湖南省衡陽市萱洲第一中學2022-2023學年高二數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，，那么一定是（

）A．等腰直角三角形

B．等邊三角形

C．直角三角形D．等腰三角形參考答案：D2.已知集合,則的元素個數為

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C3.如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構成一個“鋸齒形”的數列：1，3，3，4，6，5，10，…，記此數列的前n項之和為，則的值為（

）A.66

B.153

C.295

D.361參考答案：D4.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長為2b（其中c為雙曲線的半焦距），則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】KJ：圓與圓錐曲線的綜合；KC：雙曲線的簡單性質．【分析】求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長為2b，結合勾股定理，推出a，b，c關系，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx+ay=0，圓（x﹣c）2+y2=4a2的圓心到雙曲線的漸近線的距離為：，∵漸近線被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦長為：2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e=．故選：B．5.函數在處的切線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.設隨機變量X等可能地取值1,2,3，…，10.又設隨機變量Y＝2X－1，則P(Y<6)的值為()A．0.3

B．0.5

C．0.1

D．0.2參考答案：A7.已知等差數列{an}的公差是4，則數列的公差是(

)A．14

B．12

C．4

D．8參考答案：B8.在用線性回歸方程研究數據的擬合效果中，分別作出下列四個關于四組數據的殘差圖，則用線性回歸模式擬合效果最佳的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C9.復數的值是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知數列和對任意的都有，當時，數列和的極限分別是和，則………………………（

）(A) (B)(C) (D)和的大小關系不確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數列項和為=

參考答案：1012.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若過A、C、B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與A1C1的位置關系是

．參考答案：l∥A1C1【考點】空間中直線與直線之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線l，由線面平行的性質定理，得l∥A1C1．【解答】解：因為A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因為A1C1在底面A1B1C1D1內，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線l，根據線面平行的性質定理，得l∥A1C1．故答案為：l∥A1C1．【點評】本題考查兩直線的位置關系的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．13.已知命題：?a∥b，在“橫線”處補上一個條件使其構成真命題（其中a、b為直線，α，β為平面），這個條件是．參考答案：a∥β【考點】直線與平面平行的性質．【分析】由題意設α∩β=b，a∥α，a∥β，然后過直線a作與α、β都相交的平面γ，利用平面與平面平行的性質進行求解【解答】解：∵α∩β=b，a∥α，設a∥β，過直線a作與α、β都相交的平面γ，記α∩γ=d，β∩γ=c，則a∥d且a∥c，∴d∥c．又d?α，α∩β=l，∴d∥l．∴a∥d．∴?a∥b故答案為：a∥β．14.等差數列中，，則=_______；參考答案：略15.參考答案：、、16.若雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線的焦點分成5:3兩段,則此雙曲線的離心率為______．參考答案：17.一個圓錐的側面積等于底面面積的3倍，若圓錐底面半徑為cm，則圓錐的體積是

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cm3.參考答案：【分析】根據圓錐的側面積等于底面面積的倍，計算圓錐的母線長,得出圓錐的高，代入體積公式計算出圓錐的體積.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，設，，解得，圓錐的高，圓錐的，故答案為.【點睛】本題主要考查圓錐的側面積公式、圓錐的體積公式以及圓錐的幾何性質，意在考查空間想象能力，意在考查綜合應用所學知識解決問題的能力.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在等差數列{an}中，首項a1=1，數列{bn}滿足bn=（）an，b1b2b3=（I）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2．參考答案：【考點】數列的求和；等差數列的性質．【專題】等差數列與等比數列．【分析】（I）通過b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=計算即得結論；（Ⅱ）通過an=n可知anbn=n?，利用錯位相減法計算即得結論．【解答】（I）解：設等差數列{an}的公差為d，依題意，b1=，b2=，b3=，∵b1b2b3=，∴??=，∴1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，∴an=1+（n﹣1）=n；（Ⅱ）證明：∵an=n，∴bn=，anbn=n?，記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1?+2?+3?+…+n?，則Tn=1?+2?+…+（n﹣1）?+n?，兩式相減得：Tn=+++…+﹣n?=﹣n?=1﹣﹣n?，∴Tn=2（1﹣﹣n?）=2﹣﹣，∵2﹣﹣＜2，∴a1b1+a2b2+…+anbn＜2．【點評】本題考查數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19.（本小題滿分14分）（理科學生做）如圖，在直三棱柱中，，分別是的中點，且.（1）求直線與所成角的大??；（2）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：分別以、、所在直線為軸建立空間直角坐標系.則由題意可得：,,,,,,又分別是的中點，,.

…………3分（1）因為，，所以，

…………7分直線與所成角的大小為.

…………8分（2）設平面的一個法向量為,由,得,可取，

…………10分又，所以，

…………13分直線與平面所成角的正弦值為.

…………14分20.焦點在x軸上的雙曲線過點P（，–3），且點Q（0，5）與兩焦點的連線互相垂直，（Ⅰ）求此雙曲線的標準方程;（Ⅱ）過雙曲線的右焦點傾斜角為45o的直線與雙曲線交于A、B兩點，求|AB|的長．參考答案：解析：（Ⅰ）設橢圓為（a>b>0）由題意c=5

………………2分∴b2=25–a2，∴

………………3分求得a2=16，

………………5分

∴雙曲線方程為

………………6分（Ⅱ）由題意得直線AB:y=x-5

………………8分得

………………

9分設，∴

……………10分∴||=

……………12分21.已知橢圓M：=1（a>b>c）的一個頂點坐標為（0，1），焦距為2.若直線y=x+m與橢圓M有兩個不同的交點A，B（I）求橢圓M的方程；（II）將表示為m的函數，并求△OAB面積的最大值（O為坐標原點）參考答案：（Ⅰ）=1（II），（-2<m<2）；△OAB面積的最大值為【分析】（I）已知條件說明，，從而可得，得橢圓方程；（II）把直線方程代入橢圓方程，設交點為，由判別式求得的取值范圍，用韋達定理求得，由弦長公式求得弦長，再求出點到直線的距離，從而得出的面積表示為的函數，由函數的知識可得最大值．【詳解】（I）由題意可知：c=,b=1由得：a=所以橢圓的標準方程為：=1（II）設點A坐標為（）、點B坐標為（）聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y整理得4+6mx+3-3=0由直線與橢圓相交可得：△=36-16（3-3）>0,即<4解得：-2<m<2=-,=點O到直線l的距離d=所以=(-2<m<2)當，即m=±時，△OAB面積的最大值為【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直橢圓中的面積問題．解題中注意設而不求思想的運用．直線與橢圓相交弦長問題，一般都是設交點為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立后消元，由判別式求得參數的取值范圍，用韋達定理求得，由弦長公式求得弦長．22.如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）證明：在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC，并求的值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根據向量關系，以及直線垂直，利向量法進行求解即可．【解答】證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因為BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，所以AM⊥BC．因為PA=AB，M為PB的中點，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如圖，在平面ABC內，作AZ∥BC，則AP，AB，AZ兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A﹣xyz．則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，設平面APC的法向量為，則即令y=1，則z=﹣2．所以=