磁場中的“最小面積”問題河南省信陽高級中學(xué)陳慶威2016.12.27帶電粒子在磁場中運(yùn)動類題目本身就是磁場中的重難點問題，而求粒子在磁場中運(yùn)動時的“最小面積”問題，又是這類問題中比較典型的難題很多時候面對這種題目，同學(xué)們的大腦都是一片空白，沒有思路、沒有方法、也沒有模型。那么，如何突破這一難題呢？以下是我精心整理的幾道相關(guān)試題。相信，我們通過該種模型題的訓(xùn)練，能學(xué)會舉一反三、活學(xué)活用、準(zhǔn)確把握模型、深刻理解模型，形成自己獨立解決該類問題的思維和方法，從而全面提升我們的解題能力。例題1：如圖所示，一質(zhì)量為m例題1：如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從y軸r,血面由牛頓第二定律得：qvBr,血面由牛頓第二定律得：qvB=mVR則粒子在磁場中做圓周的半徑： r=mvqB由題意可知，粒子在磁場區(qū)域中的軌道為半上的P點以速度v射入第一象限所示的區(qū)域，入射方向與x軸正方1向成a角.為了使該粒子能從x軸上的P點射出該區(qū)域，且射出方2向與x軸正方向也成a角，可在第一象限適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xoy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.若磁分布為一個圓形區(qū)域，求這一圓形區(qū)域的最小積為（不計粒子的重力）解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力等于r的圓上的一段圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切，如圖所示：則到入射方向所在直線和出射方向所在直線相距為 R的0，點就是圓周的圓心.粒子在磁場區(qū)域中的軌道就是以 0,為圓心、R為半徑的圓上的圓弧ef,而e點和f點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上，在通過e、f兩點的不同的圓周中，最小的一個是以ef連線為直徑的圓周．S=兀S=兀r2min兀m2v2sin2aq2B2即得圓形區(qū)域的最小半徑mvsinar=Rsina=一qB則這個圓形區(qū)域磁場的最小面積例題2：如圖所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m,電量為q,以平行于ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于ox軸的速度v射出，可在當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xoy軸上的b點以垂直于ox軸的速度v射出，可在當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xoy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不解析：質(zhì)點在磁場中作半徑為R的圓周運(yùn)動，qvB=mv2~R~，得mvqB據(jù)題意，質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R適為B內(nèi),計。根的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。過

a點作平行于x軸的直線,過b點作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相

距R的0,點就是圓周的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道就是以0,為圓心、--完整版學(xué)習(xí)資料分享

R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN,M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。所求圓形磁場最小半徑為r二2R二丑min2 2qB例題3：—勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xoy平面，在xoy平面上，磁場分布在以0為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的電帶粒子，由原點0開始運(yùn)動，初速度為v,方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xoy平面上磁場區(qū)域的半徑R。P!0/P!0/*L解析：粒子在磁場中受到洛倫茲力作用，做勻速圓周運(yùn)動，則有據(jù)此并由題意可得，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區(qū)之P沿速度方向作延長線，它與x據(jù)此并由題意可得，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區(qū)之P沿速度方向作延長線，它與x軸相交于點.作圓弧過0點與x軸相切，并且與PQ切點A即粒子離開磁場區(qū)的地點.這樣也圓弧軌跡的圓心C，O外.過相切,如圖所示y」y」0 X由圖中幾何關(guān)系得：L=3r由以上兩式可得：」一=圖中0A的長度即圓形磁場區(qū)的半徑R,由圖中幾何關(guān)系可得r乜L3例題4：如圖所示，在紙平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy,在第一象限的區(qū)域存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從第一象限的某點p(l,￡L)以初速度V。沿x軸的負(fù)方向開始運(yùn)動，經(jīng)過軸上的點Q(L/4、0)進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，其左邊界和上邊界分別與y軸、x軸重合，電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O并沿y軸的正方向運(yùn)動，不計電子的重力。求電子經(jīng)過Q點的速度；該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度；該勻強(qiáng)磁場的最小面積S。解析：(1)電子類平拋運(yùn)動，3Lx=——=耳/所以經(jīng)過Q點的速度方向與水平方向夾角為&=方向與水平方向夾角為&=arctan丄=aictan—―-=30=

叫 %(2)速度偏轉(zhuǎn)角為二“,(2)速度偏轉(zhuǎn)角為二“,則圓弧所對的圓心角為。r_L由幾何關(guān)系得匸：—一匚解得由向心力公式斗宀解得方向垂直紙面向里。3LX-Vsr*ftrju~~v—(3)矩形磁場的右邊界距y軸的距離為 '_L矩形磁場的下邊界距x軸的距離為 一三故磁場的最小面積為

例題5：一個質(zhì)量為m,帶+q電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于上的N點垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計粒子的重力。試求：BC邊飛入正三角形ABCBC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊該粒子在磁場里運(yùn)動的時間t；該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長；畫出磁場區(qū)域及粒子運(yùn)動的軌跡。分析：根據(jù)題意，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系可求解粒子在磁場里運(yùn)動的時間以及正三角形區(qū)域的最小邊長.解析：(1)由洛倫茲力提供向心力得：qvB=mV2r且周期t=匹=絲mvqB得軌道半徑r=mvqB由題意知，粒子剛進(jìn)入磁場時應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場中由M點作圓周運(yùn)動到N點，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖粒子的運(yùn)動軌跡為圓弧GDEF,圓弧在G點與初速度方向相切，在F點與射出的速度方向相切，畫出三角形abc，其與圓弧在D、E點相切，并與圓0交與F、G兩點，即為所求最小磁場區(qū)域，由數(shù)學(xué)知識可知，ZFOG=60。該粒子在此磁場里運(yùn)動的時間:65兀65兀m3qB(2)aH為底邊cb上的高，aH二aO+OH=2r+rcos30°則正三角形區(qū)域磁場的最小邊長為：l則正三角形區(qū)域磁場的最小邊長為：l=解得L=mv（3）如上圖：例題6： （2009海南16）如圖，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：⑴此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。虎拼藙驈?qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。解析：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為Bo令圓弧碩是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場的作用力了二乘①應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧血Q的圓心在CB邊或其延長線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，圓半徑為a根據(jù)牛頓定律有廠嗨②5=^-聯(lián)立①②式得 ③（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自C點垂直于BC入射電子在A點沿DA方向射出，且 自BC邊上其它點垂直于入射的電子的運(yùn)動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧麻是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點的電子的速度方向-一與BA的延長線交角為。（不妨設(shè) ）的情形。該電子的運(yùn)動軌跡qpA如圖所示圖中，圓看的圓心為0,pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧麗的半徑仍為a，在D為原點、C為x軸,AD為y軸的坐標(biāo)系中,P點的坐標(biāo)（凡刃為x=asin^?y=-[a—（z-acqs硏]=-acqs日⑤u三日三