湖南省衡陽(yáng)市萱洲第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，，那么一定是（

）A．等腰直角三角形

B．等邊三角形

C．直角三角形D．等腰三角形參考答案：D2.已知集合,則的元素個(gè)數(shù)為

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C3.如圖，在楊輝三角形中，斜線(xiàn)的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記此數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，則的值為（

）A.66

B.153

C.295

D.361參考答案：D4.已知雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長(zhǎng)為2b（其中c為雙曲線(xiàn)的半焦距），則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KJ：圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合；KC：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，利用漸近線(xiàn)被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得弦長(zhǎng)為2b，結(jié)合勾股定理，推出a，b，c關(guān)系，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．【解答】解：雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)方程為bx+ay=0，圓（x﹣c）2+y2=4a2的圓心到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為：，∵漸近線(xiàn)被圓（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦長(zhǎng)為：2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e=．故選：B．5.函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3，…，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y＝2X－1，則P(Y<6)的值為()A．0.3

B．0.5

C．0.1

D．0.2參考答案：A7.已知等差數(shù)列{an}的公差是4，則數(shù)列的公差是(

)A．14

B．12

C．4

D．8參考答案：B8.在用線(xiàn)性回歸方程研究數(shù)據(jù)的擬合效果中，分別作出下列四個(gè)關(guān)于四組數(shù)據(jù)的殘差圖，則用線(xiàn)性回歸模式擬合效果最佳的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C9.復(fù)數(shù)的值是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知數(shù)列和對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，數(shù)列和的極限分別是和，則………………………（

）(A) (B)(C) (D)和的大小關(guān)系不確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列項(xiàng)和為=

參考答案：1012.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若過(guò)A、C、B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線(xiàn)為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是

．參考答案：l∥A1C1【考點(diǎn)】空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線(xiàn)l，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，得l∥A1C1．【解答】解：因?yàn)锳1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因?yàn)锳1C1在底面A1B1C1D1內(nèi)，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線(xiàn)l，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，得l∥A1C1．故答案為：l∥A1C1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．13.已知命題：?a∥b，在“橫線(xiàn)”處補(bǔ)上一個(gè)條件使其構(gòu)成真命題（其中a、b為直線(xiàn)，α，β為平面），這個(gè)條件是．參考答案：a∥β【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)．【分析】由題意設(shè)α∩β=b，a∥α，a∥β，然后過(guò)直線(xiàn)a作與α、β都相交的平面γ，利用平面與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行求解【解答】解：∵α∩β=b，a∥α，設(shè)a∥β，過(guò)直線(xiàn)a作與α、β都相交的平面γ，記α∩γ=d，β∩γ=c，則a∥d且a∥c，∴d∥c．又d?α，α∩β=l，∴d∥l．∴a∥d．∴?a∥b故答案為：a∥β．14.等差數(shù)列中，，則=_______；參考答案：略15.參考答案：、、16.若雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線(xiàn)段F1F2被拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)分成5:3兩段,則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．參考答案：17.一個(gè)圓錐的側(cè)面積等于底面面積的3倍，若圓錐底面半徑為cm，則圓錐的體積是

▲

cm3.參考答案：【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于底面面積的倍，計(jì)算圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng),得出圓錐的高，代入體積公式計(jì)算出圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)，，解得，圓錐的高，圓錐的，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的側(cè)面積公式、圓錐的體積公式以及圓錐的幾何性質(zhì)，意在考查空間想象能力，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=（）an，b1b2b3=（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）通過(guò)b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=計(jì)算即得結(jié)論；（Ⅱ）通過(guò)an=n可知anbn=n?，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，b1=，b2=，b3=，∵b1b2b3=，∴??=，∴1+（1+d）+（1+2d）=6，解得：d=1，∴an=1+（n﹣1）=n；（Ⅱ）證明：∵an=n，∴bn=，anbn=n?，記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1?+2?+3?+…+n?，則Tn=1?+2?+…+（n﹣1）?+n?，兩式相減得：Tn=+++…+﹣n?=﹣n?=1﹣﹣n?，∴Tn=2（1﹣﹣n?）=2﹣﹣，∵2﹣﹣＜2，∴a1b1+a2b2+…+anbn＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19.（本小題滿(mǎn)分14分）（理科學(xué)生做）如圖，在直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，且.（1）求直線(xiàn)與所成角的大小；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.參考答案：分別以、、所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則由題意可得：,,,,,,又分別是的中點(diǎn)，,.

…………3分（1）因?yàn)?，，所以?/p>

…………7分直線(xiàn)與所成角的大小為.

…………8分（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,可取，

…………10分又，所以，

…………13分直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.

…………14分20.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（，–3），且點(diǎn)Q（0，5）與兩焦點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，（Ⅰ）求此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)傾斜角為45o的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓為（a>b>0）由題意c=5

………………2分∴b2=25–a2，∴

………………3分求得a2=16，

………………5分

∴雙曲線(xiàn)方程為

………………6分（Ⅱ）由題意得直線(xiàn)AB:y=x-5

………………8分得

………………

9分設(shè)，∴

……………10分∴||=

……………12分21.已知橢圓M：=1（a>b>c）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），焦距為2.若直線(xiàn)y=x+m與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B（I）求橢圓M的方程；（II）將表示為m的函數(shù)，并求△OAB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）參考答案：（Ⅰ）=1（II），（-2<m<2）；△OAB面積的最大值為【分析】（I）已知條件說(shuō)明，，從而可得，得橢圓方程；（II）把直線(xiàn)方程代入橢圓方程，設(shè)交點(diǎn)為，由判別式求得的取值范圍，用韋達(dá)定理求得，由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而得出的面積表示為的函數(shù)，由函數(shù)的知識(shí)可得最大值．【詳解】（I）由題意可知：c=,b=1由得：a=所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1（II）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（）、點(diǎn)B坐標(biāo)為（）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，消去y整理得4+6mx+3-3=0由直線(xiàn)與橢圓相交可得：△=36-16（3-3）>0,即<4解得：-2<m<2=-,=點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=所以=(-2<m<2)當(dāng)，即m=±時(shí)，△OAB面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直橢圓中的面積問(wèn)題．解題中注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．直線(xiàn)與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般都是設(shè)交點(diǎn)為，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立后消元，由判別式求得參數(shù)的取值范圍，用韋達(dá)定理求得，由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．22.如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）證明：在線(xiàn)段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC，并求的值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線(xiàn)與平面垂直的判定．【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根據(jù)向量關(guān)系，以及直線(xiàn)垂直，利向量法進(jìn)行求解即可．【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因?yàn)锽C⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，所以AM⊥BC．因?yàn)镻A=AB，M為PB的中點(diǎn)，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如圖，在平面ABC內(nèi)，作AZ∥BC，則AP，AB，AZ兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，設(shè)平面APC的法向量為，則即令y=1，則z=﹣2．所以=