推,直到p階,給出了每一階次的所有參數(shù),這有利于選擇合適階次的AR模型。由于自相關(guān)法等效于對前向序列誤差e(n)前后加窗,加窗的結(jié)果使得自相關(guān)法的頻率分別率降低。數(shù)據(jù)越短,分別率越低。2.2.2建立階次ar模型Burg算法與自相關(guān)法不同,它是使序列x(n)的前后向預(yù)測誤差功率之和:最小。利用Burg法求解AR模型參數(shù)的步驟:第一步:由初始條件e(n)=x(n)和e(n)=x(n),根據(jù)式(8),求出反射系數(shù)k1;第二步:根據(jù)序列x(n)的自相關(guān)函數(shù),求出階次m=1時的AR模型參數(shù)a1(1)=k1與前后向預(yù)測誤差功率之和ρ=(1-k)rx(0);第三步:由式(9)求出前向預(yù)測誤差e(n)與后向預(yù)測誤差e(n),然后由式(8)估計出反射系數(shù)k2;第四步:由式(10)Levinsion遞推關(guān)系,求出階次m=2時的AR模型參數(shù)a2(1)和a2(2),以及ρ;am(k)=am-1(k)+kmam-1(m-k)am(m)=kmρ=(1-k)ρ(10)第五步:重復上述過程,直到階次m=p,這樣就求出了所有階次的AR模型參數(shù)。Burg算法的遞推過程是建立在數(shù)據(jù)序列基礎(chǔ)上,避開了序列的自相關(guān)函數(shù)的估計,所以與自相關(guān)法相比,具有較好的頻率分辨率。3算法的模擬3.1ar模型參數(shù)估計以傳遞函數(shù)為:的系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)加白噪聲的平穩(wěn)信號序列x(n),來估計其AR模型參數(shù)。參數(shù)提取時,利用Matlab工具箱中的信號處理中的lesivson函數(shù)和arburg函數(shù)來分別進行自相關(guān)算法和Burg算法的AR模型參數(shù)估計,結(jié)果如表1所示。3.2功率譜估計曲線在Matlab中基于AR模型的功率譜估計自相關(guān)算法和Burg算法的分別用pyulear函數(shù)和pburg函數(shù),用這兩個函數(shù)分別對一個周期正弦加高斯白噪聲平穩(wěn)隨機序列x(n)=cos(200πn)+sin(400πn)+e(n)進行功率譜估計,功率譜估計曲線如圖1,圖2所示。4bga算法的比較介紹在A