課時(shí)作業(yè)(四十)[第40講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)][時(shí)間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2022·青島一模]已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，則α∥β是l⊥m的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件2．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論成立的是()A．若a?α，b?β，且a∥b，則α∥βB．若a?α，b?β，且a⊥b，則α⊥βC．若a∥α，b?α，則a∥bD．若a⊥α，b⊥α，則a∥b4．[2022·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面A．30°B．45°C．60°D．90°eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知空間兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n6．四面體ABCD中，AB＝AC＝2eq\r(3)，DB＝DC＝2eq\r(2)，BC＝2AD＝4，則二面角A－BC－D的大小是()A．30°B．45°C．60°D．135°7．[2022·全國卷]已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足．點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于()\f(\r(2),3)\f(\r(3),3)\f(\r(6),3)D．18．若直線l與平面α相交，但不垂直，則有()A．?平面β，若l?β，都有平面β⊥平面αB．?平面β，若l?β，使得平面β⊥平面αC．?平面β，若l?β，都有平面β∥平面αD．?平面β，若l?β，使得平面β∥平面α9．如圖K40－1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是CD的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，使二面角D－AE－B為60°，則四棱錐D－ABCE的體積是()圖K40－1\f(9\r(39),13)\f(27\r(39),13)\f(9\r(13),13)\f(27\r(13),13)10．結(jié)論“過一點(diǎn)作一個(gè)平面的垂線只能作一條”是________的(填“正確”或“錯(cuò)誤”)．11．四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正方形的中心，一個(gè)對(duì)角面的面積是一個(gè)側(cè)面面積的eq\f(\r(6),2)倍，則側(cè)面與底面所成銳二面角等于________．12．[2022·全國卷]已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于________13．已知正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)．下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào)①以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的四個(gè)面最多只有三個(gè)面是直角三角形；②P在直線FG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP⊥DE；③Q在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A－D1QC的體積不變；④M是正方體的面A1B1C1D1內(nèi)到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線段14．(10分)[2022·長郡中學(xué)月考]如圖K40－2，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形．PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面BFD；(2)求二面角C－BF－D的正切值的大?。畧DK40－215．(13分)[2022·朝陽一模]如圖K40－3，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD.(1)求證：CD⊥平面PAC；(2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)求二面角A－PD－C的余弦值．圖K40－3eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)如圖K40－4，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D為AC中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.(1)求證：面AEF⊥面BCD；(2)cosθ為何值時(shí)，AB⊥CD.圖K40－4

課時(shí)作業(yè)(四十)【基礎(chǔ)熱身】1．B[解析]l⊥α，α∥β?l⊥β，又m?β，故l⊥m.反之當(dāng)l⊥m時(shí)，α，β的位置不確定．故選B.2．D[解析]命題①中兩條直線可能平行，故得不到兩個(gè)平面互相平行的結(jié)論，命題①為假命題；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，命題②是真命題；命題③是平面幾何里面成立的一個(gè)命題，但在空間不成立，如在正方體ABCD－A1B1C1D1，AB⊥AD，DD1⊥AD，但AB，DD1并不平行，故命題③為假命題；命題④中，兩平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于另一個(gè)平面，則這條直線一定和交線垂直，故在一個(gè)平面內(nèi)與交線不垂直的直線一定不會(huì)與另一個(gè)平面垂直，命題④為真命題3．D[解析]分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)且和交線平行的兩條直線也是平行線，故選項(xiàng)A的結(jié)論不成立；任意兩個(gè)相交平面，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線，必然垂直于另一個(gè)平面內(nèi)與交線平行的直線，故選項(xiàng)B中的結(jié)論不成立；當(dāng)直線與平面平行時(shí)，只有經(jīng)過這條直線的平面和已知平面的交線及與交線平行的直線與這條直線平行，其余的直線和這條直線不平行，故選項(xiàng)C中的結(jié)論不成立；根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)D中的結(jié)論成立．正確選項(xiàng)D.4．C[解析]如圖，E為BC中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的棱長為2，則DE＝1，AE＝eq\r(3)，則tan∠ADE＝eq\r(3)，故所求的角是60°.【能力提升】5．D[解析]選項(xiàng)A中，當(dāng)直線m，n都不在平面α，β內(nèi)時(shí)，根據(jù)m∥α，n∥β，α∥β可以推證m，n都平行于平面α，β，但平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行；選項(xiàng)B中，根據(jù)n⊥β，α⊥β可以推證n?α或者n∥α，同樣平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行；選項(xiàng)C中，同選項(xiàng)B；選項(xiàng)D中，根據(jù)m⊥α，α⊥β可以推證m?β或者m∥β，而n⊥β，故m⊥n.正確選項(xiàng)為D.6．B[解析]∴AB＝2eq\r(3)，AD＝2，BD＝2eq\r(2)，AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，同理AD⊥DC，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，根據(jù)二面角的平面角的定義，∠AED即為所求二面角的平面角，各個(gè)線段的長度如圖，則∠AED＝45°.7．C[解析]∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，則平面ABC⊥β，在平面β內(nèi)過D作DE⊥BC，則DE⊥平面ABC，DE即為D到平面ABC的距離，在△DBC中，運(yùn)用等面積法得DE＝eq\f(\r(6),3)，故選C.8．B[解析]由于直線l與平面α斜交，故不是過直線l的任意平面都和平面α垂直，選項(xiàng)A中的結(jié)論不正確；只要過直線l上一點(diǎn)作平面α的垂線m，則直線l，m確定的平面β即與平面α垂直，故選項(xiàng)B中的結(jié)論是正確的；由于直線l與平面α存在公共點(diǎn)，故經(jīng)過直線l的任意平面β都與平面α存在公共點(diǎn)，此時(shí)平面α，β不可能平行，故選項(xiàng)C、D中的兩個(gè)結(jié)論都不可能成立．正確選項(xiàng)為B.9．A[解析]在平面圖形中，Rt△ADE斜邊上的高是eq\f(6,\r(13))，故折起后棱錐的高是eq\f(6,\r(13))sin60°＝eq\f(3\r(39),13)，棱錐的底面積是9，故其體積是eq\f(1,3)×9×eq\f(3\r(39),13)＝eq\f(9\r(39),13).10．正確[解析]理由是如果能夠作兩條，則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，這兩條直線平行，但根據(jù)已知這兩條直線又相交，這是不可能的．\f(π,3)[解析]如圖，根據(jù)eq\f(\f(1,2)\r(2)ah,\f(1,2)ah′)＝eq\f(\r(6),2)，得eq\f(h,h′)＝eq\f(\r(3),2)，即為側(cè)面與底面所成銳二面角的正弦值，故側(cè)面與底面所成的銳二面角為eq\f(π,3).\f(\r(2),3)[解析]法一：在平面BC1內(nèi)延長FE與CB的延長線相交于G，連接AG，過B作BH垂直于AG于H，連接EH，則EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角．設(shè)正方體的棱長為a，可得BE＝eq\f(a,3)，BG＝a，所以BH＝eq\f(\r(2),2)a，則tan∠BHE＝eq\f(BE,BH)＝eq\f(\f(a,3),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),3).法二：設(shè)正方體的邊長為3，建立以B1A1為x軸，B1C1為y軸，B1B為z軸的空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(xiàn)(0,3,1)，則eq\o(EA,\s\up6(→))＝(3,0,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,3，－1)，設(shè)平面AFE的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(EA,\s\up6(→))，n⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，則x＝－1，y＝1，所以n＝(－1,1,3)，又平面ABC的法向量為m＝(0,0,3)，所以面AEF與面ABC所成的二面角的余弦值為cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(3\r(11),11)，∴sinθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(11),11)))2)＝eq\f(\r(22),11)，所以tanθ＝eq\f(\r(2),3).13．②③④[解析]如圖，三棱錐A1－ABC的四個(gè)面均為直角三角形，故命題①不正確．GF⊥DE，AF⊥DE，得DE⊥平面AFG.又∵AP?平面AFG，故AP⊥DE，命題②正確．由于BC1∥AD1，可得BC1∥平面ACD1，即點(diǎn)Q到平面ACD1的距離與其位置無關(guān)，故三棱錐Q－ACD1的體積不變，即三棱錐A－D1QC的體積不變，命題③正確．空間到兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是這兩點(diǎn)所在線段的中垂面，這個(gè)平面和上底面的交線即為所求的軌跡，這個(gè)軌跡是線段．命題④正確．14．[解答](1)證明：連接AC，BD與AC交于點(diǎn)O，連接OF.∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)．∵點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，∴OF∥PA.∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，∴PA∥平面BDF.(2)∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC.∵OF∥PA，∴OF⊥AC.∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵OF∩BD＝O，∴AC⊥平面BDF.作OH⊥BF，垂足為H，連接CH，則CH⊥BF，∠CHO為二面角C－BF－D的平面角．∵PA＝AD＝AC，∴OF＝eq\f(1,2)PA，BO＝eq\f(\r(3),2)PA，BF＝eq\r(BO2＋OF2)＝PA.在Rt△FOB中，OH＝eq\f(OF·BO,BF)＝eq\f(\r(3),4)PA，tan∠OHC＝eq\f(OC,OH)＝eq\f(\f(1,2)PA,\f(\r(3),4)PA)＝eq\f(2\r(3),3).∴二面角C－BF－D的正切值大小為eq\f(2\r(3),3).15．[解答](1)證明：因?yàn)椤螾AD＝90°，所以PA⊥AD.又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.而CD?底面ABCD，所以PA⊥CD.在底面ABCD中，因?yàn)椤螦BC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，所以AC＝CD＝eq\f(\r(2),2)AD，所以AC⊥CD.又因?yàn)镻A∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.(2)在PA上存在中點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD，證明如下：設(shè)PD的中點(diǎn)是F，連接BE，EF，F(xiàn)C，則EF∥AD，且EF＝eq\f(1,2)AD.又BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥EF，且BC＝EF，所以四邊形BEFC為平行四邊形，所以BE∥CF.因?yàn)锽E?平面PCD，CF?平面PCD，所以BE∥平面PCD.(3)設(shè)G為AD中點(diǎn)，連接CG，則CG⊥AD.又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAD，所以CG⊥平面PAD.過G作GH⊥PD于H，連接CH，由三垂線定理可知CH⊥PD.所以∠GHC是二面角A－PD－C的平面角．設(shè)AD＝2，則PA＝AB＝CG＝DG＝1