從數(shù)學模型角度談偏微分方程的討論

一、自然現(xiàn)象的數(shù)學模型復合器從最初的研究中直接來源于物理和幾何，發(fā)展到獨立于數(shù)學的分支。它的內(nèi)容和方法是復雜的。偏微分方程討論的問題不僅來源于物理、力學、生物、幾何和化學等學科的古典問題,而且在解決這些問題時應用了現(xiàn)代數(shù)學的許多工具。近幾十年來,該領域的研究工作,特別是對非線性方程的理論、應用以及計算方法的研究起到了極大的推動作用,十分活躍。用數(shù)學方法處理應用問題時,首先是要建立合理的數(shù)學模型。在科學技術日新月異的發(fā)展過程中,人們研究的許多問題用一個自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)顯得不夠了,不少問題需要用多個變量的函數(shù)來描述。這樣建立的數(shù)學模型在很多情況下是偏微分方程。比如,從物理角度來說,物理量有不同的性質(zhì),溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量;速度、電場的引力等,不僅在數(shù)值上有不同,而且還具有方向,這些量叫做向量;物體在一點上的張力狀態(tài)的量叫做張量。這些量不僅和時間有關系,而且和空間坐標也有聯(lián)系,這就要用多個變量的函數(shù)來表示。研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個變量的函數(shù)方程,這種方程就是偏微分方程。物質(zhì)總是在時間和空間中運動著的。雖然物質(zhì)的運動形式千差萬別,然而卻具有共同的量的變化規(guī)律?？陀^世界的一切事物的運動和變化在數(shù)學上的反映就是變量的概念。事物的運動和變化又是相互依賴、相互制約的,反映在數(shù)學上,就是變量之間的關系,從而又形成了函數(shù)的概念。由于大量的實際問題中,稍微復雜一些的運動過程往往不能直接寫出他們的函數(shù),卻容易建立變量及其導數(shù)(或微分)間的關系式,即微分方程。如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量,這個方程叫做常微分方程;如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù),或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關,而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程。因此微分方程分為常微分方程和偏微分方程。因為自然現(xiàn)象中可能含有一個變量,更可能含有多個變量。由于自然現(xiàn)象往往是由多種因素決定的,描寫這類現(xiàn)象的狀態(tài)函數(shù)一般是多變量的,所以,自然現(xiàn)象的數(shù)學模型用得最多的是偏微分方程。大學的《偏微分方程》課程講的正是這方面的內(nèi)容。問題在于怎樣從數(shù)學模型的角度去認識它,如何把它作為解決具體問題的技術手段。自然界中的各種必然過程,比如物理、力學和工程技術中所抽象出來的那些物理量的狀態(tài)和相互關系,一般地可以建立三類典型的偏微分方程,即雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程和橢圓型偏微分方程。在《偏微分方程》或《數(shù)學物理方程》中,它們又分別被稱為波動方程(或振動方程)、熱傳導方程、位勢方程(或拉普拉斯方程和泊松方程)。如果客體是屬于各種波動現(xiàn)象或振動現(xiàn)象,諸如電磁波的波動過程,水波、聲波等各種機械波的波動過程,弦的振動過程等,都可以用雙曲型偏微分方程來表示。因為這類客體的量變規(guī)律具有共性,它們在適當條件下都可以抽象成理想化的狀態(tài),雙曲型偏微分方程恰好提供了在理想化狀態(tài)下處理該類客體中各種量之間相互依存及發(fā)展變化的模式。如果說“雙曲型偏微分方程”這一名稱典型的刻畫了純數(shù)學中數(shù)量關系和空間形式的特征的話,那么“波動方程”(或“振動方程”)這一名詞則形象地反映了客體的質(zhì)與量的特征,它更傾向于應用數(shù)學,所以它不是出現(xiàn)在純數(shù)學中,而是成為《數(shù)學物理方程》中的術語。同理,客體若是自然界中各種輸運現(xiàn)象,諸如熱傳導過程、分子擴散過程等,都可以用拋物型偏微分方程?！稊?shù)學物理方程》中熱傳導方程正是從該類客體共有的已知科學規(guī)律出發(fā),運用現(xiàn)成的純數(shù)學工具而建立的數(shù)學模型。如果自然界中各種穩(wěn)定的物理現(xiàn)象,諸如穩(wěn)定的溫度分布、濃度分布、靜電場、無旋穩(wěn)定恒電流場等與時間無關的自然現(xiàn)象,那么就可以建立位勢方程(拉普拉斯方程和泊松方程)這樣的數(shù)學模型,這正是純數(shù)學中橢圓型偏微分方程進入穩(wěn)定的物理現(xiàn)象的橋梁。自然界是一個特大的系統(tǒng),必然現(xiàn)象不過是其中的一個子系統(tǒng)。而波動現(xiàn)象、輸運現(xiàn)象和穩(wěn)定的物理現(xiàn)象,又是必然現(xiàn)象的下一個層次的三個子系統(tǒng)。與此相對應,作為描述必然現(xiàn)象的數(shù)學模型的經(jīng)典數(shù)學,它也有雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程這三個子系統(tǒng)。因此,同是自然界中的必然現(xiàn)象,仍有次一級層次的質(zhì)的不同。究竟應該建立哪種數(shù)學模型,就要具體問題具體分析。當然,對于特定的具體問題,要確切地了解其運動,僅有反映共同運動規(guī)律的微分方程是不夠的,還要考慮所研究對象處于怎樣的待定“歷史”和“環(huán)境”之中。歷史狀況體現(xiàn)在以某一時刻為開始的初始運動狀態(tài),叫做初始條件,而周圍環(huán)境的影響則表現(xiàn)在邊界上的實際狀況,叫做邊界條件。一個微分方程只有加上確定的初始條件和邊界條件以后,才構成特定問題的數(shù)學模型,這就是《數(shù)學物理方程》中微分方程的“定解問題”。二、偏微分方程解的引進十八世紀,歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程,隨后不久,法國數(shù)學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1747年,達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中,明確導出了弦的振動所滿足的偏微分方程,并給出了其通解。提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學科。達朗貝爾發(fā)表的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》被看作是偏微分方程論的開端。和歐拉同時代的瑞士數(shù)學家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學物理方面的問題,提出了解彈性系振動問題的一般方法,對偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程,豐富了這門學科的內(nèi)容。偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀,那時候,數(shù)學物理問題的研究繁榮起來了,許多數(shù)學家都對數(shù)學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數(shù)學家傅立葉,他年輕的時候就是一個出色的數(shù)學學者。在從事熱流動的研究中,寫出了《熱的解析理論》,在文章中他提出了三維空間的熱方程,也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程發(fā)展的影響是很大的。1749年,歐拉發(fā)表的論文《論弦的振動》討論了同樣的問題,并沿用達朗貝爾的方法,引進了初始形狀為正弦級數(shù)的特解。18世紀,計算兩個物體之間的引力問題,引出另一類重要的偏微分方程——位勢方程,它是1785年拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)在論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中導出的,現(xiàn)在通常稱為“拉普拉斯方程”。隨著物理學所研究的現(xiàn)象從力學向電學以及電磁學的擴展,到19世紀,偏微分方程的求解成為數(shù)學家和物理學家關注的重心。1822年,法國數(shù)學家傅立葉(J.Fourier,1768-1830)發(fā)表的論文《熱的解析理論》,研究了吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度變化隨時間和空間的變化規(guī)律,導出了三維空間的熱傳導方程。傅立葉解決了特殊條件下的熱傳導問題,也就是滿足邊界條件和初始條件的偏微分方程的求解。并且得到結論:可以將區(qū)間上的任何函數(shù)表示為我們通常所稱的傅立葉級數(shù)。英國數(shù)學家格林(G.Green,1793-1841)是19世紀研究偏微分方程中位勢方程的重要代表人物。他用奇異點方法研究了位勢方程,并在1828年出版的小冊子《關于數(shù)學分析應用于電磁學理論的一篇論文》中建立了許多對于推動位勢理論的進一步發(fā)展極為關鍵的定理和概念,其中以格林公式和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠。19世紀導出的著名偏微分方程還有麥克斯韋電磁場方程、粘性流體運動的納維-司托克斯方程以及彈性介質(zhì)的柯西方程等,所有這些方程都不存在普遍解法。和常微分方程一樣,求偏微分方程顯式解的失敗,促使數(shù)學家們考慮偏微分方程解的存在性問題?？挛魇茄芯科⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗??？挛鞯墓ぷ骱髞肀欢韲當?shù)學家柯瓦列夫斯卡婭發(fā)展為非常一般的形式,現(xiàn)代文獻中稱有關的偏微分方程解的存在唯一性定理為“柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理”?？峦吡蟹蛩箍▼I是歷史上第一位女數(shù)學博士,歷史上為數(shù)不多的杰出女數(shù)學家之一,也是俄國科學院歷史上第一位女院士,為此俄國科學院還專門修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定。偏微分方程包含的內(nèi)容可從一個例子的研究加以介紹。弦振動是一種機械運動,當然機械運動的基本定律是質(zhì)點力學的F=ma,但是弦并不是質(zhì)點,所以質(zhì)點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而,如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段,每一小段抽象地看作是一個質(zhì)點,這樣我們就可以應用質(zhì)點力學的基本定律了。弦是指又細又長的彈性物質(zhì),比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候,弦總是繃緊著具有一種張力,這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動,雖然只因其所接觸的一段弦振動,但是由于張力的作用,傳播到使整個弦振動起來。用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。上述例子是弦振動方程,它屬于數(shù)學物理方程中的波動方程,也就是雙曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有無窮多個,但是解決具體的物理問題的時候,必須從中選取所需要的解,因此,還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式,僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性,所以就物理現(xiàn)象來說,各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件,就是初始條件和邊界條件。拿上面所舉的弦振動的例子來說,對于同樣的弦的弦樂器,如果一種是以薄片撥動弦,另一種是以弓在弦上拉動,那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同,因此產(chǎn)生后來的振動情況也就不同。天文學中也有類似情況,如果要通過計算預言天體的運動,必須要知道這些天體的質(zhì)量,同時除了牛頓定律的一般公式外,還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài),就是在某個起始時間,這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學物理方程的時候,總會有類似的附加條件。就弦振動來說,弦振動方程只表示弦的內(nèi)點的力學規(guī)律,對弦的端點就不成立,所以在弦的兩端必須給出邊界條件,也就是考慮研究對象所處的邊界上的物理狀況。帶有邊界條件的微分方程問題也叫做邊值問題。當然,客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”,如定場問題(靜電場、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等),也有“沒有邊界條件的問題”,如著重研究不靠近兩端的那段弦,就抽象的成為無邊界的弦了。在數(shù)學上,初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現(xiàn)象的共性的,是作為解決問題的依據(jù);定解條件卻反映出具體問題的個性,它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合二為一體,就叫做定解問題。求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解,然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來說,在實際中通解是不容易求出的,用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。偏微分方程的解法可以用分離系數(shù)法、傅立葉變換法、拉普拉斯變換法以及數(shù)值解法等。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問題,分離系數(shù)法可以求解無界空間的定解問題;也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學物理方程的定解。對方程實行拉普拉斯變換可以將偏微分方程轉(zhuǎn)化成常微分方程,而且初始條件也一并考慮到,解出常微分方程后進行反演就可以了。應該指出,偏微分方程的定解雖然有以上各種解法,但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的,只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問題轉(zhuǎn)化成變分問題,再求變分問題的近似解;有限差分法是把定解問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程,然后用計算機進行計算;還有一種更有意義的模擬法,它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同,但是抽象地表示在數(shù)學上是同一個定解問題,如研究某個不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問題,在數(shù)學上是拉普拉斯方程的邊值問題,由于求解比較困難,可作相應的靜電場或穩(wěn)恒電流場實驗研究,測定場中各處的電勢,從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場中的溫度分布問題。三、現(xiàn)代數(shù)學物理方程的發(fā)展趨勢隨著物理科學所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展,偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數(shù)學自身的角度看,偏微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展。從這個角度說,偏微分方程變成了數(shù)學的中心。到了20世紀隨著科學技術的不斷發(fā)展,在科學實踐中提出了數(shù)學物理方程的新問題,電子計算機的出現(xiàn)為數(shù)學物理方程的研究成果提供了強有力的實現(xiàn)手段。又因為數(shù)學的其他分支(如泛函分析、拓撲學、群論、微分幾何等等)也有了迅速發(fā)展,為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20世紀關于數(shù)學物理方程的研究有了前所未有的發(fā)展,這些發(fā)展呈如下特點和趨勢:1.在許多自然科學及工程技術中提出的問題的數(shù)學描述大多是非線性偏微分方程,即使一些線性偏微分方程作近似處理的問題,由于研究的深入,也必須重新考慮非線性效應。對非線性偏微分方程研究,難度大得多,然而對線性偏微分方程的已有結果,將提供很多有益的啟示。2.實踐中的問題是由很多因素聯(lián)合作用和相互影響的。所以其數(shù)學模型多是非線性偏微分方程組。如反應擴散方程組、流體力學方程組、電磁流體力學方程組、輻射流體方程組等,在數(shù)學上稱雙曲-拋物方程組。3.偏微分方程不再只是描述物理學、力學等工程過程的數(shù)學形式。而目前在化學、生物學、醫(yī)學、農(nóng)業(yè)、環(huán)保領域,甚至在經(jīng)濟等社會科學領域都不斷提出一些非常重要的偏微分方程。4.一個實際模型的數(shù)學描述,除了描述過程的方程外,還應有定解條件(如初始條件及邊值條件)。傳統(tǒng)的描述,這些條件是線性的,逐點表示的。而現(xiàn)在提出的很多定解條件是非線性的,特別是非局部的。對非局部邊值問題的研究是一個新的非常