上海期末全真模擬試卷(5)

本試卷由選擇題、填空題和解答題三大題組成，共21題，滿分100分。考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考試號、考場號、座位號，用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在

答題卷相對應的位置上，并認真核對；

2.答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卷指定的位置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案一律無效，不得用其他

筆答題；

3.考生答題必須答在答題卷上，保持卷面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效。

一、填空題(每題3分，共36分)

1.在AABC中，角A,3,C所對的邊分別為?！保琧,已知。=2,且皈?0$4+1)=2(;0$3,

則AA6c周長的取值范圍是

【答案】(4,6)

【分析】由正弦定理將b(cosA+l)=acosB,化為sin8(cosA+l)=sinAcosB,再利用三

角函數(shù)恒等變換公式化為A=25,再由正弦定理可得bc=4cos5-——,從而

cosBcosB

0<5<7t,

可得△A6C的周長4cos5+2,再由｛。<28<兀，求出角8的取值范圍，進而可求出三角

0<71-3B<7C,

形周長的范圍

【詳解】因為〃=2,/?（cosA+l）=2cosB,所以Z7（cosA+l）=acos8,

所以sinB（cosA+1）=sinAcosB,

所以sinB=sinAcos8-cosAsin8=sin（A—8）,則B=A-B,即A=2B.

b_casinB1

由正弦定理可得三，則人=

sinAsinBsinCsinAcos3

asinC2sin3B.__1

-----==4cosB

sinAsin28---------cosB

故zkABC的周長/=a+0+c=2+——+4cosB---!—=4cosB+2.

cosBcosB

0<B<7i,

兀1

因為<0<2B<TC,解得OVBV-,貝IJ—<COS8<1,

32

0<K-3B<K,

故AA5c的周長/e(4,6).

故答案為：(4,6)

2.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的

曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發(fā)

現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應用勒洛三角形.如圖,

已知某勒洛三角形的一段弧的長度為萬，則該勒洛三角形的面積為.

【分析】計算出等邊AABC的邊長，計算出由弧A5與AS所圍成的弓形的面積，進而可求

得勒洛三角形的面積.

TT

【詳解】設等邊三角形ABC的邊長為則彳。=4，解得。=3,

所以，由弧A8與A3所圍成的弓形的面積為

17t212.乃生X32一遞=紅一噸

—x—a~——a"xsin—=

23236

所以該勒洛三角形的面積5=竽9萬-96

2

9萬-96

故答案為:

2

3.如圖，已知直線4〃4,｛是4，4之間的一個定點，并且點力到4，4的距離都為2,6是直

線4上的一個動點，作AC，43,且使AC與直線4交于點C,設乙鉆。=。，則AABC面

積的最小值是，AABC周長的最小值是.

【答案】44&+4

224

【分析】由題意得AC=-則邑"c二=7；，分析得到面枳的最小值；

sin0cos0sin20

又在△A8C中，BC=―--,所以AABC周長C,BC=2C°S6+2任4+2,

sin0cossinOcos。

令f=cos8+sin。，則1=應sin（e+?）w（l,夜］,所以?！爸x=六，分析得到周長的最小

值.

【詳解】由題意得：AD=AE=2,

271

所以A8二一又因為NABD=eiLNCA8=—,則NC4E=S,

sin。2

2

所以AC=——,

cos6

則S,ABC=-xABxAC=-----------=———

2sincossin20

TT

當sin2"l即當。二時，S-能取得最小值，最小值為4；

7T

又因為ZA8r>=6e(0,g),所以sin6>0,cos6>0

所以在A4BC中，BC=VAB2+AC2=.if-^\+f/一]=—一

HsinOjvcos)sincos

222

△ABC周長CDBC=AB+AC+BC=——+----+----------

sin0cos0sin0cos0

2cos6+2sme+2,令，=cosO+sin8,則f=&sin(6>+-)e(1,&],

sin。cos64

八2r+24（r+l）4

所以％ABC—1一產(chǎn)一--i，

當t=0時，上式取得最小值，最小值為4及+4.

故答案為：4,4A￡+4

【點睛】在應用公式時注意方程思想的應用，對于s/力o+coso,sino—coso,sino

cos4這三個式子，利用（s力7ci±cosa）2=l±2s力7acosa可以知一求二.

4.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知a=3,c=5,C=60'，

則邊長6=.

【答案】1或2

【分析】利用余弦定理建立方程，解出4

【詳解】在AA5c中，由a=3,c=J7，C=60。，

由余弦定理c2=a2+b2-2abeosC得：

7=9+"66cos600，

解得：左1或e2

故答案為：1或2.

【點睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：

（1）從題目給出的條件，邊角關系來選擇；

（2）從式子結構來選擇.

「八kcos25°-sin25°>,

5.化簡：-------------的結果為

sin40°sin50°

【答案】2

【分析】根據(jù)誘導公式與正余弦二倍角公式即可求解.

cos?5°-sin?5°_cos10。_cos10。_sin80°_?

【詳解】；

sin40°sin50°sin400cos40°1—cs?iononuo1sinou-

22

故答案為：2.

6.若函數(shù)/（x）=2sin（x+：）+,〃sin（x-：）是偶函數(shù)，則，w=.

【答案】-2

'=/（一?）'從而可得到關于加的方程，即可求解?

【分析】由已知偶函數(shù)可得

1則/田=（。

【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù)

ll,c.（乃兀）.（717

1E、c.（乃兀）.（nTC\

月「以2sin|—1—+YHsin------

（44；（4，UI44jI44）

整理得2+0=0—〃?，解得根=--2,經(jīng)檢驗，m的值符合題意

故答案為：—2.

7.在△A3c中，若cos=2sin—,則cos8的最小值是___________

22

【答案】g

3I

【分析】利用二倍角公式可得，cosB=-一一cos（A—C）,從而可得最值.

44

【詳解】Vcos^^=2sin-,

22

1A-C

2

cosB=l-2sin2-=l-2|-cos^—

2(22

2A—C1l+cos(A—C)

=l-lcos----1—x---------

2222

---cos(A-C)

44l7

當A-C=O時，cos(A-C)取到最大值1,

???cosB的最小值是!，

2

故答案為：—

8.函數(shù)y=sin(2x-￡)的圖象在(一萬,璋上有_________條對稱軸.

6

【答案】4

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸公式即可求解.

【詳解】由2x-江=工+上萬，keZ,求得對稱軸方程為X=工+竺，左eZ,

6232

由一萬+年〈乃，kwZ,解得一

再由ZeZ,可得人=—2,-1,0,1,故對稱軸有4條，

故答案為：4.

9.在函數(shù)y=2sin(4x+夸)的圖象的對稱軸中，則離＞軸最近的一條對稱軸方程為

【答案】K=-三

24

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，整體代換可得答案.

【詳解】令4x+與=氏+為eZ),整理得x=￥4(keZ).

n

當人=0時，x=-一滿足題意.

24

TT

故答案為：X=.

10.函數(shù)y=2sin(q-2x)+l的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】［9^+%肛一—+kji:\,keZ

1212

【分析】求>=2sing-2x)+l的單調(diào)遞增區(qū)間，即求y=2sin(2x-§+l的單調(diào)遞減區(qū)間，令

—I-1k7t^2.x卜2k兀，&GZ,計算即可得答案.

232

【詳解】由題意得：y=2sin(y-2x)+1=-2sin(2x-y)+l,

TT

即求y=2sin(2x-?+l的單調(diào)遞減區(qū)間，

令色+2%超2x—+2kw,ZeZ,

232

解得皂+力通k—+kK,keZ.

1212

所以函數(shù)y=2sin(1-2x)+l的單調(diào)遞增區(qū)間是［由+%肛止+左加，丘Z.

31212

故答案為：［二57r+版■，上1\匕+左捫，keZ.

1212

11.已知向量AB=(3,-4),A點的坐標是(一1,2),則8點的坐標是—.

【答案】(2,-2)

【分析】設8點坐標為(％y),表示出詬，即可求出.

【詳解】設3點坐標為點,>),?.?A點的坐標是(-1,2),

麗=(3,-4)=(x+l,y-2),

即x+l=3,y-2=4

解得：x=2,y=-2,

故8點的坐標(2,—2).

故答案為:(2,-2).

12.設團=5,|zj=2,卜一=求人=.

Z2

【答案】2土3力

2

【分析】設Z1=5(cosa+sina),22=2(以)54+$山尸)，求得￡三'以及4一1，再根據(jù)條件

求8s(a+4)的值,可得sin(a+p)的值,再利用復數(shù)三角形式的運算法則求得五的值.

Z2

【詳解】解：由題意得，可設Z1=5(cosa+sine),Z2=2(cos/?+sin/7),

Z1=5[cosa-zsincr]=5[cos(-a)+zsin(-a)J,

z2=2(cos6一isin/?)=2[cos(-/?)+/sin(->5)],

ZI-z2=(5cosa-2cos尸)+i(5sina+2sin尸).

再由jz,-z2|=V13，可得(5cos。-2cos+(5sina+2sin尸『=13,化簡可得

4

cos

3

再由同角三角函數(shù)的基本關系可得sin(a+/?)=土不

故

5[cos(-a)+isin(-a)]5

zi_--------------------——xcos(-a_/?)+isin(-a-/?)=^x[cos(a+')-isin(a+6)]

z?2(cosP+isin0)2

53.

=-X-±-z=2±-z

2552

3

故答案為：2士在

【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算，熟記復數(shù)的除法運算，共輒復數(shù)的概念，復數(shù)的幾何意

義,以及復數(shù)模的計算公式即可，屬于?？碱}型,

二、選擇題(每題4分，共16分)

sin(x+6f)(x<0)

13.已知函數(shù)/。)=,c°s(x+份叱。產(chǎn)偶函數(shù)’則小涮值可能是()

71.71八247乃〃71.71門27tl5冗

AA.ci——,Z?——B.ci——,b=—C.ci=—,b=—D.ci——,b=—

33363636

【答案】C

【分析】可得sinZ?=cosa,然后逐一驗證即可.

由《1卜/

s8iSn((xX++t以z)("x<0。))是偶函數(shù)'所以/(匕7i卜\/

【詳解】因為/(x)=〈

所以COSfy+Z?j=sin兀(+?

所以一sinb=-cosa,即sin/?=cosa

2

所以選項中當a=jrTmT時滿足

36

故選：C

14.為了得到函數(shù)/(x)=sin(3x+?)的圖像，需對函數(shù)g(x)=sinx的圖像所作的變換可

以為()

1_____7T

A.先將圖像上所有的橫坐標壓縮為原來的4倍，縱坐標不變，再向左平移三個單位

312

B.先將圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移專個單位

1兀

C.先將圖像上所有的橫坐標壓縮為原來的7倍，縱坐標不變，再向左平移：個單位

3r4

1T

D.先將圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移了個單位

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像變換規(guī)律作出判斷.

【詳解】函數(shù)g(x)=siru的圖象上所有點的橫坐標壓縮為原來的:，縱坐標不變，再向左平

移看個單位得y=sin3(x+^)=sin(3x+S,貝ijA正確;

函數(shù)g(x)=sinx的圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移專個單

位得y=sin〈jx_V]=sin]：x—5],則B錯；

j\12J13JoJ

1jr

函數(shù)g(x)=sinr的圖像上所有的橫坐標壓縮為原來的;倍，縱坐標不變，再向左平移:個單

位得y=sin3卜+=sin13x+弓)，則c錯；

函數(shù)g(x)=sinr的圖像上所有的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向右平移個個單

位得y=sing(x-?)=sin(gx—吉)則D錯

故選：A

15.已知A、B、。三點共線，且對任一點C,有而=g法+4而，則;1等于（）

1212

A.-B.-C.—D.--

3333

【答案】c

【分析】設而=無而，可得而=%（而一亂），結合己知條件可得出關于左、2的方程組,

即可得解.

【詳解】

設而=人通,則而=左（麗一場），

又因為而=!而+/1而，所以，1,解得力=-工

3-k=-3

I3

故選：C.

16.若復數(shù)z=（-3-2i）i,則z的虛部為（）

A.-3B.-3zC.2D.2/

【答案】A

【分析】本題首先可通過復數(shù)的乘法得出z=2-37,然后根據(jù)虛部的概念即可得出結果.

【詳解】z=（-3-2/）z=-3z-2/=2-3/,

則z的虛部為-3,

故選：A.

三、解答題（本大題共5題，共48分，解答各題必須寫出必要步驟）

1TI

17.己知sin。一cos6=—,0G0,—.

5L2」

（1）求sin。，cos）的值;

（2）求sin（2?！海┑闹?

【答案】（1）sin6=d,cos0=3；（2）.

5550

7

【分析】（1）由已知結合同角之間的平方關系可求得sin6+cose=1，解方程即可得解；

247

（2）由（1）可求得sin26=k，cos2^=~-,再利用兩角和的正弦公式即可得解.

124

【詳解】(1)???sin?！猚os6=—,兩邊平方得：2sin^cos^=—.

525

兀

,：6e0,—,.二sinO+cos?！?。，

L2j

____________7

/.sin0+cos=vl+2sincos0=—.

43

sin6=—,cos6=—.

55

43

(2)Vsin0=—,cos0=-,

55

247

**.sin28=—,cos20=2cos~0—1=-----,

2525

sin(29—=sin20cos——cos20sin-=^^(sin26—cos28)=-.

【點睛】方法點睛：本題考查同角之間的關系及兩角和的正弦公式，再利用同角之間關系時

注意方程思想的應用：對于sinO+cos。，sinOcos。，sinO-cos。這三個式子，利用

(sine±cosO)2=l±2sinecose,可以知一求二.

18.已知函數(shù)/(x)=4sin十cos券+1,其中常數(shù)。＞0.

jr37r

(1)y=/(x)在一］，彳上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵若。＜4,將函數(shù)y=〃x)圖像向左平移?個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，且過

若對任意的xw-5奇，不等式g2(xjg(x)_iW0恒成立，求實數(shù)，”的取

值范圍.

28

【答案】(1)一；(2)mN—.

33

7C71

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可得在3＞0時，區(qū)間-二，二一是函數(shù)尸2sir)3

.2co2(o_

廣1的一個單調(diào)遞增區(qū)間，結合已知條件列出一個關于3的不等式組，解不等式組，即可求出

實數(shù)3的取值范圍.

(2)由函數(shù)y=/(x)的圖像變換得g(x)=2sin"+q0)+l,且g(x)的圖像過尸信1),

717t

可解得3=24,kez,結合范圍0<Y4,可得g(x)的解析式.結合XG,得

o12_

g(x)e[2,3],令/=g(x)e[2,3],參變分離得機型-；在[2,31恒成立，求出〃?的取值范圍

即可.

【詳解】

(1)由題意得〃%)=45畝m8$春+1=2sin(0x)+l,又iy〉0，得y=/(x)的最小正

周期為T=絲，

0)

Jrjr

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，當了=-二一,函數(shù)取得最小值，x=—函數(shù)取得最大值，

2ci)2a)

7t71

二是函數(shù)y=2sins的?個單調(diào)遞增區(qū)間，

2a)2①

71幾

又因為函數(shù)丫=2$皿8+1(0>0)在一￡,手上單調(diào)遞增，則I2①4,解得

44九■3乃

—>—

2CD4

2

0<gW—.

3

(2)由(1)得/(x)=2sin的+l,將函數(shù)y=/(x)圖像向左平移?個單位，得到函數(shù)

y=2sin|ox+工|+1的圖像，

即g(x)=2sin[@x+2o)+l,；g(x)的圖像過P唱,1

閨=2疝5+>)+1=1,

兀JI_

得：sin—69=0,即：—co=k兀、keZ、：.a)=2k,keZ,0<69<4?:?①=2,

22

7t71

得g(x)=2sin2x+會2x+與4營,.?.g(x)?2,3],

令/=g(x)e[2,3],參變分離得機2-；在[2,3"亙成立，令〃(/)="；,

1QQ

則函數(shù)力⑺在[2,3]上遞增，當f=3時，//(/),_=3--=-.

【點睛】方法點睛：求函數(shù)，(力=4311(。次+夕)在區(qū)間,,句上值域的一般步驟：

第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如y=Asin(a)x+°)+左的形式或

y=Acos?x+0)+左的形式.

第二步：由x的取值范圍確定0X+。的取值范圍，再確定sin?x+°)(或cos(0x+。))的

取值范圍；

第三步：求出所求函數(shù)的值域(或最值).

19.已知a=(-2,4),B=(X,_2),其中XW1.

(1)若￡+3B與%-25平行，求實數(shù)A的值；

(2)若&,證明：對任意實數(shù)幾，義@一6與G+AB垂直.

2

【答案】(1)-y;(2)證明見詳解.

【分析】(1)先由題意得到￡+35與妨-25的坐標，再由向量共線的坐標表示列出方程求

解，即可得出結果；

⑵先由近5求出無，再計算卜”一力?(?+砌，即可證明結論成立.

【詳解】(1)因為，=(-2,4),5=(居-2),

所以4+3人=(-2+3羽-2)，lai—2b=(—2Z—2x,4Z+4)?

因為￡+3坂與蛇一2萬平行，所以(-2+3x)x(4Z+4)—(―2)x(—2左-2x)=0,

整理得(3攵+2)x=3左+2,

2

又xwl,所以3左+2=0,解得左=一§；

(2)若萬，5，則一2%一8=0,解得x