6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

體會(huì)課堂探究的樂(lè)趣，汲取新知識(shí)的營(yíng)養(yǎng)，讓我們一起吧！進(jìn)走課堂例1

如圖6.4-1,DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：DE//BC,DE=BC.探究1平面幾何中的向量方法（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題.（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素.幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化【方法規(guī)律】用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：例2.平行四邊形ABCD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？BCDA解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.注意這種求模的方法BCDA第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：BCDA上面兩式相加，得第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AC2+BD2=2(AB2+AD2).平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.【變式練習(xí)】

探究2利用向量解決力（速度、位移）的合成與分解例3.在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

分析：不妨以?xún)扇斯蔡崧眯邪鼮槔灰芯壳宄蓚€(gè)拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個(gè)拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋.解：先來(lái)看共提旅行包的情況.如圖6.4-5,設(shè)作用在旅行包上的兩個(gè)拉力分別為F1,F2，為方便起見(jiàn)，我們不妨設(shè)|F1|=|F2|.另設(shè)F1,F2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道這里，|G|為定值.分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ由0逐漸變大到π時(shí)，由0逐漸變大到，cos的值由大逐漸變小，此時(shí)|F1|由小逐漸變大；圖6.4-5反之，當(dāng)θ由π逐漸變小到0時(shí)，

由

逐漸變小到0,cos的值由小逐漸變大，此時(shí)|F1|由大逐漸變小.這就是說(shuō)，F(xiàn)1,F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力.同理，在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.思考1:上述結(jié)論表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于夾角θ的函數(shù).在物理學(xué)背景下，這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？單調(diào)性如何？提示:增函數(shù)思考2:

||有最小值嗎？||與||可能相等嗎？為什么？提示:用向量解力學(xué)問(wèn)題對(duì)物體進(jìn)行受力分析畫(huà)出受力分析圖轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題10NACBDACBDAB答：當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要3.1min.【變式練習(xí)】平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例1.向量方法解決平面幾何問(wèn)題“三步曲”.2.用向量法解決物理問(wèn)題.核心知識(shí)核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面幾何圖形的有關(guān)問(wèn)題,用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將物理問(wèn)題向量化.