全等三角形XXX大學(xué)張XXX全等三角形XXX大學(xué)張XXX全等三角形的概念是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，研究全等三角形性質(zhì)和判定是對對應(yīng)邊之間、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系方面進(jìn)行的探究，是證明角平分線的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)．全等三角形的性質(zhì)和判定又是證明線段相等和角相等的重要方法．在性質(zhì)和判定的探究過程中，滲透了研究幾何圖形的基本思路和方法．知識梳理全等三角形的概念是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，研究全等三知識梳理重、難點與關(guān)鍵1．重點：會確定全等三角形的對應(yīng)元素2．難點：掌握找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法3．關(guān)鍵：找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。重、難點與關(guān)鍵1．重點：會確定全等三角形的對應(yīng)元素一、全等三角形一、全等三角形問題1觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全一樣的幾何圖形嗎？生活中的全等形

追問你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？問題1觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全生活中的全等點A與點D、點B與點E、點C與點F重合，稱為對應(yīng)頂點；邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF重合，稱為對應(yīng)邊；∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F重合，稱為對應(yīng)角.全等形、全等三角形及其有關(guān)概念追問1請同學(xué)們將問題2中的兩個三角形分別標(biāo)為△ABC、△DEF，觀察這兩個三角形有何對應(yīng)關(guān)系？ABCDEF點A與點D、點B與點E、全等形、全等三角形及其有關(guān)概例已知：如圖，△ABC≌△DEF.（1）若DF=10cm，則AC的長為

；（2）若∠A=100°，則：∠D的度數(shù)為

；10cm100°全等三角形的性質(zhì)的運用ABCDEF例已知：如圖，△ABC≌△DEF.10cm100解：∵∠A=100°，∠B=30°，∴∠C=180°-∠A-∠B

=50°．∵△DEF

≌△ABC，

∴∠F

=∠C

=50°

（全等三角形的對應(yīng)角相等）．全等三角形的性質(zhì)的運用例已知：如圖，△ABC≌△DEF.（3）若∠A=100°，∠B=30°，求∠F的度數(shù).ABCDEF解：∵∠A=100°，∠B=30°，全等三角形的性ABC△ABC≌△DEF

DEF思考:兩個三角形全等表示的含義是什么?兩個全等三角形能夠完全重合其中重合的頂點叫__________其中重合的邊叫_______其中重合的角叫_______對應(yīng)頂點對應(yīng)角對應(yīng)邊點A、點F的對應(yīng)頂點分別是___、

___AB、DF的對應(yīng)邊分別是___、___∠A、∠F的對應(yīng)角分別是___、

___DCDEAC∠D∠C(讀作:全等于)全等三角形的表示ABC△ABC≌△DEFDEF思考:兩個三角形全等表示的含如圖：△ABC≌△DEF則有：

AB=DEAC=DFBC=EF∠A=∠D

∠B=∠E∠C=∠F

ABC

DEF

書寫兩個三角形全等時,把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。全等三角形的性質(zhì)1.全等三角形對應(yīng)邊相等；2.全等三角形對應(yīng)角相等；3.全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線相等；4.全等三角形的面積、周長相等。如圖：△ABC≌△DEF則有：AB=DE平移三角形的基本圖形平移平移三角形的基本圖形平移ABCDE⑴△

≌△⑵對應(yīng)邊是⑶對應(yīng)角是ABCDECAC與DC，AB與DE，BC與EC∠A與∠D、∠B與∠E、∠ACB與∠DCEABCDE旋轉(zhuǎn)ABCDE⑴△≌△⑵對應(yīng)邊是⑶對應(yīng)角是ABCDECABCDAABBDC如圖△ABD≌△ABC⑴AD的對應(yīng)邊是；AB的對應(yīng)邊是⑵∠DAB的對應(yīng)角是ACAB∠CABABCD翻折ABCDAABBDC如圖△ABD≌△ABC⑴AD的對應(yīng)邊是2.

叫做全等三角形。1.能夠完全重合的兩個圖形叫做

。全等形4.全等三角形的

和

相等對應(yīng)邊對應(yīng)角對應(yīng)頂點內(nèi)容小結(jié)

能夠完全重合的兩個三角形3.“全等”用符號“”來表示，讀作“

”對應(yīng)邊對應(yīng)角全等于≌

其中：互相重合的頂點叫做＿＿＿互相重合的邊叫做＿＿＿＿互相重合的角叫做＿＿＿2.叫做全D課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，△OCA≌△OBD，點C和點B，點A與點D是對應(yīng)點，則下列結(jié)論錯誤的是（）（A）∠COA=∠BOD；（B）∠A=∠D；（C）CA=BD；（D）

OB=OA．CBOADD課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，△OCA≌△OBD，點C和點B，練習(xí)2

△ABN

≌△ACM，∠ABN

和∠ACM

是對

應(yīng)角，AB

和AC

是對應(yīng)邊．則下列結(jié)論錯誤的是（）．（A）∠AMC=∠ANB

；（B）∠BAN=∠CAM

；（C）BM=MN；（D）AM=AN．Ｃ課堂練習(xí)ABCMN練習(xí)2△ABN≌△ACM，∠ABN和∠ACM是對練習(xí)3

如圖，△ABC≌△CDA，AB與CD，BC與DA是對應(yīng)邊，則下列結(jié)論錯誤的是（）．

（A）∠

BAC

=∠

DCA

；（B）AB//DC；（C）∠BCA=∠DCA；（D）BC//DA．ＣABCD課堂練習(xí)練習(xí)3如圖，△ABC≌△CDA，AB與CD，BC與練習(xí)4

如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應(yīng)角．（1）FG與MH平行嗎？為什么？（2）判斷線段EH與NG的大小關(guān)系，并說明理由．（1）平行；（2）相等．HENGFM課堂練習(xí)練習(xí)4如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應(yīng)角如圖,矩形ABCD沿AM折疊,使D點落在BC上的N點處，如果AD=4cm,DM=3cm,∠DAM=39°,則AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=_

__.MDANBC4cm3cm）39°4339°如圖,矩形ABCD沿AM折疊,使D點落在BC上的N點處，如果找對應(yīng)元素的常用方法有三種：（一）從運動角度看1．平移法：沿某一方向推移使兩三角形重合來找對應(yīng)元素．2．翻轉(zhuǎn)法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素．3．旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素．找對應(yīng)元素的常用方法有三種：（一）從運動角度看（二）根據(jù)位置元素來推理1．全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．2．全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．（三）根據(jù)經(jīng)驗來判斷1.

大邊對應(yīng)大邊，大角對應(yīng)大角2.

公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角（二）根據(jù)位置元素來推理二、三角形全等的判定二、三角形全等的判定尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問題1先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABC尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問題1先任意畫出一個△A例題講解，學(xué)會運用例如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點A和B的點C，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接BC并延長至E，使CE=CB，連接ED，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？ABCDE12例題講解，學(xué)會運用例如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距例題講解，學(xué)會運用AC=

DC（已知），∠1=∠2（對頂角相等），BC

=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）．∴

AB

=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．例題講解，學(xué)會運用AC=DC（已知），證明：在△ABC全等形全等三角形性質(zhì)判定應(yīng)用HL全等三角形對應(yīng)邊相等全等三角形對應(yīng)角相等解決問題SSSSASASAAAS一般三角形直角三角形知識結(jié)構(gòu)圖全等形全等三角形性質(zhì)判定應(yīng)用HL全等三角形對應(yīng)邊相等全等三角

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號語言表達(dá)為：三角形全等判定方法1知識梳理:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊三角形全等判定方法2用符號語言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)知識梳理:FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF三角形全等判定方法2用符號語言表達(dá)為：在△ABC與△DEF∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。用符號語言表達(dá)為：FEDCBA三角形全等判定方法3知識梳理:∠A=∠D（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌知識梳理:

思考:在△ABC和△DFE中,當(dāng)∠A=∠D,∠B=∠E和AC=DF時,能否得到△ABC≌△DFE?三角形全等判定方法4

有兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。知識梳理:思考:在△ABC和△DFE中,當(dāng)∠ABCA′B′C′知識梳理:直角三角形全等判定：HLABCA′B′C′知識梳理:直角三角形全等判定：HL知識梳理:ABDABCSSA不能判定全等ABC知識梳理:ABDABCSSA不能判定全等ABC畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，

AB=DE=5cm

，AC=DF=3cm

．觀察所得的兩個三角形是否全等？

兩邊和其中一邊的對角這三個條件無法唯一確定三角形的形狀，所以不能保證兩個三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．探索“SSA”能否識別兩三角形全等畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，

兩邊和其證明兩個三角形全等例1：如圖,點B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC≌ΔABD,可補(bǔ)充的一個條件是

.分析：現(xiàn)在我們已知

A→∠CAB=∠DAB①用SAS,需要補(bǔ)充條件AD=AC,

②用ASA,需要補(bǔ)充條件∠CBA=∠DBA,

③用AAS,需要補(bǔ)充條件∠C=∠D,④此外,補(bǔ)充條件∠CBE=∠DBE也可以(?)

S→AB=AB(公共邊).AD=AC∠CBA=∠DBA∠C=∠D∠CBE=∠DBE證明兩個三角形全等例1：如圖,點B在AE上,∠CAB=∠D練習(xí):如圖,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,請你增加一個條件是

.練習(xí)2：如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有()個.A.4B.3C.2D.1練習(xí):如圖,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,請你增加一個∵BE=EB(公共邊)又∵AC∥DB(已知)∠DBE=∠CEB(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)例3:如圖,AC∥DB,AC=2DB,E是AC的中點,求證:BC=DE證明:∵AC=2DB,AE=EC(已知)∴DB=ECDB=ECBE=EB∴ΔDBE≌ΔCEB(SAS)∴BC=DE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)證明兩條線段相等∵BE=EB(公共邊)又∵AC∥DB(已知)∠DBE=例4(2007金華):如圖,A,E,B,D在同一直線上,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,在ΔABC和ΔDEF,(1)求證:ΔABC≌ΔDEF;(2)你還可以得到的結(jié)論是

.(寫出一個,不再添加其他線段,不再表注或使用其他字母)(1)證明:∵AC∥DF(已知)∴∠A=∠D(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)AB=DE(已知)∠A=∠D(已證)AC=DF(已知)∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)在ΔABC和ΔDEF中例4(2007金華):如圖,A,E,B,D在同一直線上,（2）解:根據(jù)”全等三角形的對應(yīng)邊(角)相等”可知:②∠C=∠F,③∠ABC=∠DEF,④EF∥BC,⑤AE=DB等①BC=EF,（2）解:根據(jù)”全等三角形的對應(yīng)邊(角)相等”可知:②∠C=變式1:在原題條件不變的前提下,可以探求以下結(jié)論:(1)求證:AG=AF;(2)求證:⊿ABF≌⊿ACG;(3)連結(jié)GF,求證⊿AGF是正三角形;(4)求證GF//CD變式2:在原題條件下,再增加一個條件,在CE,BD上分別取中點M,N,求證:⊿AMN是正三角形如圖,A是CD上的一點,⊿ABC,⊿ADE都是正三角形,求證CE=BDACDEFGB變式1:在原題條件不變的前提下,可以探求以下結(jié)論:如圖,A是變式3:如圖,點C為線段AB延長線上一點,⊿AMC,⊿BNC為正三角形,且在線段AB同側(cè),求證AN=MBABCNM分析:此中考題與原題相比較,只是兩個三角形的位置不同,此圖的兩個三角形重疊在一起,增加了難度,其證明方法與前題基本相同,只須證明⊿ABN≌⊿BCM變式3:如圖,點C為線段AB延長線上一點,⊿AMC,⊿BNC變式4:如圖,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形,求證CD=BEABCDE分析:此題實質(zhì)上是把題目中的條件B,A,C三點改為不共線,證明方法與前題基本相同.變式4:如圖,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形,求證CD=BE變式6:如圖,分別以⊿ABC的邊AB,AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG,連結(jié)CE,BG.求證BG=CEABCFGED分析:此題是把兩個三角形改成兩個正方形而以,證法類同變式6:如圖,分別以⊿ABC的邊AB,AC為一邊畫正方形AE本章的知識結(jié)構(gòu)圖：體系建構(gòu)問題2請整理一下本章所學(xué)的主要知識，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系嗎？你能畫出一個本章的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？SSS、SAS、ASA、AAS、HL全等形全等三角形角平分線的性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等判定性質(zhì)本章的知識結(jié)構(gòu)圖：體系建構(gòu)問題2請整理一下本章體系建構(gòu)問題3結(jié)合本章知識結(jié)構(gòu)圖，思考以下問題：（1）回顧本章的學(xué)習(xí)過程，全等三角形的性質(zhì)和判定在本章中的重要作用是如何體現(xiàn)的？從知識間的內(nèi)在聯(lián)系及知識的推理依據(jù)來分析，全等形、全等三角形、角平分線，角平分線的性質(zhì)和判定等，都體現(xiàn)了全等三角形知識的運用；同時，全等三角形知識也是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)．體系建構(gòu)問題3結(jié)合本章知識結(jié)構(gòu)圖，思考以下問題：從知識回憶全等三角形、角平分線的性質(zhì)和判定的作用．體系建構(gòu)問題3結(jié)合本章知識結(jié)構(gòu)圖，思考以下問題：（2）通過本章的學(xué)習(xí)，說一說證明線段相等和角相等的方法有哪些？回憶全等三角形、角平分線的性質(zhì)和判定的作用．體系建構(gòu)典型例題例1已知：如圖，∠CAB=∠DBA，AD、BC分別是∠CAB、∠DBA角平分線，AD、BC相交于點O．求證：（1）△CAB≌△DBA；ABCDO典型例題例1已知：如圖，∠CAB=∠DBA，AD、B證明：由（1）得，△CAB≌△DBA

,∴∠C=∠D，CA=DB．又∠COA=∠DOB，∴△OCA≌△ODB．典型例題例1已知：如圖，∠CAB=∠DBA，AD、BC分別是∠CAB、∠DBA角平分線，AD、BC相交于點O．求證：（2）△OCA≌△ODB；ABCDO證明：由（1）得，典型例題例1已知：如圖，∠CAB

答：

O到三條直線AC、AB、BD的距離相等．

理由：略．典型例題例1已知：如圖，∠CAB=∠DBA，AD、BC分別是∠CAB、∠DBA角平分線，AD、BC相交于點O．求證：（3）O到三條直線AC、AB、BD的距離有何大小關(guān)系？并說明理由．ABCDO答：O到三條直線AC、典型例題例1已知：如圖，

證明：請同學(xué)們自己寫出證明過程．典型例題例2已知：如圖，AC//BD，AC=BD，求證：AD//BC．ABCD證明：請同學(xué)們自己典型例題例2已知：如圖，AC/

答：

DE//CF

且DE

=CF；理由：方法一可證△CBF≌△DAE；方法二可證△CAF≌△DBE．典型例題追問在例2中，AC//BD，AC=BD，在AB上取兩點E、F，AE=BF．請你判斷DE、CF有何關(guān)系？并說明理由．ABCDＥＦ答：DE//CF且DE=CF；典型例題追問（1）本章的核心知識有哪些？這些知識之間有何聯(lián)系？（2）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勅热切蔚闹R在解題中有哪些作用？歸納小結(jié)（1）本章的核心知識有哪些？這些知識之間有何聯(lián)系？歸納小結(jié)三、角的平分線的性質(zhì)三、角的平分線的性質(zhì)探究角平分線的性質(zhì)

(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究角平分線的性質(zhì)(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直如圖，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開.觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？試著證明你的結(jié)論.（1）角的平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（2）角的平分線性質(zhì)的證明步驟：如圖，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜①明確命題中的已知和求證;已知:一個點在一個角的平分線上.結(jié)論:這個點到這個角兩邊的距離相等.②根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證;已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E.求證:PD=PE.③經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.①明確命題中的已知和求證;證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠P