#3．生物種群數(shù)量問(wèn)題一．問(wèn)題的提出種群的數(shù)量問(wèn)題是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題。要預(yù)測(cè)未來(lái)種群的數(shù)量，最重要的影響因素是當(dāng)前的種群數(shù)量，今后一段時(shí)間內(nèi)種群的增長(zhǎng)狀況和環(huán)境因素。由于隨著種群數(shù)量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，種群的增長(zhǎng)狀況會(huì)隨著種群數(shù)量的增加而減少，而且在有限的生存空間，種群數(shù)量也不可能無(wú)限增長(zhǎng)，假設(shè)只能達(dá)到某一固定的數(shù)量值記為x，稱為最m大種群容量。又假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)種群數(shù)量的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)種群數(shù)量x的比記為：r(x)=r-sx,r、s>0,其中r相當(dāng)于x=0時(shí)的增長(zhǎng)率，稱為固有增長(zhǎng)率，記當(dāng)前(即t=0時(shí))種群數(shù)量為x，時(shí)刻t種群數(shù)量為x(t)。若利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知x,0mr，x，則0設(shè)x(t)為連續(xù)、可微函數(shù)，請(qǐng)給出未來(lái)時(shí)間里種群數(shù)量滿足的數(shù)學(xué)模型。由于某些種群是在固定的一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時(shí)間段來(lái)研究其增長(zhǎng)狀況。請(qǐng)給出未來(lái)時(shí)間里這類種群數(shù)量應(yīng)滿足的離散數(shù)學(xué)模型。二.問(wèn)題分析與模型建立由于r(x)為單位時(shí)間內(nèi)種群數(shù)量的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)種群數(shù)量的比，所以t到t+At時(shí)間內(nèi)種群數(shù)量的增量為x(t+At)一x(t)=r(x)x(t)At(1)又由于r(x)=r-sx,而當(dāng)x二x時(shí)增長(zhǎng)率應(yīng)為零，即r(x)二0，所以s=mmxmr(x)=

把它代入方程(1)得:(2)r(2)x(t+At)-x(t)=(r-)x(t)Atxm此方程兩邊同除At,并令A(yù)tt0,加上初始條件x(0)=x可得未來(lái)任意時(shí)刻t種0群數(shù)量所滿足的數(shù)學(xué)模型為：(3)x(0)=x0由于是利用種群繁殖周期作為時(shí)段來(lái)研究種群增長(zhǎng)狀況，則令A(yù)t=1，t視為整數(shù)及r(x)=r-丄x代入方程⑴得:xmrx(t+1)-x(t)=(r-)x(t)(4)xm加上初始條件x(0)=x得任意時(shí)刻t種群數(shù)量所滿足的離散型數(shù)學(xué)模型為0廠rx(t+1)=(r+1-)x(t)<xmx(0)=x0通過(guò)這個(gè)差分方程就可以很容易得到任意時(shí)刻t種群的數(shù)量。三．模型求解x(t)=1.利用Mathematica求解方程x(t)=m:—1e-rtMathematica源程序?yàn)椋篋Solve[x'(t)-r*(1-x[t]/xm)*x[t]==0,x[t],t]2.根據(jù)方程(2),只要給出初值x就可以很容易進(jìn)行遞推而得到任意時(shí)刻t種0群的數(shù)量。四．結(jié)果分析1．上面方程(3)有時(shí)稱為阻滯增長(zhǎng)模型或Logistic模型，它有著廣泛的應(yīng)用。例如傳染病在封閉地區(qū)的傳播，耐用消費(fèi)品在有限的市場(chǎng)上的銷售等現(xiàn)象，都可以合理的、簡(jiǎn)化的用這個(gè)模型來(lái)進(jìn)行描述。但它存在不足，因?yàn)殡S著環(huán)境的變遷，最大種群容量可能會(huì)發(fā)生變化，而且最大種群容量也不容易準(zhǔn)確得到。2．一方面，用離散化的時(shí)間來(lái)研究問(wèn)題有時(shí)是很方便的，尤其出現(xiàn)了計(jì)算機(jī)以后，人們可以很方便的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解；另一方面，對(duì)這個(gè)種群數(shù)量問(wèn)題，由于許多種群實(shí)際上是由單一世代構(gòu)成的，在相繼的世代之間幾乎沒(méi)有重疊，所以種群的增長(zhǎng)是分步進(jìn)行的。這種情況下，為了準(zhǔn)確的描述種群的數(shù)量動(dòng)態(tài)就不能用微分方程，而應(yīng)利用離散的模型來(lái)描述。4.人口的控制與預(yù)測(cè)模型一．問(wèn)題的提出常見(jiàn)的兩個(gè)常微分方程模型(馬爾薩斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)沒(méi)有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略了這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對(duì)每一個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考慮年齡的差異對(duì)人口的變動(dòng)的影響，即假設(shè)同一年齡的人具有相同的死亡率和生育能力，這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)老年人口、勞動(dòng)力人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人口信息.下面來(lái)建立離散的差分?jǐn)?shù)學(xué)模型來(lái)表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。二．模型的建立與求解設(shè)x(t)為第t年年齡為k的人口數(shù)量，k=0,1,2,100，即忽略百歲以上的k人口。如果知道了第t年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律推得第t+1年各年齡組的人口數(shù)。首先引入k歲人口的死亡率和k歲育齡婦女的年生育率這兩個(gè)概念，他們的含義和記號(hào)如下：k歲人口的年死亡率：丿一年內(nèi)k歲的死亡人數(shù)d=k這年內(nèi)k歲的人口數(shù)k歲婦女的年生育率：人一年內(nèi)k歲婦女生育的嬰兒數(shù)b二k這年內(nèi)k歲婦女人數(shù)第t+1年k+1歲的人口數(shù)就是第t年k歲人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù)，即x(t+1)二(1-d)x(t)，k+1kk令p二1-d稱為k歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時(shí)間的變化規(guī)律可用遞kk推公式x(t+1)二px(t),(k二0,1,—,99)k+1kk來(lái)表示。再考慮到零歲的人數(shù)x(t+1)=畀bu(t)x(t)，0kkkk=0其中u(t)x(t)為第t年k歲的婦女人數(shù)，u(t)為第t年k歲人口的女性比(占全部kkkk歲人口數(shù))，bu(t)x(t)就是第t年k歲婦女所生育的嬰兒數(shù)?由此得到的人口模kkk型是：廠x(t+1)=曙bu(t)x(t)J0kkk(1)k=0x(t+1)=px(t),k=0,1,—,99k+1kk根據(jù)人的生理特征和人口學(xué)中的習(xí)慣，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲之間，即當(dāng)k<15和k>49時(shí)，b=0，令kx(t)=(x(t),x(t),—,x(t),—,x(t))T01k100

'u(t)bu(t)bu(t)b??u(t)bu(t)b0011229999100100p000??00L=p0??00???1???????<000??pCiCt0丿99則人口模型(1)的矩陣形式為(2)x(t+1)=Lx(t)(2)其中L稱為萊斯利(Lwslie)矩陣.當(dāng)?shù)趖°年的人口狀況已知時(shí)，從式(2)就可以推得第t年的人口為x(t+1)=L-t°x(t).05.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在自由競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，商品的價(jià)格是由市場(chǎng)上該商品的供應(yīng)量決定的，供應(yīng)量越大，價(jià)格就越低。另一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價(jià)格決定的，價(jià)格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的增加。反之，價(jià)格降低會(huì)影響生產(chǎn)者的積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的下降。在沒(méi)有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將如此反復(fù)下去。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中商品的價(jià)格和數(shù)量必然是振蕩的。這種振蕩越小越好，如果振蕩太大就會(huì)影響人民群眾的正常生活。(1)商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?(2)當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?下面用差分方程理論建模，討論市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，再用圖形方法建立“蛛網(wǎng)模型”對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行分析，對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋，然后作適當(dāng)推廣。3.1模型的假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明記第n時(shí)段商品數(shù)量為x，價(jià)格為y,n二1,2,。nn這里我們把時(shí)間離散化為時(shí)段，1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的1個(gè)生產(chǎn)周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉類可以是一個(gè)飼養(yǎng)周期。在n時(shí)段商品的價(jià)格y取決于數(shù)量x。設(shè)y二f(x)。它反映消費(fèi)者對(duì)nnnn這種商品的需求關(guān)系，稱為需求函數(shù)。因?yàn)樯唐返臄?shù)量越多，價(jià)格越低。需求函數(shù)在圖1中用一條下降的曲線f表示，f稱為需求曲線。在n+1時(shí)段商品的數(shù)量x由上一時(shí)段的價(jià)格y決定，用x二g(y)n+1nn+1n表示。它反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系，稱為供應(yīng)函數(shù)。因?yàn)閮r(jià)格越高，生產(chǎn)量越大。供應(yīng)函數(shù)在圖1中用一條上升的曲線g表示，g稱為供應(yīng)曲線。圖1商品供求關(guān)系曲線3.2模型的建立與求解設(shè)需求曲線f和供應(yīng)曲線g相交于點(diǎn)P(x,y)，在P附近取函數(shù)f和g的0000線性近似，即需求曲線f：TOC\o"1-5"\h\zy一y=(x一x),a〉0(11)n0n0供應(yīng)曲線gx—x=B(y—y),B>0(12)n+10n0由式(11)(12)消去y，得到一階線性差分方程nx=—a^x+(1+aR)x,n=1,2,?…(13)n+1n0因此x是其平衡點(diǎn)，即P是平衡點(diǎn)。對(duì)式(13)進(jìn)行遞推，得00x—(—卩)nx+[1—(—a卩)n]x,n—1,2,?…n+110由此可得，平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是：a?<1；不穩(wěn)定的條件是：a卩〉1。下面用圖形解釋此模型。若對(duì)某一個(gè)k有x—x，則由(11)式得，當(dāng)n>k時(shí)x—x，從而y—y,k0n0n0即商品的數(shù)量和價(jià)格將永遠(yuǎn)保持在P(x,y)點(diǎn)。但是實(shí)際生活中的種種干擾使

000得x,y不可能停止在P(x,y)上。不妨設(shè)x偏離x(見(jiàn)圖2，圖3)，我們來(lái)分nn000100數(shù)量x給定后，價(jià)格y由曲線f上的P點(diǎn)決定，下一時(shí)段的數(shù)量x由曲線g1112

上的P點(diǎn)決定，這樣得到一序列的點(diǎn)P(x,y),P(x,y),P(x,y),2111222333P(x,y)，…,在圖2上，這些點(diǎn)將按照箭頭所示方向趨向P(x,y)，表明444000P(x,y)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，意味著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)(商品的數(shù)量和價(jià)格)將趨向穩(wěn)定。000但是如果需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)由圖3的曲線所示，則類似的分析發(fā)現(xiàn)，市場(chǎng)將按照P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，…，的規(guī)律變化為遠(yuǎn)離111222333444P(P(x00圖3P點(diǎn)是不穩(wěn)定的0圖2和圖3中折線PPPP形似蛛網(wǎng)，于是這種用需求曲線和供應(yīng)曲線分1234析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為蛛網(wǎng)模型。實(shí)際上，需求曲線f和供應(yīng)曲線g的具體形式通常是根據(jù)各個(gè)時(shí)段商品的數(shù)量和價(jià)格的一系列統(tǒng)計(jì)資料得到的。一般地說(shuō)，f取決于消費(fèi)者對(duì)這種商品地需要程度和他們地消費(fèi)水平，g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力，經(jīng)營(yíng)水平等因素有關(guān)。下面來(lái)解釋此模型的實(shí)際意義。①首先來(lái)考慮參數(shù)a,卩的會(huì)義。需求函數(shù)f的斜率a(取絕對(duì)值)：表示商品供應(yīng)量減少1個(gè)單位時(shí)價(jià)格的上漲幅度；供應(yīng)函數(shù)g的斜率0表示價(jià)格上漲1個(gè)單位時(shí)(下一時(shí)期)商品供應(yīng)增加量。a的值反映消費(fèi)者對(duì)商品需求的敏感程度。如果這種商品是生活必需品，消費(fèi)者處于持幣待購(gòu)狀態(tài)，商品數(shù)量稍缺，人們立即蜂擁購(gòu)買，那么a會(huì)比較大；反之，若這種商品非必需品，消費(fèi)者購(gòu)物心理穩(wěn)定，或者消費(fèi)水平低下，則X會(huì)比較小。P的數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者對(duì)商品價(jià)格的敏感程度。如果他們目光短淺，熱衷于追逐一時(shí)的高利潤(rùn)，價(jià)格稍有上漲立即大量增加生產(chǎn)，那么P會(huì)比較大；反之，若他們目光長(zhǎng)遠(yuǎn)，則P會(huì)比較小。根據(jù)a,卩的意義很容易對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定與否的條件作出解釋。當(dāng)供應(yīng)函數(shù)g的斜率P固定時(shí)，a越小，需求曲線越平，表明消費(fèi)者對(duì)商品需求的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。當(dāng)需求函數(shù)f的斜率a固定時(shí)，p越小，供應(yīng)曲線越陡，表明生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度越小，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。反之，當(dāng)a,卩較大，表明消費(fèi)者對(duì)商品的需求和生產(chǎn)者對(duì)商品的價(jià)格都很敏感，則會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定的解決方案當(dāng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定時(shí)，政府有兩種干預(yù)辦法：一種辦法是控制價(jià)格，無(wú)論商品數(shù)量多少，命令價(jià)格不得改變，于是a=0;不管曲線g如何，總是穩(wěn)定的；另一種辦法是控制市場(chǎng)上的商品數(shù)量，當(dāng)上市量小于需求時(shí)，政府從外地收購(gòu)或調(diào)撥，投入市場(chǎng)，當(dāng)上市量多于需求時(shí)，政府收購(gòu)過(guò)剩部分，于是P二0，不管曲線f如何，也總是穩(wěn)定的。3.3模型的改進(jìn)和推廣如果生產(chǎn)者的管理水平更高一些，他們?cè)贈(zèng)Q定商品生產(chǎn)數(shù)量時(shí)，不是僅根據(jù)前一時(shí)期的價(jià)格，而是根據(jù)前兩個(gè)時(shí)期的價(jià)格，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)不妨設(shè)根據(jù)二者的平

均值y+均值y+y—nn~12于是供應(yīng)函數(shù)為x二g(yn；yn-1)n+12在P點(diǎn)附近取線性近似時(shí)，式(12)表示為0供應(yīng)函數(shù)(g):y+yTOC\o"1-5"\h\zx—x=B(—nn—1—y),B>0(14)n+1020又設(shè)需求函數(shù)仍由式(11)表示，則由(11),(14)得到2x+apx+apx二(1+ap)x,n=1,2,(15)n+2n+1n0(15)式是二階線性差分方程。P點(diǎn)穩(wěn)定的條件可由特征方程02九2+apl+ap=0的根i「鄧±.<'(鄧)2-8鄧確定。1,24結(jié)論：若方程的特征根均在單位園內(nèi)，即叩<1,l|<1,則P為穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng)aP當(dāng)aP>8時(shí)，顯然有—ap—*,(ap)2—8apapl=<—<—2,244從而卜2>2，從而卜2>2，故此時(shí)P是不穩(wěn)定的。0當(dāng)ap<8時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根件2二乎±i4涵戸麗此時(shí)?1」=[(4)2+(4\8ap-(ap)2)2]2=y-2^-要使P為穩(wěn)定點(diǎn)，只需lx?1」=[(011,2ap<2這與原有模型中P點(diǎn)穩(wěn)定的條件郵<1相比，保持經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定的參數(shù)a,卩的范圍0放大了（a,卩的含義未變）?？梢韵氲?，這是生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者的生產(chǎn)管理水平提高，對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定起著有利影響的必然結(jié)果。專題訓(xùn)練題：養(yǎng)老金計(jì)劃養(yǎng)老金是指人們?cè)谀昀鲜スぷ髂芰罂梢园雌陬I(lǐng)取的補(bǔ)償金，這里假定養(yǎng)老金計(jì)劃從20歲開(kāi)始至80歲結(jié)束，年利率為10%。參加者的責(zé)任是，