彈性力學讀書報告一、彈性力學的發(fā)展及基本假設彈性力學是伴隨著工程問題不斷發(fā)展起來的，它是固體力學的一個分支，是研究彈性體由于外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移的一門學科。最早可以追溯到伽利略研究梁的彎曲問題、胡克的胡克定律。之后牛頓三定律的形成以及數(shù)學的不斷發(fā)展，后經(jīng)納維、柯西、圣維南、艾瑞、基爾、里茨、迦遼金等人的不斷努力。使得彈性力學具有了嚴密的理論體系并且能都求解各種復雜的問題，能夠解決強度、剛度和穩(wěn)定性等問題。目前彈性力學的相關理論在土木工程、水文地質(zhì)工程、石油工程、航空航天工程、礦業(yè)工程、環(huán)境工程以及農(nóng)業(yè)工程等諸多領域得到了廣泛的應用。彈性力學的幾個基本假設。1、連續(xù)體假設：假設無題是連續(xù)的，沒有任何空隙。因此，物體內(nèi)的應力、應變、位移一般都是逐點變化的，它們都是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。2、彈性假設：假設物體是完全彈性的。在溫度不變時，物體任一瞬間的形狀完全取決于在該瞬間時所受的外力。而與它過去的受力狀況無關。當外力消除后，它能夠恢復原來的形狀。彈性假設就是假設物體服從虎克定律，應力與應變成正比關系。3、均勻性假設：假設物體是均勻的，各部分都具有相同的物理性質(zhì)，其彈性模量和泊松系數(shù)是一常數(shù)。4、各向同性假設：假設物體內(nèi)每一點各個方向的物理和機械性質(zhì)都相同。5、小變形假設：假設物體的變形是微小的，即物體受力后，所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，應變都很小。這樣，在考慮物體變形后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸。二、三維方程2.1三維應力狀態(tài)下的平衡微分方程物體處在平衡狀態(tài)，其內(nèi)部的每一點都處于平衡狀態(tài)。使用一個微六面體代表物體內(nèi)的一點，則作用在該微六面體上的所有力應滿足平衡條件，由此可以導出平衡微分方程。

如圖一所示，取直角坐標系的坐標軸和邊重合，各邊的長度分別為dx,dy,dz。在微六面體x=0面上，應力是oxtt;在x=dx面上的應力，xxyxz圖一根據(jù)應力函數(shù)的連續(xù)性并按泰勒級數(shù)對x=0的面展開，略去高階項，可得QtTxydx,QtTxydx,Qt同理，可由y=0,z=0面上的應力表示y=dy,z=dz面上的應力。最后，所有各面上的應力如圖一示。當彈性體平衡時，P點的平衡就以微元體平衡表示。這樣，就有6個平衡方程EF=02F=02F=0XyzEM=0,EM=0,EM=0Xyz考慮微單元體沿x方向的平衡，可得dx)dydzdydz+(dx)dydzdydz+(tXyxQt—T—Tdxdz+(tyxzxQtzxQzdz)dxdy—tdxdy+Xdxdydz=0zx整理上式并除以微單元體的體積dxdydz，得

同理，建立y、z同理，建立y、zdex-dxdtdTzx■dz+產(chǎn)+dy平條件，可得dtdedTxy■+y+zydxdydzdtdtdexz-+坪+zdxdydz+X二0(2-1.1)+Y=0(2-1.2)+Z=0這就是彈性力學的平衡微分方程，其中X，Y,Z是單位體積里的體積力沿x,y.z方向上的分量。考慮圖一中微單元體的力矩平衡。對通過點C平衡于x方向的軸取力矩平衡得(t+y^dy)dxdz—y+tdxdz瞠-(t+zxdy)dxdy—Z-tdxdy主=0yxdy2yx2zydz2zy2于是力矩平衡方程在略去高階項之后只剩兩項tdxdz—ytdxdydz=0yx2zy2由此可得t=tyxzy同理可得t=t,t=txzzxxyyx這既是剪應力互等定理。它表明：在兩個互相垂直的平面上，與兩個平面的交線垂直的剪應力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。根據(jù)剪應力互等定理，式(1-1)中包含的九個應力分量中只有6個是獨立的，這6個應力描述了物體內(nèi)部的任意一點的應力狀態(tài)。2.2三維應力狀態(tài)下的幾何方程du8x8y88x8y8zYxyYyzYzxdydwdzTOC\o"1-5"\h\zdudv一+一dydxdvdw一+一dzdydwdu一+——、dxdz一2.3三維應力狀態(tài)下的物理方程=丄6E=丄6E=丄CE物理方程的矩陣形式00000001—物理方程的矩陣形式00000001—2p200=[d]{e}1—2=[d]{e}其中矩陣［D］稱為三維應力狀態(tài)下的彈性矩陣'、￡x1一卩一卩￡x一卩1一卩￡x1>=—一卩一卩1丫xyE000丫yz000、丫zx-_00002(1+』2(1+』2(1+』fzTxyTyzJzx一三、在極坐標系下的基本方程3.1應力坐標變換我們知道，直角坐標系和極坐標系變量之間的關系為x=x=rcos0y=rsin0r2=x2+y20=arctan—x彈性體在一定的應力狀態(tài)下，可以在已知直角坐標系中求解應力分量，也可以在極坐標中求解。因而應力分量在兩種坐標系中的表達式就有一定的聯(lián)系，稱為應力的坐標變化。在直角坐標系中求出三角微元體的應力分量為TOC\o"1-5"\h\zG+GG—G八.八g=——x0+—x0cos20—tsin20x22r0G+GG—G八.八<g=0一0cos20+tsin20y22r0G—Gt=r亠sin20+tcos20xy2r0在直角坐標系下的應力分量表示可在極坐標系下表示，變換后可得方程”G+GG—Gg=+ycos20+tsin20r22xyG+GG—G<g=y一cos20—tsin20y22r0t=xasin20+tcos20r02xy3.2極坐標下的平衡方程dodTc-cTOC\o"1-5"\h\zr+井+r亠+K=0

drrdurrdcdT2T第+r^+r^+K=0rdOdrr03.3極坐標下的幾何方程為du￡=——rrdruduv￡=—^+00rrd0duduur=——-+—-亠r0rd0drr四、彈性力學解題的主要方法4.1位移解法位移解法是以位移分量作為基本未知量的解法。把平衡方程、本構方程和幾何方程簡化為三個用位移分量表示的平衡方程，從中解出位移分量。然后再代回幾何方程和本構方程，進而求出應變分量和應力分量。4.2應力解法應力解法是以應力分量作為基本的未知數(shù)的解法。由協(xié)調(diào)方程、本構方程和平衡方程簡化出六個用應力分量表示的協(xié)調(diào)方程，再加上平衡方程和力邊界條件解出六個應力分量。然后由本構方程求出應變分量，再對幾何方程積分即可得到位移分量。由于應力與應變間的胡克定律是代數(shù)方程，應變解法的求解難度不會比應力解法有實質(zhì)性的改善，而邊界條件用應力表示則方便很多，所以很少采用應變解法。

4.3應力函數(shù)解法在位移解法中，引進三個單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程自動滿足，問題被歸結為求解三個用位移表示的位移方程。應變分量可由位移偏導數(shù)的組合來確定。與此類似，在應力解法中也有可以引進某些自動滿足平衡方程的函數(shù)，稱之為應力函數(shù)，把問題歸結為求解用應力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程。應力分量可由應力函數(shù)偏導數(shù)的組合來確定。應力函數(shù)解法既保留了應力解法的優(yōu)點（能直接求出應力分量），又吸收了位移解法的思想（能自動滿足平衡方程，基本未知數(shù)降為三個），所以是彈性力學理論中最常用的解法之一。五、彈性力學的應用舉例例一：懸臂梁（1）確定應力函數(shù)的邊界條件以A（0，h/2）為起始點，調(diào)整+ax+by+c中的任意常數(shù)使AdxAdx=0(a)選左手坐標系且M以逆時針為正，應力函數(shù)在邊界條件上滿足逆時鐘向：則=M;r帥ex=-R(b)x逆時鐘向：則=M;r帥ex=-R(b)xr順時鐘向：觀=-M;rr帥dx=-R;yr帥ey=R(c)xr=0；理=0'0<x<1、reyr<y=h/2丿(b)式得:d)觀=o；fexy+Px芳ex‘0<x<1'=-(P+qx);—=0eyrr<y=-h/2丿e)其中，r為流動邊界點。Rx,Ry和Mr分別是從A點起算的邊界載荷對r點簡化的主矢量和逆時鐘向主距。在下邊界AB上，載荷處處為零。由左邊界AC是放松邊界，不必逐點給定?及其偏導數(shù)值。在邊界CD上，按順時鐘向公式(c)得2)選擇域內(nèi)應力函數(shù)由應力函數(shù)沿主要邊界的分布規(guī)律可看出，?沿x方向按二次多項式規(guī)律變化,沿y方向的規(guī)律未知，由此可選x20=f(y)+xf(y)+—f(y)(f)

0122帶入邊界條件(d(e)可以定出待定函數(shù)的邊界條件當y=h/2時，f0=f1=f2=0f=瓷=f=0(g)dydydy當y=－2時，f0=－M；f1=－P；f2=－qf=瓷=f=0(h)dydydy(3)求待定函數(shù)由邊界條件(g)可得出各待定常數(shù)：-tr;B=0;C=盞；D=-纟22P3PPA=2h'h32H=-2Mh310h'K=0;3M+理i）2h80進而可得y3h3f2=-2(1f2=-2(1-3{+4汨j）(i-3弓+4掙+qhy(1-4y2h2)2最后帶回到公式（f）中得*=-2*=-2(m+Px+2qx2)(1-3h+4診+駕(1-4y2h2)2(k)4）求應力把（k）式代入應力公式辿+VQy2=型+VTxyQx2Q2*QxQTxy可以得到=-Zy(M+Px+-qx2)+qy(4蘭-3)h32hh25一2（1+一2（1+l)Txy￡(P+qx)(與-y2)h34例二：圓環(huán)或圓筒受均布壓力圖三設一軸向長度很長的圓環(huán)或者圓筒的截面如圖三示，起內(nèi)外徑分別為a,b,內(nèi)徑表面受內(nèi)壓力qa和外壓力qb作用?？紤]邊界條件T|=0T|=0<用r二a<用r=b(a)I二-q9I二-q'rr=aa'rr=bb將式fA=一+B(1+2lnr)+2Crr2A<◎=——+B(3+2lnr)+2C(b)TOC\o"1-5"\h\z9r2t=t=0r09r代入后得到fA—+B(1+2lna)+2C=—qa2a\人(c)A—+B(1+2lnb)+2C=—qb2b

式中有三個未知數(shù)，連個方程不能確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件，即u=4Br+Hr-1sin0+Kcos0=u0E0+2n兀要使其單值，必須有B=0，由式（c）得■abb2-a2A=斗(q-■abb2-a2b2-a2bar2b2qar2a2將其代回應力分量式（r2b2qar2a21—b2b2a2qbb2上述應力表達式中1)2)可見，3)Tb2a2qbb2上述應力表達式中1)2)可見，3)T=T=0r00r若a=0,qa=0,圓筒受兩向等壓的情況則有o=-q,o0=-q。rb0b若qb=0(而qaM0),則徑向應力和環(huán)向應力分別為b2b2+1o0=弋q(>0)0b2aa2-1-1o=Hq(<0),rb2aa2-1o總是壓應力，ro總是拉應力。0若qa=0(qbM0),徑向應力和環(huán)向應力分別為a21a21—r2

—rqa2bi—-b2(<0),a21+-=-丄q(<0)01a2bb2可見，o可見，o，o總是壓應力。r0（4）若bT^（q豐0），則轉化為具有圓形孔道的無限大彈性問題，則有aC9例三：矩形薄板的位移，受力如圖圖四取坐標軸如圖所示，把位移函數(shù)設為u二x(A+Ax+Ay)TOC\o"1-5"\h\z123v二x(B+Bx+By)所以123u=x,u=x2u=xy123v=x,v=x2v=xy123TOC\o"1-5"\h\z不論各系數(shù)如何取值，上式都滿足固定邊的位移邊界條件:(u)=0,(v)=0x=0x=0按瑞利-里茲法求解。板的應力邊界條件為板上邊界：(X)=T,(Y)=0y=by=b板下邊界:((X)y=0f(Y)y=0=0板右邊界：(X)=0,x=a(Y)rx=a將位移試函數(shù)代入式SU=JJXudxdy+JJXudSmmSAm

au礦=mau=JXsaJJYvdxdy+dYvdSmmaA1aUaA2aUdA3auaB1aUaB2aUSB3s

aXudS=Ja(-T)xdx