方法技巧專(zhuān)題九最值法解析探究平面內(nèi)最短路徑的原理主要有以下兩種：一是“垂線(xiàn)段最短”，二是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”．立體圖形上的最短路徑問(wèn)題需借助平面展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．求平面內(nèi)折線(xiàn)的最短路徑通常用軸對(duì)稱(chēng)變換、平移變換或旋轉(zhuǎn)變換等轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段．一、立體圖形最值問(wèn)題：【例題】我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是25尺．【分析】這種立體圖形求最短路徑問(wèn)題，可以展開(kāi)成為平面內(nèi)的問(wèn)題解決，展開(kāi)后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個(gè)直角三角形求斜邊的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理可求出．【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長(zhǎng)20尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×3=15（尺），因此葛藤長(zhǎng)為=25（尺）．故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解．【同步訓(xùn)練】如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是25．考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．分析：先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短進(jìn)行解答．解答：解：如圖所示，∵三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案為25．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．二、三角形內(nèi)最值問(wèn)題：【例題】（2016·廣西百色·3分）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，D為線(xiàn)段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】連接CC′，連接A′C交y軸于點(diǎn)D，連接AD，此時(shí)AD+CD的值最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出四邊形CBA′C′為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出A′C的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)論．【解答】解：連接CC′，連接A′C交l于點(diǎn)D，連接AD，此時(shí)AD+CD的值最小，如圖所示．SHAPE∵△ABC與△A′BC′為正三角形，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴四邊形CBA′C′為邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BA′C′=60°，∴A′C=2×A′B=2．故選C．【同步訓(xùn)練】(蘭州中考改編)如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△周長(zhǎng)最小，求∠AMN＋∠ANM的度數(shù)．作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，連接AM，AN，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．作DA延長(zhǎng)線(xiàn)AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.三、四邊形內(nèi)最值問(wèn)題：【例題】（2017黑龍江鶴崗）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，EC=1，則PC+PE的最小值是5．【考點(diǎn)】PA：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】連接AC、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)即為PC+PE的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接AC、AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，∴AE的長(zhǎng)即為PC+PE的最小值，∵CD=4，CE=1，∴DE=3，在Rt△ADE中，∵AE===5，∴PC+PE的最小值為5．故答案為：5．【同步訓(xùn)練】（2017貴州安順）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為6．【考點(diǎn)】PA：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；KK：等邊三角形的性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，所以連接BD，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PD+PE=BE最小，而B(niǎo)E是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，可求出AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P，連接BD，∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度；∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∴AB=6．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=6．故所求最小值為6．故答案為：6．四、二次函數(shù)最值問(wèn)題【例題】（2017?新疆）如圖，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的速度向點(diǎn)B、C、D、A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，四個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s時(shí)，四邊形EFGH的面積最小，其最小值是18cm2．【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤6），則AE=t，AH=6﹣t，由四邊形EFGH的面積=正方形ABCD的面積﹣4個(gè)△AEH的面積，即可得出S四邊形EFGH關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，配方后即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤6），則AE=t，AH=6﹣t，根據(jù)題意得：S四邊形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，∴當(dāng)t=3時(shí)，四邊形EFGH的面積取最小值，最小值為18．故答案為：3；18【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值、三角形以及正方形的面積，通過(guò)分割圖形求面積法找出S四邊形EFGH關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【同步訓(xùn)練】（2017?樂(lè)山）已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx（m為常數(shù)），當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為﹣2，則m的值是（）A．QUOTE32 B．2 C．QUOTE32或2 D．-32或2【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值．【分析】將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三種情況，根據(jù)y的最小值為﹣2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=1+2m=﹣2，解得：m=﹣QUOTE32；②若m＞2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4﹣4m=﹣2，解得：m=QUOTE32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m2=﹣2，解得：m=2或m=﹣2＜﹣1（舍），∴m的值為﹣QUOTE32或2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．五、一次函數(shù)最值問(wèn)題：【例題】（2017湖北隨州）如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（3，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．【考點(diǎn)】PA：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM+PN最小，由作圖得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：作N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴N′M⊥ON，∵點(diǎn)N（3，0），∴ON=3，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．【同步訓(xùn)練】（2017貴州）某校為了在九月份迎接高一年級(jí)的新生，決定將學(xué)生公寓樓重新裝修，現(xiàn)學(xué)校招用了甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)．若兩隊(duì)合作，8天就可以完成該項(xiàng)工程；若由甲隊(duì)先單獨(dú)做3天后，剩余部分由乙隊(duì)單獨(dú)做需要18天才能完成．（1）求甲、乙兩隊(duì)工作效率分別是多少？（2）甲隊(duì)每天工資3000元，乙隊(duì)每天工資1400元，學(xué)校要求在12天內(nèi)將學(xué)生公寓樓裝修完成，若完成該工程甲隊(duì)工作m天，乙隊(duì)工作n天，求學(xué)校需支付的總工資w（元）與甲隊(duì)工作天數(shù)m（天）的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍及w的最小值．【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用；B7：分式方程的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需要x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要y天．列出分式方程組即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成．則+=1，解得x=6．由此可得m的范圍，因?yàn)橐谊?duì)每天的費(fèi)用小于甲隊(duì)每天的費(fèi)用，所以讓乙先工作6天，再與甲合作6天正好如期完成，此時(shí)費(fèi)用最小；【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需要x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要y天．由題意，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程組的解，∴甲、乙兩隊(duì)工作效率分別是和．（2）設(shè)乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成．則+=1，解得x=6．∴甲工作6天，∵甲12天完成任務(wù)，∴6≤m≤12．∵乙隊(duì)每天的費(fèi)用小于甲隊(duì)每天的費(fèi)用，∴讓乙先工作6天，再與甲合作6天正好如期完成，此時(shí)費(fèi)用最小，∴w的最小值為12×1400+6×3000=34800元．【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1.（2017.江蘇宿遷）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線(xiàn)段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值；KQ：勾股定理．【分析】根據(jù)已知條件得到CP=6﹣t，得到PQ===，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AP=CQ=t，∴CP=6﹣t，∴PQ===，∵0≤t≤2，∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ的值最小，∴線(xiàn)段PQ的最小值是2，故選C．2.（2016·內(nèi)蒙古包頭·3分）如圖，直線(xiàn)y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線(xiàn)段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題．【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線(xiàn)CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示．令y=x+4中x=0，則y=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；令y=x+4中y=0，則x+4=0，解得：x=﹣6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．∵點(diǎn)C、D分別為線(xiàn)段AB、OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C（﹣3，2），點(diǎn)D（0，2）．∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣2）．設(shè)直線(xiàn)CD′的解析式為y=kx+b，∵直線(xiàn)CD′過(guò)點(diǎn)C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直線(xiàn)CD′的解析式為y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，則0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）．故選C．3.如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為8，E為AB的中點(diǎn)，若P為對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為2．【分析】如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，因?yàn)锳、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)P與P′重合時(shí)，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為8，∴AB=BC=4，ABCE′=8，∴CE′=2，在Rt△BCE′中，BE′==2，∵BE=EA=2，∴E與E′重合，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)P與P′重合時(shí)，PA′+P′E的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)=2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，本題的突破點(diǎn)是證明CE是△ABC的高，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題．4.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線(xiàn)翻折，得到△A′EF，則A′C的長(zhǎng)的最小值是﹣1．【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問(wèn)題）；LB：矩形的性質(zhì)．【分析】連接CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知A′E=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)度，再利用三角形的三邊關(guān)系可得出點(diǎn)A′在CE上時(shí)，A′C取最小值，最小值為CE﹣A′E=﹣1，此題得解．【解答】解：連接CE，如圖所示．根據(jù)折疊可知：A′E=AE=AB=1．在Rt△BCE中，BE=AB=1，BC=3，∠B=90°，∴CE==．∵CE=，A′E=1，∴點(diǎn)A′在CE上時(shí)，A′C取最小值，最小值為CE﹣A′E=﹣1．故答案為：﹣1．5.（2017?黑龍江）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，EC=1，則PC+PE的最小值是5．【考點(diǎn)】PA：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】連接AC、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)即為PC+PE的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接AC、AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，∴AE的長(zhǎng)即為PC+PE的最小值，∵CD=4，CE=1，∴DE=3，在Rt△ADE中，∵AE=AD2+D∴PC+PE的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題及正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6.（2017.湖南懷化）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)．若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，A（P，A兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為10﹣10cm．【考點(diǎn)】L8：菱形的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)．【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底．②若以邊PB為底．③若以邊PC為底．分別求出PD的最小值，即可判斷．【解答】解：連接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線(xiàn)上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點(diǎn)滿(mǎn)足題意，此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上所有點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段中垂線(xiàn)段最短”，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，最小值PA=10；②若以邊PB為底，∠PCB為頂角時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作圓，與AC相交于一點(diǎn)，則弧BD（除點(diǎn)B外）上的所有點(diǎn)都滿(mǎn)足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，AP最小，最小值為10﹣10；③若以邊PC為底，∠PBC為頂角，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓，則弧AC上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿(mǎn)足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PA最小，顯然不滿(mǎn)足題意，故此種情況不存在；綜上所述，PD的最小值為10﹣10（cm）；故答案為：10﹣1．7.（2017甘肅天水）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是邊BC上的一點(diǎn)，且BE=1，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PE，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBE周長(zhǎng)的最小值是6．【考點(diǎn)】PA：軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短和點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，即可求得△PBE周長(zhǎng)的最小