第七章矩陣特征值和特征向量的計算第1頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月自然科學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題，如振動問題（橋梁或建筑物的振動、機械振動、電磁振動等），物理學(xué)中某些臨界值的確定等，常常要歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量，即求滿足

的數(shù)λ和非零列向量x其中數(shù)λ稱為A的特征值，非零列向量x為A的與特征值對應(yīng)的特征向量，

第2頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月計算n階矩陣A的特征值，就是求特征方程的非零解，而齊次線性用求解線性方程組的方法去求矩陣A的特征值只適用于低階矩陣。當(dāng)矩陣階數(shù)較高時，計算穩(wěn)定性較差，因此，必須尋求一些在計算機上計算矩陣的特征值和特征向量的較為穩(wěn)定的數(shù)值方法。方程組的非零解xi就是λi對應(yīng)的特征向量。第3頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月冪法是求實矩陣A的主特征值（即矩陣A的按模最大的特征值）及其對應(yīng)特征向量的一種迭代方法。冪法冪法的基本思想：任取一個非零初始向量x(0)

，由矩陣A構(gòu)造一個向量序列x(0)，x(1)，x(2)，…，x(k)，滿足以下條件

第4頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月上述向量稱為迭代向量，因為各特征向量是線性無關(guān)，所以初始向量x(0)可表示為矩陣A的特征向量vi的一個線性組合，即并假定α1≠0，于是（7-1）第5頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月下面分幾種情況討論：1．A有一個主特征值λ1，即當(dāng)k充分大的時候，即第6頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月由上面的討論，得表示向量x(k)的第i個分量因此Akx(0)可近似的表示矩陣A與λ1對應(yīng)的特征向量（特征向量可以相差一個常數(shù)因子）。第7頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)k很大時，

2．A的主特征值是二重根，第8頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月3.兩個主特征值互為相反數(shù)，當(dāng)k充分大時，第9頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用冪法計算矩陣的主特征值及其對應(yīng)的特征向量。第10頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取x(0)=[1，1，1]T，由迭代向量進(jìn)行計算，計算結(jié)果如下：k1234567Akx1(0)1262068232792Akx2(0)1-2-8-28-96-328-1120Akx3(0)1262068232792由上表可算得第11頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月可見第一個分量已趨于穩(wěn)定，而對于第2、第3個分量：

由此可得λ1≈3.41，因為A7x(0)=(792，-1120，792)T。而特征向量可相差一個常數(shù)因子，所以取與主特征值λ1相對應(yīng)的特征向量為第12頁，課件共14頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：可以看出，當(dāng)時，Akx(0)的分量會趨于無窮大；當(dāng)時，Akx(0)的分量又會趨于零，因此在實際計算中需要做適當(dāng)?shù)囊?guī)范化，避免發(fā)生計算機的上溢和下溢現(xiàn)象。冪法的收斂速度，雖然和初始向量x(0)的選取有關(guān)，但主要取決于比值的大小。由第13頁，課件