第2章測量誤差和數(shù)據(jù)處理

第2章測量誤差和數(shù)據(jù)處理

1授課課時：3學(xué)時主要內(nèi)容：測量誤差、誤差的定義；誤差的分析方法誤差的類型，誤差的處理方法。重點和難點:誤差的定義、誤差的分析方法、誤差的類型，隨機誤差的處理及合成，隨機誤差分析、系統(tǒng)誤差分析、測量數(shù)據(jù)的處理

授課課時：3學(xué)時2主要章節(jié)2.1測量誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6間接測量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測量數(shù)據(jù)的處理2.9最小二乘法主要章節(jié)2.1測量誤差32.1測量誤差1.誤差(術(shù)語、名詞）1）真值A(chǔ)0一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。2）指定值A(chǔ)s

一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標準(或基準)，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。3）實際值A(chǔ)

國家通過一系列的各級實物計量標準構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級的比較中，都以上一級標準所體現(xiàn)的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值。2.1測量誤差1.誤差(術(shù)語、名詞）44）標稱值

測量器具上標定的數(shù)值稱為標稱值。

5）示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。6）測量誤差

測量儀器的測得值與被測量真值之間的差異，稱為測量誤差。

7）單次測量和多次測量4）標稱值58）等精度測量和非等精度測量等精度測量:

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱作等精度測量。非等精度測量:

如果在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變(比如，改變了測量方法，或更換了測量儀器，或改變了聯(lián)接方式，或測量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細心專致程度等)，這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。2.誤差的表示方法8）等精度測量和非等精度測量61）絕對誤差:

絕對誤差定義為

△x=x-A0

式中：△x為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。2）相對誤差實際相對誤差示值相對誤差1）絕對誤差:7滿度（或引用）相對誤差:（通常用于表達精度）

滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差與儀器滿度值（量程上限值）的百分比值滿度（或引用）相對誤差:（通常用于表達精度）82.2測量誤差的來源儀器誤差

又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。

2．人身誤差人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準確而造成的誤差。2.2測量誤差的來源儀器誤差93．影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。4．方法誤差

方法誤差是所使用的測量方法不當，或?qū)y量設(shè)備操作使用不當，或測量所依據(jù)的理論不嚴格，或?qū)y量計算公式不適當簡化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。3．影響誤差102.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差

在多次等精度測量同一恒定量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。

2.隨機誤差：

隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一恒定量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號無規(guī)則變化的誤差。3.粗大誤差：在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。2.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差11N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機誤差累進系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機誤差12

1.隨機誤差（偶然誤差）的定義

是指在相同條件下，對同一恒定量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，但當測量次數(shù)足夠多時，則服從正態(tài)分布規(guī)律，隨機誤差的特點為對稱性、有界性、單峰性、抵償性。f(

)

2.4隨機誤差分析f()2.4隨機誤差分析13問題

測量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那么，從測量值如何得到真實值呢？

例如：測量室溫，6次測量結(jié)果分別為19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室溫究竟是多少呢？

X=A±

，置信概率為p

x的真值落在[A-

，A+

]區(qū)間內(nèi)的概率為p。

A和

如何確定呢？問題測量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那142.測量值的數(shù)學(xué)期望和標準差1）數(shù)學(xué)期望

對被測量x進行等精度n次測量，得到n個測量值x1，x2，x3，…，xn。則n個測得值的算術(shù)平均值為：2.測量值的數(shù)學(xué)期望和標準差1）數(shù)學(xué)期望15

當測量次數(shù)時，樣本平均值的極限定義為測得值的數(shù)學(xué)期望。當測量次數(shù)時，測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量的真值。分析：當測量次數(shù)時，樣本平均值16根據(jù)隨機誤差的抵償特性，當時=0，即所以，當測量次數(shù)時，測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量的真值。根據(jù)隨機誤差的抵償特性，當172)剩余誤差（殘差）

當進行有限次測量時，測得值與算術(shù)平均值之差。數(shù)學(xué)表達式：對上式兩邊求和得：所以可得剩余誤差得代數(shù)和為0。2)剩余誤差（殘差）當進行有限次測量時，測得值與算術(shù)平均184)標準差（標準誤差，均方根誤差）

σ反映了測量的精密度，σ小表示精密度高，測得值集中，σ大，表示精密度底，測得值分散。3.)方差4)標準差（標準誤差，均方根誤差）σ反映了測量的精密度，σ小19δf(δ)3.隨機誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布高斯于1809年推導(dǎo)出描述隨機誤差統(tǒng)計特性的解析方程式，稱高斯分布規(guī)律。隨機誤差標準誤差曲線下面的面積對應(yīng)誤差在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率。δf(δ)3.隨機誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布隨機誤差標準誤差20例如：δf(δ)δf(δ)21從正態(tài)分布曲線可看出：

①δ絕對值越小，愈大，說明絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大。②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。δf(δ)從正態(tài)分布曲線可看出：δf(δ)22③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說明σ反映了測量的精密度。

σ=1σ=2③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說234.隨機誤差表達式1）剩余誤差的表達形式2）最大絕對誤差表達形式3）標準偏差的表達形式

4）算術(shù)平均誤差表達形式4.隨機誤差表達式24

5)或然誤差表達形式

6)極限誤差Δ

從上式可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出現(xiàn)的可能性很小。因此定義：

5)或然誤差表達形式

6)極限誤差Δ從上式可見，隨機25隨機誤差的特點單峰性誤差絕對值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對值越大，出現(xiàn)密度越小對稱性絕對值相同，符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等抵償性當測量次數(shù)n→∞時，誤差總和為零有界性誤差落[-3

,3

]的概率為0.9973

3

也稱為極限誤差或者誤差限隨機誤差的特點單峰性誤差絕對值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對265.標準偏差的計算

貝塞爾公式采用殘差代替隨機誤差有限次測量標準誤差的最佳估計值（近似標準誤差）標準差（標準誤差，均方根誤差）：貝塞爾公式5.標準偏差的計算

貝塞爾公式采用殘差代替隨機誤差標準差（標27算術(shù)平均值的標準差和標準差的標準差1）算術(shù)平均值的標準差2）平均值標準誤差的最佳估計值（近似平均值標準誤差）算術(shù)平均值的標準差和標準差的標準差287.有限次測量下測量結(jié)果表達式步驟：1）列出測量數(shù)據(jù)表；2）計算算術(shù)平均值、、；3）計算和；置信概率0.9973

4）給出最終測量結(jié)果表達式：7.有限次測量下測量結(jié)果表達式2）計算算術(shù)平均值292.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累進系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差1.分類：恒定系統(tǒng)誤差

變化系統(tǒng)誤差2.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累302.系統(tǒng)誤差的判斷1)理論分析法：可通過對測量方法的定性分析發(fā)現(xiàn)測量方法或測量原理引入的系統(tǒng)誤差。2)校準和比對法：測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定書中給出修正值。3)改變測量條件法：根據(jù)在不同的測量條件下測得的數(shù)據(jù)進行比較，可能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。4)剩余誤差觀察法：根據(jù)測量數(shù)據(jù)列剩余誤差的大小及符號變化規(guī)律可判斷有無系統(tǒng)誤差及誤差類型，這種方法不能發(fā)現(xiàn)定值系統(tǒng)誤差。2.系統(tǒng)誤差的判斷313．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源要減少系統(tǒng)誤差要注意以下幾個方面：1)采用的測量方法及原理正確。2)選用的儀器儀表的類型正確，準確度滿足要求。3)測量儀器應(yīng)定期校準、檢定，測量前要調(diào)零，應(yīng)按照操作規(guī)程正確使用儀器。對于精密測量必要時要采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。4)條件許可，盡量采用數(shù)顯儀器。5)提高操作人員的操作水平及技能。3．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源324.削弱系統(tǒng)誤差的方法1)零示法:4.削弱系統(tǒng)誤差的方法332)替代法（置換法）：

在測量條件不變的情況下，用一標準已知量替代待測量，通過調(diào)整標準量使儀器示值不變，于是標準量的值等于被測量。這兩種方法主要用來消除定值系統(tǒng)誤差。2)替代法（置換法）：343)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。4)隨機化處理5)智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除直流零位校準。自動校準。3)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。352.6間接測量的誤差傳遞與分配研究函數(shù)誤差一般有以下三個內(nèi)容：1)已知函數(shù)關(guān)系及各個測量值的誤差，求函數(shù)即間接測量的誤差。2)已知函數(shù)關(guān)系及函數(shù)的總誤差，分配各個測量值的誤差。3)確定最佳測量條件，使函數(shù)誤差達到最小。2.6間接測量的誤差傳遞與分配361.間接測量的誤差傳遞假設(shè)間接測量的數(shù)學(xué)表達式為：將上式按泰勒級數(shù)展開直接測量值間接測量值1.間接測量的誤差傳遞將上式按泰勒級數(shù)展開直接測量值間接測量37略去高階項1）間接測量的絕對誤差：2）間接測量的相對誤差：略去高階項2）間接測量的相對誤差：383）間接測量的標準差4）間接測量的誤差傳遞公式3）間接測量的標準差392.系統(tǒng)誤差的函數(shù)傳遞當系統(tǒng)誤差為已定系統(tǒng)誤差時將各直接測量的系統(tǒng)誤差代入上式計算即可。當系統(tǒng)誤差為未定系統(tǒng)誤差，當各分項數(shù)小于10可采用絕對和法，當各分項數(shù)大于10可采用方和根法。絕對和法：方和根法：絕對和法：方和根法：403.常用函數(shù)的誤差傳遞1）和差函數(shù)的誤差傳遞設(shè)

，

則絕對誤差若誤差符號不確定：相對誤差：3.常用函數(shù)的誤差傳遞若誤差符號不確定：相對誤差：412）積函數(shù)誤差傳遞設(shè)，則絕對誤差若誤差符號不確定：相對誤差：2）積函數(shù)誤差傳遞若誤差符號不確定：相對誤差：423）商函數(shù)誤差傳遞

設(shè)，則絕對誤差相對誤差：若誤差符號不確定：3）商函數(shù)誤差傳遞相對誤差：若誤差符號不確定：434）冪函數(shù)的誤差傳遞設(shè)，則絕對誤差相對誤差：若誤差符號不確定：4）冪函數(shù)的誤差傳遞相對誤差：若誤差符號不確定：44例6：已知：R1=1kΩ，R2=2kΩ，，，求。解：結(jié)論：相對誤差相同的電阻串聯(lián)后總電阻的相對誤差保持不變。例6：已知：R1=1kΩ，R2=2kΩ，解：結(jié)論：相對誤差45

例7：溫度表量程為100℃，精度等級1級，t1=65℃，t2=60℃，計算溫差的相對誤差。解1：℃例7：溫度表量程為100℃，精度等級1級，t1=65℃，46例8：已知，，，，求。解：例8：已知，474.間接測量的誤差分配

已知各個直接測量的標準誤差，…，，則

部分誤差4.間接測量的誤差分配

已知各個直接測量的標準誤差，48相對誤差相對誤差49解決誤差分配問題。通常采取的方法為①等作用原則，②調(diào)整原則。所謂等作用原則，即假設(shè)各直接測量的部分誤差相等D1=D2=…Dn按照等作用原則進行誤差分配并不合理，主要原因，在實際應(yīng)用中，有些量達到高精度測量比較困難，要付出很高代價，而有些則相對較容易。故需要根據(jù)實際情況進行調(diào)整。解決誤差分配問題。通常采取的方法為①等作用原則，②調(diào)整原則。50例9：散熱器裝置：，設(shè)計工況L=50L/h，進出口溫差℃。按照題意，誤差應(yīng)寫成極限誤差的形式。即分析：直接測量為流量L，散熱器進出口溫度t1、t2。間接測量為熱量Q。要求測量誤差小于等于10%。例9：散熱器裝置：51按照等作用原則，可得流量及溫差的部分誤差分別為7.1%。再根據(jù)實際情況選擇調(diào)整。按照等作用原則，可得流量及溫差的部分誤差分別為7.1%。522.7誤差的合成誤差合成由多個不同類型的單項誤差求測量中的總誤差是誤差合成問題。1、隨機誤差合成

若測量結(jié)果中有k個彼此獨立的隨機誤差，各個隨機誤差互不相關(guān)，各個隨機誤差的標準方差分別為σ1、σ2、σ3、…、σk則隨機誤差合成的總標準差σ為：2.7誤差的合成誤差合成1、隨機誤差合成53若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當隨機誤差服從正態(tài)分布時，對應(yīng)的極限誤差。

若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當隨機誤差服從正態(tài)分542、系統(tǒng)誤差的合成1）確定的系統(tǒng)誤差的合成又稱已定系統(tǒng)誤差，是指測量誤差的大小、方向和變化規(guī)律是可以掌握的。只要是已定的系統(tǒng)誤差，都應(yīng)當用代數(shù)的方法計算其合成誤差。表達式：

由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，故可直接在測量結(jié)果中修正，在一般情況下最后測量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差的內(nèi)容。2、系統(tǒng)誤差的合成由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，552）不確定系統(tǒng)誤差的合成不確定系統(tǒng)誤差又稱未定系統(tǒng)誤差，指測量誤差既具有系統(tǒng)誤差可知的一面，又具有不可預(yù)測的隨機誤差一面。在通常情況下，未定系統(tǒng)誤差多以極限誤差的形式給出誤差的最大變化范圍。絕對值合成法：

當m大于10時，合成誤差估計值往往偏大。一般應(yīng)用于m小于10。表達式：2）不確定系統(tǒng)誤差的合成不確定系統(tǒng)誤差又稱未定系統(tǒng)誤56方和根合成法一般應(yīng)用于m大于10。表達式：例5：0.5級，量程0~600kPa，分度值2kPa，h=0.05m，讀數(shù)300kPa，指針來回擺動±1個格，環(huán)境溫度30oC，偏離1oC的附加誤差為基本誤差的4%。方和根合成法一般應(yīng)用于m大于10。表達式：例5：0.5級，量57儀表精度等級引起的誤差：讀數(shù)誤差（即分度誤差）2kpa環(huán)境溫度引起誤差：安裝位置引起的誤差：前三項屬于未定系統(tǒng)誤差，最后一項屬于已定系統(tǒng)誤差。前三項按絕對值合成法：儀表精度等級引起的誤差：讀數(shù)誤差（即分度誤差）2k583．隨機誤差與系統(tǒng)誤差的合成

其中ε為已定系統(tǒng)誤差，e為未定系統(tǒng)誤差，l為隨機誤差的極限誤差。3．隨機誤差與系統(tǒng)誤差的合成592.8

測量數(shù)據(jù)的處理1.有效數(shù)字的處理1）有效數(shù)字：從數(shù)字的左邊第一個不為零的數(shù)字起，到右面最后一個數(shù)字（包括零）止。2）舍入原則：小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則。12.5寫作12；13.5寫作143）有效數(shù)字的運算規(guī)則：運算時各個數(shù)據(jù)保留的位數(shù)一般以精度最差的那一項為基準。加減法運算以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準。乘除法運算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準。乘方、開方運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。

2.8測量數(shù)據(jù)的處理1