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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊4.8圖形的位似（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．（2023九上·諸暨期末）兩個大小不一的五邊形和五邊形如圖所示位置，點在線段上，點在線段上，對應(yīng)連接并延長，，剛好交于一點，則這兩個五邊形的關(guān)系是（）

A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能確定

【答案】B

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：如下圖所示，

對應(yīng)連接并延長，，剛好交于一點，

此時點F、H、E可分別在線段AB，CD，OE上運動，

假設(shè)存在一點五邊形BCHGF與五邊形CDEAB是位似圖形，

此時改變OE上任一點，則此時五邊形BCHGF與五邊形CDE1AB不是位似圖形，

即五邊形ABCDE和五邊形FBCHG一定不相似.

故答案為：B

【分析】位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，觀察圖形，可得這兩個五邊形一定不相似.

2．（2023九上·武義期末）如圖，和是位似三角形，，的面積為2，則的面積為（）

A．4B．6C．16D．18

【答案】D

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與是位似圖形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵的面積為2，

∴的面積為18，

故答案為：D.

【分析】由題意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.

3．（2022九上·濟(jì)南期末）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，點O是位似中心，點A、B的對應(yīng)點分別為點，若，則圖形乙的面積是圖形甲的面積的（）

A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：由題意可得，甲乙兩圖形相似，且相似比為，

根據(jù)相似圖形的面積比是相似比的平方可得，圖形乙的面積是圖形甲的面積的4倍，

故答案為：C

【分析】利用位似圖象的性質(zhì)求解即可。

4．（2023九上·諸暨期末）如圖，與位似，點O為位似中心.已知，則與的面積比為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴與的相似比為，

∴與的面積比為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)OA：AD=1：1可得OA：OD=1：2，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.

5．（2022九上·即墨期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大魚與小魚是關(guān)于原點O的位似圖形，則下列說法中正確的是（）

A．大魚與小魚的相似比是

B．小魚與大魚的對應(yīng)點到位似中心的距離比是

C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍

D．若小魚上一點的坐標(biāo)是，則在大魚上的對應(yīng)點的坐標(biāo)是

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：A、大魚與小魚的相似比是2：1，故此選項不符合題意；

B、小魚與大魚的對應(yīng)點到位似中心的距離比是1：2，故此選項不符合題意；

C、大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍，故此選項符合題意；

D、小魚上一點的坐標(biāo)是，則在大魚上的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，故此選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)求解即可。

6．（2022九上·中山期末）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（）

A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9

【答案】A

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與位似

∴

∵與的位似比是1：2

∴與的相似比是1：2

∴與的周長比是1：2

故答案為：A．

【分析】根據(jù)兩三角形位似，周長比等于相似比即可求解。

7．（2022九上·成都月考）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，若，則與的周長比是（）

A．2：3B．3：2C．2：5D．5：2

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：與是位似圖形，點為位似中心，

且

又

故答案為：C.

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得且△ABC∽△DEF，根據(jù)OA：AD=2：3可得，然后根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比進(jìn)行解答.

8．（2022九上·惠陽月考）一個面積為的四邊形，它的位似圖形為四邊形，位似中心為，若，則四邊形的面積為（）

A．B．

C．或D．以上都不對

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：由題可知四邊形的相似比為1：1或1：3，

四邊形的面積之比等于相似比的平方，且四邊形的面積為，

四邊形的面積為或．

故答案為：C．

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)：相似圖形的面積之比等于相似比的平方求解即可。

9．（2022九上·舟山月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4）、B（2，0），以坐標(biāo)原點O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為的位似圖形Δ．則A對應(yīng)的點A1，的坐標(biāo)（）

A．（1，2）B．(-1，-2)

C．(1，2)或(-1，-2)D．(2，1)或(-2，-1)

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵A（2，4），以坐標(biāo)原點O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為的位似圖形Δ，

∴點A1（2×，4×）即（1，2）或（2×（-），4×（-））即（-1，-2）.

故答案為：C

【分析】利用關(guān)于原點成位似的圖形的對稱點的坐標(biāo)特點：將點A的橫縱坐標(biāo)分別乘以或乘以-可得到點A1的坐標(biāo).

10．（2022九上·樂亭期中）如圖，與位似，位似中心為點O，與的周長之比為，則的比為（）

A．2：3B．2：5C．4：9D．4：13

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與位似，

∴，，

∴，

∴，

∵與的周長之比為4：9，

∴，

∴．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意先求出，再求出，最后求解即可。

二、填空題

11．（2022九上·汽開區(qū)期末）如圖，與位似，點O為位似中心，位似比為．若的周長為6，則的周長是．

【答案】9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵和是位似圖形，位似比為2：3，

∴和的相似比為3：2，

∴的周長的周長=9，

故答案為：9．

【分析】先求出和的相似比為3：2，再求出的周長的周長即可。

12．（2022九上·曹縣期中）如圖，正方形與正方形是位似圖形，點O為位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，則點B的坐標(biāo)為．

【答案】

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵正方形與正方形是位似圖形，點O是位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，

∴，則，

∴點B的坐標(biāo)是：．

故答案為：．

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，則，即可得到點B的坐標(biāo)為。

13．（2022九上·永年期中）如圖，在ΔABC中，點A的坐標(biāo)為（3，6），以原點O為位似中心，將ΔABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則ΔABC的面積為．

【答案】9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】點A的坐標(biāo)為（3，6），點A′的坐標(biāo)為（1，2）

ΔABC與△A′B′C′的相似比為

△A′B′C′的面積為1，

ΔABC的面積為9

故答案為：9

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)可得，再求出ΔABC的面積為9即可。

14．（2022九上·滁州期中）如圖，與位似，點O為位似中心，位似比為．若的周長為4，則的周長是．

【答案】6

【知識點】位似變換

【解析】【解答】設(shè)的周長是x，

∵與位似，相似比為，的周長為4，

∴，

解得：，

故答案為：6．

【分析】設(shè)的周長是x，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得，再求出即可。

15．（2023九上·德惠期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC與等邊△BDE是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A、B、D在x軸上，若等邊△BDE的邊長為6，則點C的坐標(biāo)為．

【答案】

【知識點】點的坐標(biāo)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；位似變換

【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，

∵等邊△ABC與等邊△BDE是以原點為位似中心的位似圖形，

∴BC∥DE，

∴△OBC∽△ODE，

∴，

∵△ABC與△BDE的相似比為，等邊△BDE邊長為6，

∴

解得，BC=2，OB=3，

∴OA=1，

∵CA=CB，CF⊥AB，

∴AF=1，

由勾股定理得，

∴OF=OA+AF=2，

∴點C的坐標(biāo)為

故答案為：．

【分析】作CF⊥AB于F，證明△OBC∽△ODE，可得，據(jù)此求出BC=2，OB=3，從而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的長，即得點C坐標(biāo).

三、解答題

16．（2023九上·吉林期末）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。?/p>

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點A，B，C，D處連接起來，使得直尺可以繞著這些點轉(zhuǎn)動，O為固定點，，，在點A，E處分別裝上畫筆．

畫圖：現(xiàn)有一圖形M，畫圖時固定點O，控制點A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動，此時點E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N．

原理：

連接，，可證得以下結(jié)論：

①和為等腰三角形，則，（180°-∠▲）；

②四邊形為平行四邊形（理由是▲）；

③，于是可得O，A，E三點在一條直線上；

④當(dāng)時，圖形N是以點O為位似中心，把圖形M放大為原來的▲倍得到的．

【答案】解：連接，，如圖，

①∵，

∴

∴△OAD和△OEC是等腰三角形，

∴∠，∠

∴∠，∠

②∵，

∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

③∵

∴，，三點在一條直線上；

④∵圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，

∴其倍數(shù)比為三角形的邊長比即：，

又，且

∴

即：當(dāng)時，圖形N是以點O為位似中心，把圖形M放大為原來的倍得到的．

故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；位似變換

【解析】【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)即可求解；②平行四邊形的判定即可求解；③由圖形即可直接得出答案；④根據(jù)圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，求解即可。

17．（2023九上·西城期末）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。?/p>

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點，，，處連接起來，使得直尺可以繞著這些點轉(zhuǎn)動，為固定點，，，在點，處分別裝上畫筆．

畫圖：現(xiàn)有一圖形，畫圖時固定點，控制點處的筆尖沿圖形的輪廓線移動，此時點處的畫筆便畫出了將圖形放大后的圖形．

原理：

連接，，可證得以下結(jié)論：

①和為等腰三角形，則，（180°-∠▲）；

②四邊形為平行四邊形（理由是▲）；

③，于是可得，，三點在一條直線上；

④當(dāng)時，圖形是以點為位似中心，把圖形放大為原來的▲倍得到的．

【答案】解：連接，，如圖，

①∵，

∴

∴△OAD和△OEC是等腰三角形，

∴∠，∠

∴∠，∠

②∵，

∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

③∵

∴，，三點在一條直線上；

④∵圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，

∴其倍數(shù)比為三角形的邊長比即：，

又，且

∴

即：當(dāng)時，圖形是以點為位似中心，把圖形放大為原來的倍得到的．

故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

【知識點】位似變換

【解析】【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)可求解；②由平行四邊形的判定即可求解；③由圖形可直接得到答案；④通過證明△AOD∽△EOC，可得，再將數(shù)據(jù)代入計算即可。

18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點，，在軸上．

（1）若點的坐標(biāo)為，直接寫出點和點的坐標(biāo)；

（2）若正方形的邊長為，求點的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：C點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為

（2）解：∵正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，

∴正方形的邊長為，則正方形的邊長為，，

∴：，解得，

∴點的坐標(biāo)為

【知識點】位似變換

【解析】【分析】（1）根據(jù)位似比為1：3，可以直接得出對應(yīng)點的坐標(biāo)。

（2）大正方形邊長為6，根據(jù)正方形ABCD和正方形BEFG的位似比，可得小正方形邊長為2，根據(jù)正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，所以可以求出點C的坐標(biāo)。

19．（2023九上·崇川月考）如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點P（點P不與A，B重合），分別連接PD，PC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把P叫四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把P叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點”.

解決問題

（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，試判斷點P是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由.

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出四邊形ABCD的邊BC上的相似點，并寫出對應(yīng)的相似三角形；

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.點P在邊BC上，若點P是四邊形ABCD的邊BC上的一個強(qiáng)相似點，求BP的長.

【答案】（1）解：結(jié)論：點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，

理由：如圖①中，

∵∠A＝50°，

∴∠ADP+∠APD＝130°.

∵∠DPC＝50°.

∴∠APD+∠CPB＝130°

∴∠ADP＝∠CPB，

∵∠A＝∠B

∴△ADP∽△BPC

∴點P是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

（2）解：如圖②中，作AP1⊥AD，交邊BC于點P1，則點P1為所求，此時△ABP1∽△DAP1：

作點A關(guān)于直線BC的對稱點A'：連接DA'，交BC于點P2

則點P2為所求，此時△ABP2∽△DCP2

（3）解：取AD的中點O，作OP⊥BC，垂足為P.則點P為所求，連接AP，DP.

∵∠B＝∠C＝90°，OP⊥BC，

∴AB∥OP∥DC

作AE∥BC，則四邊形ABCE，ABPF，F(xiàn)PCE均為矩形，

∴EC＝FP＝AB＝3，ED＝2

∵OF是△AED的中位線，∴OF＝1

∴OP＝4＝OA＝OD＝AD.

∴∠ODP＝∠OPD，∠OAP＝∠OPA，

∴∠APD＝90°

∵∠OPC＝90°，

∴∠DPC＝∠OPA＝∠OAP.

同理可證：∠BPA＝∠OPD＝∠ODP

∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD，

∴△ABP∽△APD∽△PCD，

∴點P是四邊形ABCD的邊BC上的一個強(qiáng)相似點，

在R△AED中，AE＝＝2.

∴BC＝AE＝2

∴BP＝PC＝.

【知識點】矩形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定；作圖﹣相似變換；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠ADP+∠APD＝130°，由補(bǔ)角的概念可得∠APD+∠CPB＝130°，則可推出∠ADP＝∠CPB，證明△ADP∽△BPC，據(jù)此判斷；

（2）作AP1⊥AD，交邊BC于點P1，此時△ABP1∽△DAP1；作點A關(guān)于直線BC的對稱點A'，連接DA'，交BC于點P2，此時△ABP2∽△DCP2；

（3）取AD的中點O，作OP⊥BC，垂足為P，則點P為所求，連接AP，DP，易得AB∥OP∥DC，作AE∥BC，則四邊形ABCE，ABPF，F(xiàn)PCE均為矩形，由矩形的性質(zhì)可得EC＝FP＝AB＝3，ED＝2，由中位線的性質(zhì)可得OF＝1，進(jìn)而求出OP的值，易得∠DPC＝∠OPA＝∠OAP，∠BPA＝∠OPD＝∠ODP，證明△ABP∽△APD∽△PCD，由勾股定理求出AE，進(jìn)而得到BC、BP的值.

20．（2023九上·海淀月考）閱讀下面材料：

小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1．他發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：對于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出交點與垂足之間的數(shù)值．

請回答：

（1）如圖1，A、B、C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB；

（2）如圖2，線段AB與CD交于點O，小明在點陣中找到了點E，連接AE．恰好滿足AE⊥CD于E，再作出點陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決．

請你幫小明計算：OC＝OF＝；

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，線段AB與CD交于點O．在點陣中找到點E，連接AE，滿足AE⊥CD于F．計算：OC＝，OF＝．

【答案】（1）解：如圖線段CD即為所求．

（2）；

（3）；

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；作圖﹣相似變換

【解析】【解答】解：（2）連接AC，BD．

由題意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2，

∵AC∥BD，

∴△ACO∽△BDO，

∴，

∴OC＝CD＝，

∵AC∥DE，

∴△ACF∽△EDF，

∴＝1，

∴DF＝CF＝，

∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．

故答案為，．（3）如圖3中，線段AE即為所求．

連接BC，作AM∥BC交CD于M．

由題意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝，

∵BC∥AM，

∴△BOC∽△AOM，

∴，

∴OC＝CM＝．

∴OF＝CF﹣OC＝＝．

故答案為，．

【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）構(gòu)造相似三角形解決問題即可．

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊4.8圖形的位似（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．（2023九上·諸暨期末）兩個大小不一的五邊形和五邊形如圖所示位置，點在線段上，點在線段上，對應(yīng)連接并延長，，剛好交于一點，則這兩個五邊形的關(guān)系是（）

A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能確定

2．（2023九上·武義期末）如圖，和是位似三角形，，的面積為2，則的面積為（）

A．4B．6C．16D．18

3．（2022九上·濟(jì)南期末）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，點O是位似中心，點A、B的對應(yīng)點分別為點，若，則圖形乙的面積是圖形甲的面積的（）

A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍

4．（2023九上·諸暨期末）如圖，與位似，點O為位似中心.已知，則與的面積比為（）

A．B．C．D．

5．（2022九上·即墨期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大魚與小魚是關(guān)于原點O的位似圖形，則下列說法中正確的是（）

A．大魚與小魚的相似比是

B．小魚與大魚的對應(yīng)點到位似中心的距離比是

C．大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍

D．若小魚上一點的坐標(biāo)是，則在大魚上的對應(yīng)點的坐標(biāo)是

6．（2022九上·中山期末）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（）

A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9

7．（2022九上·成都月考）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，若，則與的周長比是（）

A．2：3B．3：2C．2：5D．5：2

8．（2022九上·惠陽月考）一個面積為的四邊形，它的位似圖形為四邊形，位似中心為，若，則四邊形的面積為（）

A．B．

C．或D．以上都不對

9．（2022九上·舟山月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4）、B（2，0），以坐標(biāo)原點O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為的位似圖形Δ．則A對應(yīng)的點A1，的坐標(biāo)（）

A．（1，2）B．(-1，-2)

C．(1，2)或(-1，-2)D．(2，1)或(-2，-1)

10．（2022九上·樂亭期中）如圖，與位似，位似中心為點O，與的周長之比為，則的比為（）

A．2：3B．2：5C．4：9D．4：13

二、填空題

11．（2022九上·汽開區(qū)期末）如圖，與位似，點O為位似中心，位似比為．若的周長為6，則的周長是．

12．（2022九上·曹縣期中）如圖，正方形與正方形是位似圖形，點O為位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，則點B的坐標(biāo)為．

13．（2022九上·永年期中）如圖，在ΔABC中，點A的坐標(biāo)為（3，6），以原點O為位似中心，將ΔABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則ΔABC的面積為．

14．（2022九上·滁州期中）如圖，與位似，點O為位似中心，位似比為．若的周長為4，則的周長是．

15．（2023九上·德惠期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC與等邊△BDE是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A、B、D在x軸上，若等邊△BDE的邊長為6，則點C的坐標(biāo)為．

三、解答題

16．（2023九上·吉林期末）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。?/p>

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點A，B，C，D處連接起來，使得直尺可以繞著這些點轉(zhuǎn)動，O為固定點，，，在點A，E處分別裝上畫筆．

畫圖：現(xiàn)有一圖形M，畫圖時固定點O，控制點A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動，此時點E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N．

原理：

連接，，可證得以下結(jié)論：

①和為等腰三角形，則，（180°-∠▲）；

②四邊形為平行四邊形（理由是▲）；

③，于是可得O，A，E三點在一條直線上；

④當(dāng)時，圖形N是以點O為位似中心，把圖形M放大為原來的▲倍得到的．

17．（2023九上·西城期末）放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮?。?/p>

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點，，，處連接起來，使得直尺可以繞著這些點轉(zhuǎn)動，為固定點，，，在點，處分別裝上畫筆．

畫圖：現(xiàn)有一圖形，畫圖時固定點，控制點處的筆尖沿圖形的輪廓線移動，此時點處的畫筆便畫出了將圖形放大后的圖形．

原理：

連接，，可證得以下結(jié)論：

①和為等腰三角形，則，（180°-∠▲）；

②四邊形為平行四邊形（理由是▲）；

③，于是可得，，三點在一條直線上；

④當(dāng)時，圖形是以點為位似中心，把圖形放大為原來的▲倍得到的．

18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點，，在軸上．

（1）若點的坐標(biāo)為，直接寫出點和點的坐標(biāo)；

（2）若正方形的邊長為，求點的坐標(biāo)．

19．（2023九上·崇川月考）如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點P（點P不與A，B重合），分別連接PD，PC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把P叫四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把P叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點”.

解決問題

（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DPC＝50°，試判斷點P是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由.

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出四邊形ABCD的邊BC上的相似點，并寫出對應(yīng)的相似三角形；

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，CD＝5，AD＝8.點P在邊BC上，若點P是四邊形ABCD的邊BC上的一個強(qiáng)相似點，求BP的長.

20．（2023九上·海淀月考）閱讀下面材料：

小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1．他發(fā)現(xiàn)一個有趣的問題：對于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出交點與垂足之間的數(shù)值．

請回答：

（1）如圖1，A、B、C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB；

（2）如圖2，線段AB與CD交于點O，小明在點陣中找到了點E，連接AE．恰好滿足AE⊥CD于E，再作出點陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決．

請你幫小明計算：OC＝OF＝；

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，線段AB與CD交于點O．在點陣中找到點E，連接AE，滿足AE⊥CD于F．計算：OC＝，OF＝．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：如下圖所示，

對應(yīng)連接并延長，，剛好交于一點，

此時點F、H、E可分別在線段AB，CD，OE上運動，

假設(shè)存在一點五邊形BCHGF與五邊形CDEAB是位似圖形，

此時改變OE上任一點，則此時五邊形BCHGF與五邊形CDE1AB不是位似圖形，

即五邊形ABCDE和五邊形FBCHG一定不相似.

故答案為：B

【分析】位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，觀察圖形，可得這兩個五邊形一定不相似.

2．【答案】D

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與是位似圖形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵的面積為2，

∴的面積為18，

故答案為：D.

【分析】由題意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.

3．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：由題意可得，甲乙兩圖形相似，且相似比為，

根據(jù)相似圖形的面積比是相似比的平方可得，圖形乙的面積是圖形甲的面積的4倍，

故答案為：C

【分析】利用位似圖象的性質(zhì)求解即可。

4．【答案】B

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴與的相似比為，

∴與的面積比為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)OA：AD=1：1可得OA：OD=1：2，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答.

5．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：A、大魚與小魚的相似比是2：1，故此選項不符合題意；

B、小魚與大魚的對應(yīng)點到位似中心的距離比是1：2，故此選項不符合題意；

C、大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍，故此選項符合題意；

D、小魚上一點的坐標(biāo)是，則在大魚上的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，故此選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)求解即可。

6．【答案】A

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與位似

∴

∵與的位似比是1：2

∴與的相似比是1：2

∴與的周長比是1：2

故答案為：A．

【分析】根據(jù)兩三角形位似，周長比等于相似比即可求解。

7．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：與是位似圖形，點為位似中心，

且

又

故答案為：C.

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得且△ABC∽△DEF，根據(jù)OA：AD=2：3可得，然后根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比進(jìn)行解答.

8．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：由題可知四邊形的相似比為1：1或1：3，

四邊形的面積之比等于相似比的平方，且四邊形的面積為，

四邊形的面積為或．

故答案為：C．

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)：相似圖形的面積之比等于相似比的平方求解即可。

9．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵A（2，4），以坐標(biāo)原點O為位似中心，作與ΔOAB的位似比為的位似圖形Δ，

∴點A1（2×，4×）即（1，2）或（2×（-），4×（-））即（-1，-2）.

故答案為：C

【分析】利用關(guān)于原點成位似的圖形的對稱點的坐標(biāo)特點：將點A的橫縱坐標(biāo)分別乘以或乘以-可得到點A1的坐標(biāo).

10．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵與位似，

∴，，

∴，

∴，

∵與的周長之比為4：9，

∴，

∴．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)題意先求出，再求出，最后求解即可。

11．【答案】9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵和是位似圖形，位似比為2：3，

∴和的相似比為3：2，

∴的周長的周長=9，

故答案為：9．

【分析】先求出和的相似比為3：2，再求出的周長的周長即可。

12．【答案】

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵正方形與正方形是位似圖形，點O是位似中心，相似比為，點D的坐標(biāo)為，

∴，則，

∴點B的坐標(biāo)是：．

故答案為：．

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，則，即可得到點B的坐標(biāo)為。

13．【答案】9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】點A的坐標(biāo)為（3，6），點A′的坐標(biāo)為（1，2）

ΔABC與△A′B′C′的相似比為

△A′B′C′的面積為1，

ΔABC的面積為9

故答案為：9

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)可得，再求出ΔABC的面積為9即可。

14．【答案】6

【知識點】位似變換

【解析】【解答】設(shè)的周長是x，

∵與位似，相似比為，的周長為4，

∴，

解得：，

故答案為：6．

【分析】設(shè)的周長是x，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得，再求出即可。

15．【答案】

【知識點】點的坐標(biāo)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；位似變換

【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，

∵等邊△ABC與等邊△BDE是以原點為位似中心的位似圖形，

∴BC∥DE，

∴△OBC∽△ODE，

∴，

∵△ABC與△BDE的相似比為，等邊△BDE邊長為6，

∴

解得，BC=2，OB=3，

∴OA=1，

∵CA=CB，CF⊥AB，

∴AF=1，

由勾股定理得，

∴OF=OA+AF=2，

∴點C的坐標(biāo)為

故答案為：．

【分析】作CF⊥AB于F，證明△OBC∽△ODE，可得，據(jù)此求出BC=2，OB=3，從而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的長，即得點C坐標(biāo).

16．【答案】解：連接，，如圖，

①∵，

∴

∴△OAD和△OEC是等腰三角形，

∴∠，∠

∴∠，∠

②∵，

∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

③∵

∴，，三點在一條直線上；

④∵圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，

∴其倍數(shù)比為三角形的邊長比即：，

又，且

∴

即：當(dāng)時，圖形N是以點O為位似中心，把圖形M放大為原來的倍得到的．

故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；位似變換

【解析】【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)即可求解；②平行四邊形的判定即可求解；③由圖形即可直接得出答案；④根據(jù)圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，求解即可。

17．【答案】解：連接，，如圖，

①∵，

∴

∴△OAD和△OEC是等腰三角形，

∴∠，∠

∴∠，∠

②∵，

∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

③∵

∴，，三點在一條直線上；

④∵圖形M和圖形N是以點O為位似中心的位似圖形，

∴其倍數(shù)比為三角形的邊長比即：，

又，且

∴

即：當(dāng)時，圖形是以點為位似中心，把圖形放大為原來的倍得到的．

故答案為：；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

【知識點】位似變換

【解析】【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)可求解；②由平行四邊形的判定即可求解；③由圖形可直接得到答案；④通過證明△AOD∽△EOC，可得，再將數(shù)據(jù)代入計算即可。

18．【答案】（1）解：C點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為

（2）解：∵正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，

∴正方形的邊長為，則正方形的邊長為，，

∴：，解得，

∴點的坐標(biāo)為

【知識點】位似變換

【解析】【分析】（1）根據(jù)位似比為1：3，可以直接得出對應(yīng)點的坐標(biāo)。

（2）大正方