傅里葉變換的性質(zhì)及發(fā)展

一、工程數(shù)學里積分變換為了將復雜的操作轉(zhuǎn)換為簡單的操作，經(jīng)常使用所謂的轉(zhuǎn)換方法。例如在初等數(shù)學中,數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運算。在工程數(shù)學里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\算(如微分,積分)轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,正是積分變換這一特性,使得它在微分方程和其它方程的求解中成為重要方法之一。傅里葉變換是積分變換中常見的一種變換,它是一種對連續(xù)時間函數(shù)的積分變換,即通過某種積分變換,把一個函數(shù)化成另一個函數(shù),同時還具有對稱形式的逆變換。它通過對函數(shù)的分析來達到對復雜函數(shù)的深入理解和研究。它既能簡化計算,如求解微分方程,化卷積為乘積等等,又具有非常特殊的物理意義,不僅在數(shù)學的許多分支中,而且在自然科學和各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應用,因此它已成為不可缺少的運算工具。1.1傅里葉變換的性質(zhì)1804年,法國科學家J.-B.-J.傅里葉由于當時工業(yè)上處理金屬的需要,開始從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中,發(fā)展了熱流動方程,并且指出如何求解。在求解過程中,他提出了任意周期函數(shù)都可以用三角級數(shù)來表示的想法。他的這種思想,雖然缺乏嚴格的論證,但對近代數(shù)學以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠的影響,成為傅里葉變換的起源。從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看,傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換通過對函數(shù)的分析來達到對復雜函數(shù)的深入理解和研究。最初,傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！叭我狻钡暮瘮?shù)通過一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類。利用這一點,傅里葉變換可通過對相對簡單的事物的研究來了解復雜事物,而且現(xiàn)代數(shù)學發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì):(1)傅里葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;(2)傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;(3)正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;(4)著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;(5)離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT))。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。1.2傅里葉積分定理的充分條件由傅里葉級數(shù)知,一個周期函數(shù)可以展開成為傅里葉級數(shù),而一個非周期函數(shù)可以看成某個周期函數(shù)其周期趨向于無窮大轉(zhuǎn)化而來。根據(jù)這個思路,我們可以得到傅里葉積分公式及傅里葉積分公式成立的充分條件——傅里葉積分定理。定理2.1傅里葉積分定理如果f(t)在上的任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件,且在上絕對可積,即則上面求解偏微分方程中用到的思想,實際上就是開始時使用傅里葉變換,將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題,解出這個常微分方程的問題的解,然后利用傅里葉逆變換求出原問題的解。三、希爾伯特變換、傅里葉變換傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。它通過對函數(shù)的分析來達到對復雜函數(shù)的深入理解和研究。在幾乎所有利用傅里葉變換表示和分析物理過程的領域里都可以發(fā)現(xiàn)傅里葉變換的實部和虛部之間或者幅度和相位之間在某些情況下存在著一定的關系,這些關系雖在不同的領域有不同的名稱但通常都稱之為希爾伯特變換關系。傅里葉變換及希爾伯特變換是兩種非常重要的變換,它們之間有著許多聯(lián)系,性質(zhì)上也有許多共同之處。同時這兩種變換在數(shù)學領域及應用領域都有非常廣泛的用途。在數(shù)學領域,我們可以用傅里葉變換來解一些偏微分方程。另外,傅里葉變換開創(chuàng)了信號頻譜分析法的先河。經(jīng)驗表明,頻譜分析法透過信號的幅值和均值等表象,深入地抓住信號變化的本質(zhì)。對頻率進行分析和處理,在實際應用中往往比時域分析更為有效,遺憾的是,傅里葉頻率是用全局的正弦波定義的,因而它與時間無關。但實際中又往往很容易感覺到頻率隨時間的變化。人們相信,這種變化頻率現(xiàn)象的背后應該隱藏著相應的數(shù)學模型和規(guī)律,揭示出這種數(shù)學模型和規(guī)律對人們的生產(chǎn)和生活將會十分有益。因而瞬時頻率很早以來就成為人們熱衷的研究課題。然而在真正研究時,人們才發(fā)現(xiàn)這一課題的研究并非預料那樣容易。雖然通過時頻聯(lián)合的研究可以間接解決其