專練09四邊形中的面積和周長問題

1.如圖1,在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF,交點(diǎn)為G.

(1)求證：AE1BF；

(2)將ABCF沿BF對折，得到ABPF(如圖2),延長FP到與BA的延長線于點(diǎn)Q,求案的值；

(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM(如圖3),若AM和BF

相交于點(diǎn)N,當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積.

【答案】(1)證明：如圖1,

VE,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn),

???CF=BE,

在RSABE和RtABCF匚3

AB=BC

{△ABE=ZBCF

BE=CF

???RSABEgRSBCF(SAS),

AZBAE=ZCBF,

XVZBAE+ZBEA=90°,

/.ZCBF+ZBEA=90°,

?,.ZBGE=90°,

AAE1BF.

(2)解：如圖2,根據(jù)題意得，

FP二FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90°

VCD//AB,

/.ZCFB=ZABF,

AZABF=ZPFB,

AQF=QB,

令PF=k(k>0),則PB=2k

在RSBPQ中，設(shè)QB=x,

Jx2=(x-k)2+4k2,

.5k

??X=一，

2

?BP2k

??----=5k_4

QB

(3)解：如圖3,

??,正方形ABCD的面積為4,

，邊長為2,AM=AB=V5

VZBAE=ZEAM,AEJ_BF,

:.AN=AB=2,

■:ZAHM=90°,

???GN〃HM,

/.△AGN^AAHM

?SMGN_(AN、2

*'SAAHM-'

AGN、

*?*~S-~-_(12同2，

SAAGN=g?

4i

,***S四邊形GHMN=SAAHM—SAAGN=1-5=5'

.??四邊形GHMN的面積是1.

2.如圖，四邊形ABCD為矩形，連接對角線AC,分別作/BAC、/BCA、NACD、NDAC的角平分線AE、

CE、CF、AF.

(1)當(dāng)AB=BC時(shí)，求證：四邊形AECF是菱形;

(2)設(shè)AB=4,BC=3,分別作EMLAC于點(diǎn)M,FNJ_AC于點(diǎn)N,求MN的長；

(3)分別作EGJ_BC于點(diǎn)G,FHLCD于點(diǎn)H,當(dāng)GC=3,HC=4時(shí)，求矩形ABCD的面積.

【答案】(1)解：???四邊形ABCD為矩形，

???AB〃CD,

AZBAC=ZDCA,

TAE平分NBAC,CF平分NACD,

AZEAC=ZFCA,

???AE〃CF,

同理，AF〃CE,

???四邊形AECF是平行四邊形，

VAB=BC,

???NBAC=NACB,

,.,AE平分NBAC,CE平分NACB,

AZEAC=ZECA,

:.AE=CE,

???四邊形AECF是菱形

(2)解：過E作EHJ_BC于點(diǎn)H,EG_LAB于點(diǎn)G,分別作EMLAC于點(diǎn)M,FNLAC于點(diǎn)N,

VZB=90°,

???四邊形BHEG為矩形，

???AE平分NBAC,CE平分NACB,

???EM=EG=EH,

，四邊形BHEG是正方形，

:.BG=BH,

VEM=EG=EH,AE=AE,CE=CE,

ARtAAEG^RtAAEM(HL),RtACEH^RtACEM(HL)，

AAM=AG,CM=CH,

VAB=4,BC=3,

???AC=5,

x+y=5x=3

設(shè)AM=AG=x,CM=CH=y,BH=BG=z,貝!j{x+z=4,解得，{y=2

y+z=3z=1

???AM=3,CM=2,

(1)知四邊形AECF是平行四邊形，

???AF=CE,AF〃CE,

???NFAN=NECM,

VZANF=ZCME=90°,

AAANF^ACME(AAS),

，AN=CM=2,

AMN=AM-AN=3-2=1

(3)解：過E作EKI.AB丁點(diǎn)K,EL_LAC于點(diǎn)L,如圖，

G

???矩形ABCD中AB〃CD,

???NBAC=NACD,

TAE、CF分別平分NBAC和NACD,

AZKAE=ZHCF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

，AE=CF,

VZAKE=ZCHF=90°,

AAAEK^ACHF(AAS),

AAK=CH=4,

TAE平分NBAC,CE平分NACB,

；?EK=EL=EG,

VAE=AE,CE=CE,

ARtAAEK^RtAAEL(HL),RtACEG^RtACEL(HL),

AK=AL=4,CG=CL=3,

:.AC=AL+CL=4+3=7,

,.?EK=EG,NEKB=NB=NEGB=90。，

???四邊形BGEK為正方形，

:.BG=BK,

不妨設(shè)BG=BK=x,則AB=4+x,BC=3+x,

在RSABC中，由勾股定理得，(x+3)2+(x+4)2=72,

解得，x=H，或x=1曳=(舍去)，

22

；.AB=4+x=,BC=3+x=①，

22

二矩形ABCD的面積=AB?BC=24.

3.如圖，正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，且，CD=3DE將AADE沿AE翻折至

AAFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF.

(1)求證：AABG=AAFG

(2)求證：BG=GC；

(3)求AFGC的面積.

【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形,

:.AB=DC=AD=6,ZB=ZD=90°,

:將AADE對折得到AAFE，

二AF=AD，zAFE=90°,

???ZAFG=90°=Z.B

又＜AG=AG,

，AABGwAAFG

(2)證明：???AB=DC=6,CD=3DE,

/.DE=2,CE=4,

???EF=DE=2,

設(shè)FG=x,

貝ljBG=FG=x,CG=6-x,CG=x+2,

在直角三角形ECG中，由勾股定理得，42+(6-X)2=(x+2)2,

解得x=3,

:.BG=FG=3,CG=6—3=3,

???BG=GC.

(3)解：過點(diǎn)F作FN1CG于點(diǎn)N,

貝ijzFNG=zDCG=90°,

又,:ZFGN=ZEGC,

JAGFN-AGEC,

,GFFN

GEEC

?3FN

??二=—，

54

12

AFN=y,

ASACGF=-CG?FN=-x-x3=-

2255

4.如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,/DAB=/ACB=90。，過點(diǎn)D作DE_LAC,垂足為F,DE與AB相交

于點(diǎn)E

D

(1)求證：ABAF=CBCD

(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DP=xcm(x>0),四邊形BCDP的面積為yen?

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時(shí)，aPBC的周長最小，并求出此時(shí)y的值。

【答案】(1)證明：VZDAB=90°

AZDAF+ZBAC=90°

VDF1AC

AZDFA=90°,ZDAF+ZADF=90°

AZBAC=ZADF,

ZDFA=ZACB=90°

AADFA^AACB

.AFAD

.?■—_，,

CBAB

???ABAF=CBAD,

,:AD=CD,

ABAF=CBCD；

(2)解：①)AB=15,BC=9,ZACB=90°,

AAC=VAB2-BC2=4152—92=12,

■:AD=CD,DE1AC,

AAF=CF=6,

y=j-(x4-9)-6=3x+27；

@VBC=9,△PBC的周長=PB+PC+BC,

J當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最小，

山(1)知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)是點(diǎn)A,

?,.PB+PC=PB+PA,

,當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB+PA最小，

此時(shí)DP=DE,PB+PA=AB,

ABAF=CBAD,

A15x6=9AD,

AAD=10,

???再是4ABC中位線，

AAE="AB=7.5,

2

DE=VAE2+AD2=V7.52+102=y,

當(dāng)x=g時(shí)，△PBC周長最小，

129

；.y=3x+27=詈.

5.如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)。為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線

AD-DO-OC,以每秒2厘米的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)Q,以PQ

為邊向右作正方形PQMN,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).

圖1圖2卷用圖

(1)求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的取值范圍；

(3)當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)求出t的值.

【答案】(1)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，

Dc

A(Q)MB

丁四邊形PQMN是正方形，

工PN//QM,PN=PQ=2t,

???△DPNDQB,

:.xOy,

,.?PN=PQ=PA=2t,DP=6-2t,QB=AB=8,

?6-2t2t

.?------=—,

68

12

.?.t+=一,

7

當(dāng)t=￡時(shí)，點(diǎn)N落在BD上；

(2)2<t<-

2

(3)解：設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E,

?直線DN平分^BCD面積，

?*.BE=CE=3,

①如圖，點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)E作EH//PN交AD于點(diǎn)H,

■:△DPNDHE,

xOy,

VPN=PA=2t,DP=6-2t,DH=CE=3,EH=AB=8,

等=m，解得t=g

5o11

②如圖，點(diǎn)P在DO上，連接OE,

D

有0E=4,OE//DC//AB//PN,

△DPNDOE,

JxOy,

VDP=2t-6,DO=5,OE=4,

?2t—6PNnz80、

??—=—，即PN=-z(t-3),

△BPQBDA,

,BP_PQ

??BD-DA'

BP=6+10-2t=16-2t,

???柴若，即PQ=38-t),

"：PN=PQ,

???|(t-3)=|(8-t),解得t=B；

③如圖，點(diǎn)P在OC匕設(shè)DE與OC交于點(diǎn)S,連接OE,交PQ于點(diǎn)R,

DC

有OE=4,OE//DC,

△DSC~&ESO,

?SCDC

??———

SOOE

???SC=2S0,

0C=5,

PN//AB//DC//OE,

△SPN?ZiSOE,

xOy,

SP=6+5+--2t=--2t,

33

38~

T-2tPNnz152244

-^-5-=—，即MnPN=--yt,

3

PR//MN//BC，

△ORPOEC>

OP_PR

OC-CEf

OP=2t-ll,0C=5,EC=3,

2t-llPR6d33

=—，BHJIIPnRn=-t------,

5----355

QR=BE=3,

PQ=PR+QR=|t-y+3=|t-y,

PN=PQ,

1522446人18

t=_t,解得t=9,

55----------55

綜上：t的值為意，y?-y,

【解析】解：（2）①如圖，當(dāng)MN過點(diǎn)。時(shí),

QM=QP=2t,MB=8-2t,

?.?四邊形PQMN是正方形，

JMN//DQ,

?.?點(diǎn)O是DB中點(diǎn),

，QM=BM,

二2t=8-2t,解得t=2,

②如圖，當(dāng)PQ過點(diǎn)O時(shí)，

???四邊形ABCD是矩形，

二NA=90。，

VAB=8,AD=6,

.\DB=10,

?點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

:.DO=5,

,2t=AD+DO=6+5=11,解得t=￡,

.??當(dāng)點(diǎn)。在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是2<t<￡；

故答案為：2<t<y;

6.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF,以CF為對角線作正方形

CGFE(C,G,F,E按逆時(shí)針排列)，連接BE,DG.

(1)當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí).

①求證：BE=DG；

②求證：CD-FD=V2BE;

(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S],正方形CGFE的面積為S2,以C,G,D,F為原點(diǎn)的四邊形的面積為

S3,當(dāng)蘭=黃時(shí)，請直接寫出勤的值.

【答案】(1)解：①證明：

???四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形

ZBCD=ZECG=90°,BC=DC,EC=GC

，zBCD-zECD=zECG-zECD

即ZBCE=ZDCG

△BCE三△DCG(SAS)

BE=DG

②證明：

方法一：在線段CD上截CH=FD,連接HG,設(shè)FG與CD相交于點(diǎn)M

丁四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形

:.ZADC=ZCGF=90°,GC=GF

ZMFD+ZFMD=90°,zMCG+zCMG=90°

NFMD=zCMG

...NMFD=NMCG

/?△FDG三△CHG(SAS)

DG=HG,ZDGF=zHGC

二Z.DGF+ZFGH=ZHGC+ZFGH=90°,即Z.DGH=90°

在Rt△DGH中，

DH2=DG2+HG2=2DG2

二DH=V2DG=V2BE

CD-FD=CD-HC=DH

CD-FD=V2BE

方法二：連接AC

AD

?.?四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形

NADC=ZFGC=90°,AD=DC,FG=CG,zACDzFCG=45°

ZACD-ZFCD=ZFCG-ZFCD

即ZACF=ZDCG

在RtAADC和Rt△FCG中，

AC2=AD2+CD2=2CD2

:.FC2=FG2+CG2=2CG2

AC=V2CD,FC=V2CG

任=吧=/

DCGC

vzACF=zDCG

二△ACFDCG

==V2,AF=V2DG=V2BE

；?CD-FD=V2BE

⑵解:［或打

①根據(jù)m=,設(shè)DC=5n,GC=V13n,FD=n,由⑴有，DG=2V2n，

從而有包屋竺5"空竺=三

Si5nx5n10

ADF

②根據(jù)標(biāo)=a，設(shè)DC=5n,GC=V13n,FD=n,

S1(nx5n+VI^nxVI^n)

從而有39

Si5nx5n25

故答案為：卷或卷，

7.如圖1,在正方形ABCD中,G為線段BD上一點(diǎn)，連接AG,過G作AG_LGE交BC于E,連

接AE.

(1)求證：BG=DG+V2BE;

(2)如圖2,AB=4,E為BC中點(diǎn)，P,Q分別為線段AB,AE上的動(dòng)點(diǎn)，滿足QE=V^AP,

則在P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)以PQ為對角線的正方形PRQS的一邊恰好落在AABE的某一邊上時(shí)，直

接寫出正方形PRQS的面積.

【答案】(1)證明：連接AC與BD相交于O,作GHLAB,GI1BC,

.*.ZAHG=ZBIG=90°,

丁四邊形ABCD為正方形，

AZABE=90°,ZBAC=ZABD=ZCBD=45°,ZAOG=90°,AB=V2A0,BD=20D,

???HG=GI(角平分線上的點(diǎn)到角兩端距離相等)，

ZHGI=360°-ZBHG-ZBIG-ZABE=90°,

ZAGH=ZAGE-ZHGE=90°-ZHGE,ZIGE=ZIGH-ZHGE=90°-ZHGE,

AZAGH=ZIGE,

在△AGH和AEGI中，

ZAHG=ZBIG

<{HG=GI

4AGH=ZIGE

.,.△AGH^AEGI(ASA)

AAG=GE,

???△AGE為等腰直角三角形，ZEAG=45°,

?,.ZBAE=45°-ZEAC=ZCAG,

VZABC=ZAOG,

AAABE^AAOG,

史=竺=&,

OGAO'

?小廠V2BE

2

BD=2(0G+GD)=2(^+GD)=V2BE+2GD,

BG=BD-DG=V2BE+2DG-DG=DG+V2BE

(2)解：?.?四邊形ABCD為正方形，

AZABC=90°,BC=AB=4,

,/E為BC中點(diǎn)，

，BE=2,AE=VAB2+BE2=2V5,

；?coszBAE=-^==—,tanzBAE=—=-,

2\[S5AB2

設(shè)AP=x,則QE=V5x

①若正方形PRQS的一邊恰好落在AE上，分兩種情況

如下圖，若為正方形PiRiQiSi,

則AS】=APi?coszBAE=等，S1Q1=P5=ASI-tan/BAE=y

AE=ASt+SjQi+QjE=^+yx+V5x=2V5,

解得：x=：,s正=(ASJ2=(?x]2=總；

若為正方形P2R2Q2s2，

則AR2=AP2-COSZBAE=等，P2R2=AR2-tanzBAE=?

,,AE=AR2+R2E=竽+bX=2V5

22

解得：x=y,$正=(P2R2)=(yx)=；

②若正方形PRQS的一邊恰好落在AB上，分兩種情況

貝U祟=tan/BAE=[R3P3=R3Q3,

AK34

AR3=2Ap3=2x,R3Q3—AP3=X?AQ3=cos4;AE=遙X，

AE=AQ3+Q3E=2㈠x=2A/5,

解得X=1,$正=(R3Q3)2=x2=1.

若為正方形P4R3Q3s4，

則...*=tanzBAE=；,RP=RQ,

AK3/3433

AR3=|AP4=|X,Q3R3=241X,AQ3=q=fx

貝|JAE=AQ3+Q3E=yx+V5x=2V5,

解得x=|,s正=(R3Q3)2=(gx)2=：.

③若正方形PRQS的一邊恰好落在BE上，

由QE=V^AP可知，Q點(diǎn)和E點(diǎn)不可能重合，若P點(diǎn)和B點(diǎn)重合，如下:

此時(shí)AP=4,又AS=2SQ=SP,

:.AS=4x：X2=J，AQ=AS4--=—,

33P53

QE=2Z一#=管于V5AP，故舍去.

綜上所述：正方形PRQS的面積可以為：橙，穿，1,；.

16494

8.能夠完全重合的平行四邊形紙片ABCD和AEFG按圖①方式擺放，其中AD=AG=5,AB=9.點(diǎn)

D,G分別在邊AE,AB上，CD與FG相交于點(diǎn)H.

圖①

(1)(探究)求證:四邊形AGHD是菱形.

(2)(操作一)固定圖①中的平行四邊形紙片ABCD,將平行四邊形紙片AEFG繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定的角度，使點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為.

(3)(操作二)四邊形紙片AEFG繞著點(diǎn)A繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，連接DG,

CF,如圖③若sinzBAD=,則四邊形DCFG的面積為.

【答案】(1)解：???四邊形ABCD和AEFG都是平行四邊形

AE//GF.AB//DC,即AD//GH,AG//DH

???四邊形AGHD是平行四邊形

又???AD=AG=5

???平行四邊形AGHD是菱形；

(2)56

(3)72

【解析】解：操作一：如圖，設(shè)AE與DF相交于點(diǎn)H,AB與FG相交于點(diǎn)M

???四邊形ABCD和AEFG是兩個(gè)完全重合的平行四邊形

:.AD=FE,Z.D=Z.E,DF=AB=9

Z.D=Z.E

在AADH和4FEH中，｛zAHD=ZFHE

AD=FE

ADH三&FEH(AAS)

AH=FH,△ADH和AFEH的周長相等

同理可得：△ADH三&FEH=AFBM三XAGM

ADH、AFEH、△FBM、△AGM的周長均相等

又vAD=5,DF=AB=9

???△ADH的周長為LADH=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14

則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為4LAADH=4x14=56

故答案為：56；

操作二：如圖，設(shè)AB與DG相交于點(diǎn)N

四邊形ABCD和AEFG是兩個(gè)完全重合的平行四邊形

AD=AG=5,CD=FG=AB=9/BAD=ZBAG,CD//AB//FG

???△ADG是等腰三角形，且AB平分ZDAG

??.ABJ.DG,DN=NG/DG

???CD1DG

在Rt△ADN中，sinZNAD=—=,即竺=2

AD555

解得DN=4

DG=2DN=8

又???CD//FG.CD=FG

???四邊形DCFG是平行四邊形

CD1DG,即ZCDG=90°

???平行四邊形DCFG是矩形

則四邊形DCFG的面積為DG?CD=8x9=72

故答案為：72.

9.已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2H，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與

點(diǎn)P重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，折痕為EF。

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則線段EB=,EF=:

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B,C均不重合時(shí)，取EF的中點(diǎn)0,連接并延長P0與GF的延長線交于點(diǎn)M,

連接PF,ME,MAo

①求證：四邊形MEPF是平行四邊形；

②當(dāng)tanNMAD=1時(shí)，求四邊形MEPF的面積。

【答案】(1)2：4

(2)解：①證明：如圖2,

?在矩形ABCD中，CD〃AB,

由折疊(軸對稱)性質(zhì)，得：MG〃PE,

.,.ZMFO=ZPEO,

?點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)，：.0F=OE,

又NFOM=NEOP,

.,.△FOM^AEDP

.?.MF=PE,.?.四邊形MEPF是平行四邊形

②如圖2,連接PA與EF交于點(diǎn)H,則EFJ_PA且PH=AH,

又由①知：PO=MO,；.MA〃EF,則MAJ_PA,

又DA_LBA,；.NMAD=/PAB,

tan/MAD=tan/PAB=-

3

在RSPAB中，tanNPAB=黑=g

而AB=6,，PB=2,

又在RtAPEB中，若設(shè)PE=x,則BE=6-x,

由勾股定理得：x2-(6-x)2=22,則PE=x=g,

而PGJ_MG且PG=AD=273,

又四邊形MEPF是平行四邊形，

，四邊形MEPF的面積為PExPG=-x2V3=—。

33

【解析】⑴過點(diǎn)F作FHLAB于點(diǎn)H,

???將矩形ABCD折疊，點(diǎn)A,點(diǎn)P,點(diǎn)C重合，

，AE=CE,ZFEA-ZFEC,

?矩形ABCD,

.\AD=BC=2V3，/B=90。，DC〃AB,

，ZCFE=ZFEA,

二ZCFE=ZFEC

.*.CF=CE

設(shè)AE=x,則CE=x,BE=6-x

在RtABCE中,BE2+BC2=EC2

22

,,（6-x）+（2V3）=x2

解之：x=4

；.AE=CF=CE=4,

BE=6-4=2,DF=CD-CF=6-4=2,

?矩形ADFH,

，DF=AH=2,AD=FH=2V3,HE=AB-AH-BE=6-2-2=2,

在RtAFEH中，

EF=VFH2+HEZ=J（2V3）Z+22=4

故答案為：2,4.

P

10.中心為。的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm.點(diǎn)-Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速

度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng)，連接PB,PE,QB,QE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

(1)求證：四邊形PBQE為平行四邊形；

(2)求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比.

【答案】(1)證明：???中心為。的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm,

；.AB=BC=CD=DE=EF=FA,NA=NABC=NC=ND=/DEF=/F,

?.?點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng),

；.AP=DQ=t,PF=QC=6-t,

在^ABP和小DEQ中，

AB=DE

{ZA=ZD,

AP=DQ

/.△ABP^ADEQ(SAS),

，BP=EQ,同理可證PE=QB,

，四邊形PEQB是平行四邊形；

(2)由(1)可知四邊形PEQB是平行四邊形

...當(dāng)NBQE=9(T0^,四邊形PEQB是矩形

過點(diǎn)B,點(diǎn)E作BNLCD,EM1CD,連接OC,OD,過點(diǎn)。作OHLCD

ZBNQ=ZQME=90°,

.,.ZBQN+ZNBQ=90°,ZBQN+ZEQM=90°

r.ZNBQ=ZEQM

.,.△NBQ^AMQE

.BN_QM

**NQ-EM

又?..正六邊形ABCDEF的半徑為6,

...正六邊形ABCDEF的各邊為6,ZBCQ=ZEDQ=120°

:.在RtABNC和RtAEDM中，/NBC=/DEM=30°

，NC=DM=m=3,BN=EM=3>/3

，這=學(xué)，解得：

9-x3V3

X]=6,x2=0(舍去)

即當(dāng)P與F重合，Q與C重合時(shí)，四邊形PEQB是矩形

此時(shí)矩形PEQB的面積為BC-CE=6x6V3=36M

,在正六邊形ABCDEF中，ZCOD=60°,OC=OD

.?.△OCD是等邊三角形，OC=OD=CD=6,OH=3顯

S六邊形ABCDEF=gXCDxOHX6

=|x6x3V3x6

=54V3,

，S矩形PBQE：S六邊形ABCDEF=3673：546=2：3

IL已知：在RtAABC中，ZABC=90,°AB=BC,以B為頂點(diǎn)作ABDE,BD=BE/DBE=90°,連接

AD,CE.

(1)如圖1,若ZCBE=120°,AD1BD,BE=2.5,求AABC的面積:

A

(2)如圖2,若F為AD的中點(diǎn)，連接FB并延長交CE于H,求證：FH1CE

A

圖2

(3)如圖3,NCBE=120°,G為AB上一點(diǎn)，BG=BD,連接DG,F為AD上一點(diǎn)，rFBG=zFDG,

連接FG,過A作AHJLGF于H,若SACBE=36,SBDF=26,GF+DF=9,請直接寫出AH的長.

【答案】(1)解：VBE=2.5

???BD=BE=2.5

vZCBE=120°

AZABD=360°一乙ABC—zDBE-zCBE

=360°—90°—90°-120°=60°

???AD1BD

(2)證明：過A作AM//BD交BF延長線于M

???Z3=Z4,乙MAB+ZABD=180°

vF為AD的中點(diǎn)

???AF=DF

v在AAFM與ADFB中

Z3=Z4

{zl=z2

AF=DF

???AAFM=ADFB(AAS)

???AM=BD

：?AM=BE

vZCBE+ZABD=360°-zABC-zDBE=180

（3）解：日

【解析】（3）在BF上取一點(diǎn)M,使得BM=DF,連接GM,過A作AN_LBF交BF延長線于

N,

先證：AGMB=AGFD（SAS）,可得等邊AGMF

可得BF=GF+DF=9

on

再由角平分線推出AH=AN,而SAABF=36-26=10,故AH=丁.

12.

（1）如圖1,點(diǎn)P為矩形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF//BC,分別