高考函數(shù)專題復(fù)習(xí)最值．③導(dǎo)數(shù)法：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)后找出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再結(jié)合端點(diǎn)情況，即可得到函數(shù)的最值和值域．④圖像法：根據(jù)函數(shù)的圖像，可以直觀地得到函數(shù)的值域和最值．⑤利用數(shù)學(xué)工具：如極值定理、介值定理等，可以得到函數(shù)的最值和值域．函數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要概念，它描述了兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，如果對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)就叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)。函數(shù)的三要素包括定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。需要注意的是，只有定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)。區(qū)間是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的概念，它描述了實(shí)數(shù)的范圍。閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間以及無(wú)窮區(qū)間都有著特定的表示方法。在求函數(shù)的定義域時(shí)，需要根據(jù)函數(shù)的類型采用不同的原則。比如，整式的定義域是全體實(shí)數(shù)，分式函數(shù)的定義域是使分母不為零的實(shí)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零等等。對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求定義域時(shí)需要進(jìn)行分類討論，并符合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義。求函數(shù)的值域或最值是數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題?？梢圆捎糜^察法、配方法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法以及數(shù)學(xué)工具等不同的方法來(lái)解決。其中，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，可以通過(guò)求導(dǎo)后找出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再結(jié)合端點(diǎn)情況，得到函數(shù)的最值和值域。1.函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)，如果對(duì)于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)），則稱函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)不增（或單調(diào)不減）的。如果對(duì)于任意的x1<x2，都有f(x1)>f(x2)（或f(x1)<f(x2)），則稱函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的。如果在一個(gè)區(qū)間上既有單調(diào)遞增又有單調(diào)遞減，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不單調(diào)。②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)。③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，令u=g(x)，若y=f(u)為增，u=g(x)為增，則y=f[g(x)]為增；若y=f(u)為減，u=g(x)為減，則y=f[g(x)]為增；若y=f(u)為增，u=g(x)為減，則y=f[g(x)]為減；若y=f(u)為減，u=g(x)為增，則y=f[g(x)]為減。2.打“√”函數(shù)f(x)=x+(a>0)的圖像與性質(zhì)“√”函數(shù)f(x)=x+(a>0)的圖像如下：圖像上的點(diǎn)(x,y)滿足y=x+(a>0)且x≥-a。3.最大（?。┲刀x①一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x∈I，使得f(x)=M。那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作f_max(x)=M。②一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（2）存在x∈I，使得f(x)=m。那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作f_min(x)=m。4.函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)。②若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0。③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反。在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)。函數(shù)的圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。作圖可以利用描點(diǎn)法或基本函數(shù)圖像的變換。變換包括平移、伸縮和對(duì)稱變換。對(duì)于給定函數(shù)的圖像，可以識(shí)別函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)。函數(shù)圖像可以形象地顯示函數(shù)的性質(zhì)，為解決問(wèn)題提供直觀的思路。求函數(shù)的值域有多種方法。其中，配方法適用于二次函數(shù)型的函數(shù)，而基本函數(shù)法適用于由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)$y=-\sin^2x-2\cosx+4$，可以用配方法變?yōu)?y=-\sin^2x-2\cosx+4=(\cosx-1)^2+2$來(lái)求解。另外，可以利用基本函數(shù)的值域來(lái)求解，例如函數(shù)$y=\log_1(-x^2+2x+3)$可以利用函數(shù)$y=\log_1u$和$u=-x^2+2x+3$的值域來(lái)求解。刪除了明顯有問(wèn)題的段落。對(duì)于其他段落，進(jìn)行了小幅度的改寫(xiě)，使得表達(dá)更加清晰。不是同一函數(shù).（3）由于f(x)2n1x2n1(2n1x)2n1，它們的值域及對(duì)應(yīng)法則相同，所以它們表示同一函數(shù).（4）由于f(x)x1x2x，它的定義域?yàn)?,1)(1,0)(0,)，而g(x)x2x的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).（5）由于f(x)x2x1，它的定義域?yàn)镽\{1,2}，而g(t)t2t1的定義域?yàn)镽\{1}，所以它們不是同一函數(shù).考點(diǎn)二：函數(shù)的單調(diào)性[例2]已知函數(shù)f(x)2x39x212x5，判斷它在定義域上的單調(diào)性，并求其極值.[解題思路]要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.[解析]函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)6x218x12，令f(x)0，解得x11，x22，x3，所以f(x)在x1，x2，x3處取得極值.當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(,1)上是單調(diào)遞減的；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1,2)上是單調(diào)遞增的；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(2,)上是單調(diào)遞減的.所以f(x)在定義域上的單調(diào)性為：(,1]單調(diào)遞減，[1,2]單調(diào)遞增，[2,)單調(diào)遞減.當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值f(1)8；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值f(2)9.考點(diǎn)三：函數(shù)的奇偶性[例3]已知函數(shù)f(x)x32x，判斷它的奇偶性，并畫(huà)出函數(shù)的圖象.[解題思路]要判斷函數(shù)的奇偶性，需要判斷函數(shù)在定義域上是否滿足f(x)f(x)，并根據(jù)奇偶性來(lái)畫(huà)出函數(shù)的圖象.[解析]將x32x寫(xiě)成x(x22)，則有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在第一象限和第三象限上單調(diào)遞增，在第二象限和第四象限上單調(diào)遞減，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，如下圖所示：【名師指引】在理解映射的概念時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：（1）集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是一個(gè)整體系統(tǒng)；（2）對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)；（3）集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的象；（4）集合A中不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（5）集合B中的每一個(gè)元素在集合A中不一定都有原象。函數(shù)的表示方法考點(diǎn)1：用圖像法表示函數(shù)[例1]一水池有2個(gè)進(jìn)水口和1個(gè)出水口，進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示。某天從點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示。給出以下3個(gè)論斷：（1）點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；（2）3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；（3）4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水。哪個(gè)論斷不正確？[解題思路]根據(jù)題意和圖象，對(duì)三個(gè)論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。[解析]由圖甲知，每個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時(shí)1個(gè)單位，兩個(gè)進(jìn)水口1個(gè)小時(shí)共進(jìn)水2個(gè)單位，3個(gè)小時(shí)共進(jìn)水6個(gè)單位，由圖丙知①正確；而由圖丙知，3點(diǎn)到4點(diǎn)應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故②錯(cuò)誤；由圖丙知，4點(diǎn)到6點(diǎn)可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個(gè)進(jìn)水口都進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故③不一定正確。因此，不正確的論斷是（2）?！久麕熤敢吭谟脠D像法表示函數(shù)時(shí)，需要熟悉基本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點(diǎn)題型是“知式選圖”和“知圖選式”?？键c(diǎn)2：用列表法表示函數(shù)[例2]已知函數(shù)f(x)和g(x)分別由下表給出：x123f(x)131g(x)321則f[g(1)]的值為1，滿足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是6。[解題思路]根據(jù)表中的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題。[解析]由表中對(duì)應(yīng)值知f[g(1)]=f(3)=1；當(dāng)x=1時(shí)，f[g(1)]=1，g[f(1)]=g(1)=3，不滿足條件；當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1，滿足條件；當(dāng)x=3時(shí)，f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3，不滿足條件。因此，滿足條件的x的值是2。滿足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是x=2?！久麕熤敢拷鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用好對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。本題中，可以先列出f(x)和g(x)的表格，然后求出f[g(x)]和g[f(x)]的值，最后找到滿足條件的x值。題型1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原函數(shù)的解析式已知f(x)=(1+x)/(1-x)，則f(x)的解析式可取為1-x/(1+x)。[解題思路]這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原函數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法。[解析]令t=1-x/(1+x)，則x=(1-t)/(1+t)，代入f(x)得f(t)=(1+(1-t)/(1+t))/t=(2t)/(1-t)，再令t=x，即可得到f(x)的解析式為1-x/(1+x)?！久麕熤敢壳蠛瘮?shù)解析式的常用方法有：①換元法（注意新元的取值范圍）；②待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）；③整體代換（配湊法）；④構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f(x)為奇函數(shù)且g(x)為偶函數(shù)等）。題型2：求二次函數(shù)的解析式次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。⑴求f(x)的解析式；⑵在區(qū)間[-1,1]上，y=f(x)的圖像恒在y=2x+m的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍。[解題思路]（1）由于已知f(x)是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解；（2）用數(shù)學(xué)表示形式，可得求2x+m<f(x)對(duì)于x∈[-1,1]恒成立，從而通過(guò)分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。[解析]⑴設(shè)f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，則f(x+1)-f(x)=2ax+a+b，與已知條件比較得：a=1，b=-1，c=1，故f(x)=x^2-x+1。⑵由題意得：x^2-x+1>2x+m，即m≤x^2-3x+1對(duì)x∈[-1,1]，易得m<-1/2。【名師指引】如果已知函數(shù)的類型，待定系數(shù)法求解；通過(guò)分離參數(shù)求函數(shù)的最值來(lái)獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法。題型1：根據(jù)分段函數(shù)的圖像寫(xiě)解析式為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=1/(16-a*t)，其中a為常數(shù)，當(dāng)t≤16/a時(shí)，藥物還在釋放；當(dāng)t>16/a時(shí)，藥物釋放完畢，y不再變化。根據(jù)提供的信息，回答下列問(wèn)題。[解題思路]根據(jù)題意，將函數(shù)分為兩段，分別求解即可。[解析]當(dāng)0≤t≤16/a時(shí)，y=1/(16-a*t)；當(dāng)t>16/a時(shí)，y=1/(16-a*16/a)=1/16。故函數(shù)的解析式為：y={1/(16-a*t)(0≤t≤16/a)1/16(t>16/a)}?！久麕熤敢糠侄魏瘮?shù)的解析式需要根據(jù)題目中給出的條件來(lái)確定。需要注意的是，分段函數(shù)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)都要滿足函數(shù)的性質(zhì)。[例1]設(shè)$k\inR$，函數(shù)$f(x)=\begin{cases}1,&x<1\\1-x,&x\geq1\end{cases}$，試討論函數(shù)$F(x)=f(x)-kx$的單調(diào)性。[解題思路]由于$f(x)$是分段函數(shù)，需要分段處理。由于每一段都是基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性。[解析]當(dāng)$x<1$時(shí)，$1-x>0$，$F'(x)=-k$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$F'(x)=-1-k$。因此，當(dāng)$k>0$時(shí)，$F'(x)<0$，$F(x)$在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞減的；當(dāng)$k=0$時(shí)，$F'(x)=-1<0$，$F(x)$在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞減的；當(dāng)$k<0$時(shí)，$F'(x)>0$，$F(x)$在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞增的。1）·f（x1）＞f（x1）.即f（x2）＞f（x1），故f（x）是R上的增函數(shù).（4）解：由已知，f（x）·f（2x－x2）＞1，即f（x）＞1/f（2x－x2）.又f（x）＞1，∴1/f（2x－x2）＜1.即f（2x－x2）＞1.由f（a+b）=f（a）·f（b），令a=b=x，則f（2x）=f2（x）＞0.∴2x－x2＞0，即x2－2x＜0，解得0＜x＜2.綜上所述，x的取值范圍為0＜x＜2.(1)由題可知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]，因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x2)>f(x1)，即f(x)是R上的增函數(shù)。(4)已知f(x)·f(2x-x2)>1，且f(x)=1，求f(3x-x2)的取值范圍。因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以f(3x-x2)>f(x)，即3x-x2>0，解得x<3。(3)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)=(x2+2x+a)/x的最小值。將f(x)化簡(jiǎn)得f(x)=x+2+a/x，因?yàn)閤∈[1,+∞)，所以f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(1)=3。(4)已知函數(shù)f(x)=(x2+2x+a)/x，且對(duì)任意x∈[1,+∞)，f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。因?yàn)閒(x)>0，所以x2+2x+a>0，即a>-x2-2x，因?yàn)閤∈[1,+∞)，所以a>-3。題目1：判斷函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-1|的定義域?yàn)閤∈（-∞，+∞），對(duì)稱于原點(diǎn)。由函數(shù)的定義可得：f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|因此，f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。（2）函數(shù)f(x)=(x-1)·(1+x)/(1-x)的定義域?yàn)閤∈(-∞,1)∪(1,+∞)，不對(duì)稱于原點(diǎn)。因此，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)。（3）函數(shù)f(x)=x(1-x)/(1-x^2)的定義域?yàn)閤∈(-1,1)，對(duì)稱于原點(diǎn)。因?yàn)閒(-x)=-x(1-(-x))/[1-(-x)^2]=x(1+x)/[1+x^2]=f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。（4）函數(shù)f(x)=|x+2|-2/(x(1+x))的定義域?yàn)閤∈(-∞,-1)∪(0,+∞)，不對(duì)稱于原點(diǎn)。因此，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)。題目2：求函數(shù)的最值已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x^2+1)(x+a)，若f'(-1)=2/3，求函數(shù)y=f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值。解題思路：求三次多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來(lái)研究其單調(diào)性。解析：由f(x)=x^3+(a+1)x^2+(a-1)x+a，得f'(-1)=3(-1)^2+2(a+1)(-1)+(a-1)=2/3解得a=2/3又因?yàn)閒'(x)=3x^2+4x+2a，所以f'(x)=0的解為x1=(-2+√2-2a)/3，x2=(-2-√2-2a)/3由f'(x)=3(x+1/2)^2+2a-9/4，可知f'(x)>0時(shí)，x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)，f'(x)<0時(shí)，x∈(x1,x2)因此，f(x)在區(qū)間[-1,x1]和[x2,1]內(nèi)單調(diào)遞減，而在[x1,x2]內(nèi)單調(diào)遞增，且f(x)的極大值為f(-1)=2，極小值為f(x1)=(-2+2√2/3)^3+(2+2√2/3)^2+1≈-1.228又f(1)=2a+2，f(x1)<f(1)，所以f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=2a+2=8/3，最小值為f(x1)≈-1.228。（2）首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?-1\leqx<1$，由此可以得知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，因此既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)后，根據(jù)定義可以得到$1-x^2\geq0$，解得$-1\leqx\leq1$，且$x\neq-2$且$x\neq2$。因此函數(shù)的定義域?yàn)?[-1,2)\cup(-2,1]$，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且$x+2>0$。（4）由于函數(shù)的定義域?yàn)?(-\infty,\infty)$，當(dāng)$x>0$時(shí)，$-x<0$，因此$f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$-x>0$，因此$f(-x)=-x(1-x)=-f(x)$。因此函數(shù)$f(x)$為奇函數(shù)?！久麕熤敢亢瘮?shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)，定義域具有對(duì)稱性是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件。對(duì)于抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，需要巧妙地進(jìn)行“賦值”來(lái)解決。在判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，應(yīng)先求出函數(shù)的定義域，再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式。任意實(shí)數(shù)x成立，且f(0)>0。證明：（1）f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；（2）f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（3）f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增；（4）f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減。[解析]（1）設(shè)0<x1<x2<2，則2<x22<x12<4，∴f(x2)f(x12)>1，∴f(x2)>f