2022北京初三二模數(shù)學(xué)匯編

新定義(28題)

1.(2022?北京昌平?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。的半徑為1,對(duì)于一A8C和直線/給出如下定義：若

，鉆C的一條邊關(guān)于直線/的對(duì)稱線段P。是o的弦，則稱，是Q的關(guān)于直線/的“關(guān)聯(lián)三角形”，直線/是

“關(guān)聯(lián)軸”.

圖1備用圖

(1)如圖1,若.ABC是的關(guān)于直線/的“關(guān)聯(lián)三角形”，請(qǐng)畫出45C與一。的“關(guān)聯(lián)軸”(至少畫兩條)；

(2)若ABC中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,3),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)C在直線y=-x+3的圖像上，存在“關(guān)聯(lián)軸/”使

.43C是：。的關(guān)聯(lián)三角形，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)己知A(G,1),將點(diǎn)A向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)〃，以M為圓心M4為半徑畫圓，B,C為M上的兩

點(diǎn)，且48=2(點(diǎn)8在點(diǎn)A右側(cè))，若ABC與。。的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫出。C的最小值和最大值，以

及OC最大時(shí)AC的長(zhǎng).

2.(2022.北京燕山.二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)尸在圖形M上，點(diǎn)。在圖形N上，

如果PQ兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N的“近距離”，記為"(M,N).特別地，當(dāng)圖形

〃與圖形N有公共點(diǎn)時(shí)，”(M,N)=0.

已知A(-4,0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

(1)d(點(diǎn)A,點(diǎn)C)=,d(點(diǎn)A,線段BD)=；

(2)。0半徑為r,

①當(dāng)r=1時(shí)，求。O與正方形ABCD的“近距離”d(。0,正方形ABCD)；

②若d（0O,正方形ABCD）=1,貝ljr=.

（3）M為x軸上一點(diǎn)，0M的半徑為1,0M與正方形ABCD的“近距離”d（OM,正方形ABCD）<1,請(qǐng)直

接寫出圓心M的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

3.（2022.北京密云.二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)尸（2,3）與圖形T,給出如下定義：在點(diǎn)P與圖形T

上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”.

備用圖

（1）如圖，。。的半徑為2,且與x軸分別交于A,8兩點(diǎn).

①線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為；。。關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為.

②點(diǎn)M（加,0）為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)線段AM關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為2時(shí)，求，〃的取值范圍.

（2）已知一次函數(shù)y=x+l的圖象分別與x軸、y軸交于￡>、E兩點(diǎn),0c的圓心在x軸上，且。C的半徑為

1.若線段OE上的任意一點(diǎn)K都能使得0c關(guān)于點(diǎn)K的“寬距”為2,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)X,的取值范

圍.

4.（2022.北京大興?二模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，對(duì)于點(diǎn)P和直線y=l,給出如下定義：若點(diǎn)尸在直線

y=i上，且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角是45。，則稱點(diǎn)p為直線y=i的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)

（1）若在直線X=1上存在直線y=i的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”尸.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

y八

2-

i尸i

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

（2）過(guò)點(diǎn)P（2,l）作兩條射線，一條射線垂直于x軸，垂足為A；另一條射線、交x軸于點(diǎn)3,若點(diǎn)P為直線

3=1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

y\

2-

1尸1

1111[11I>

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

（3）以點(diǎn)。為圓心，1為半徑作圓，若在。上存在點(diǎn)M使得NOPN的頂點(diǎn)P為直線y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.則

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a的取值范圍是.

5.（2022?北京門頭溝.二模）我們規(guī)定：如圖，點(diǎn)H在直線MN上，點(diǎn)尸和點(diǎn)P，均在直線MN的上方，如果

HP=HP,=點(diǎn)P，就是點(diǎn)P關(guān)于直線MN的“反射點(diǎn)”，其中點(diǎn)//為“V點(diǎn)”，射線"P與射線

“組成的圖形為‘，形

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

(1)如果點(diǎn)P(0,3),"(1.5,0),那么點(diǎn)尸關(guān)于X軸的反射點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)已知點(diǎn)A(0,a),過(guò)點(diǎn)A作平行于x軸的直線/.

①如果點(diǎn)B(5,3)關(guān)于直線/的反射點(diǎn)&和“V點(diǎn)”都在直線y=T+4上，求點(diǎn)的坐標(biāo)和“的值；

②：W是以(3,2)為圓心，1為半徑的圓，如果某點(diǎn)關(guān)于直線/的反射點(diǎn)和“丫點(diǎn)”都在直線y=-x+4上，且形成的

“V形”恰好與：卬有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

6.(2022.北京順義.二模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，對(duì)于點(diǎn)R和線段PQ,給出如下定義：M為線段尸。上

任意一點(diǎn)，如果R，M兩點(diǎn)間的距離的最小值恰好等于線段PQ的長(zhǎng)，則稱點(diǎn)/?為線段PQ的“等距點(diǎn)

(1)己知點(diǎn)4(5,0).

①在點(diǎn)4(-3,4),國(guó)(1,5),Q(4,-3),Q(3,6)中,線段。4的“等距點(diǎn)”是；

②若點(diǎn)C在直線y=2x+5上，并且點(diǎn)C是線段的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)。(1,0),點(diǎn)E(0,-1),圖形卬是以點(diǎn)T&0)為圓心，1為半徑的e7位于x軸及x軸上方的部

分.若圖形W上存在線段?！甑摹暗染帱c(diǎn)”，直接寫出f的取值范圍.

7.(2022.北京房山二模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形叱和圖形也.給出如下定義：在圖形叱上存在

兩點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B可以重合)，在圖形電上存在兩點(diǎn)M,N,(點(diǎn)M、N可以重合)使得AM=2BN,則稱

圖形叱和圖形電滿足限距關(guān)系

（1）如圖1,點(diǎn)C（6,（））,￡>（（）,-1）,E（（）,D，點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)C,E重合），連接OROP.

①線段0P的最小值為,最大值為；線段。尸的取值范圍是；

②在點(diǎn)O,點(diǎn)。中，點(diǎn)與線段￡C滿足限距關(guān)系；

（2）在（1）的條件下，如圖2,。的半徑為1,線段尸G與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)RG,且

FG//EC,若線段FG與。滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）。的半徑為r（r>0）,點(diǎn)“，K是O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以“，K為圓心，2為半徑作圓得到以和

K,若對(duì)于任意點(diǎn)H,K,H和K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍.

8.（2022?北京西城.二模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，對(duì)于線段AB與直線/：y=^+b,給出如下定義：若線

段A3關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為（4,&分別為點(diǎn)A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段A0為線段A8的“伏，可關(guān)

聯(lián)線段”.

已知點(diǎn)A（l,l）,

（1）線段AE為線段AB的“口,可關(guān)聯(lián)線段”，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,則的長(zhǎng)為,6的值為；

（2）線段40為線段A8的“伏,0］關(guān)聯(lián)線段”，直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0,2）,若點(diǎn)A,U都在直線4上，連接OA,求

NCOA的度數(shù)；

（3）點(diǎn)P（-3,0）,2（-3,3）,線段為線段43的“伏，句關(guān)聯(lián)線段”，且當(dāng)6取某個(gè)值時(shí)，一定存在左使得線

段A0與線段PQ有公共點(diǎn)，直接寫出人的取值范圍.

9.（2022?北京海淀?二模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，對(duì)于線段直線/和圖形W給出如下定義：線段

關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為何NYM',N分別是M,N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.若MN與MTV均在圖形W內(nèi)部（包括邊

界），則稱圖形卬為線段MN關(guān)于直線/的“對(duì)稱封閉圖形”.

y

6

5

4

3

2

123456x

-6

(1)如圖，點(diǎn)、P(-1,0).

①已知圖形W/：半徑為1的。O,M：以線段PO為邊的等邊三角形，W;：以。為中心且邊長(zhǎng)為2的正方

形，在W/,加，初中，線段PO關(guān)于y軸的“對(duì)稱封閉圖形”是;

②以。為中心的正方形A8C。的邊長(zhǎng)為4,各邊與坐標(biāo)軸平行.若正方形A8CO是線段PO關(guān)于直線y=x+b

的“對(duì)稱封閉圖形”，求6的取值范圍；

(2)線段MN在由第四象限、原點(diǎn)、x軸正半軸以及y軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的長(zhǎng)度為2.若存在點(diǎn)

Q(a-2近,a+2及),使得對(duì)于任意過(guò)點(diǎn)。的直線I,有線段MN,滿足半徑為廣的。。是該線段關(guān)于/的“對(duì)

稱封閉圖形”，直接寫出廠的取值范圍.

10.(2022?北京豐臺(tái)?二模)在平面直角坐標(biāo)系xO,41,的半徑為1,A為任意一點(diǎn)，3為。。上任意一

點(diǎn)，給出如下定義：記A,B兩點(diǎn)間的距離的最小值為p(規(guī)定：點(diǎn)A在。O上時(shí)，。=0),最大值為q,那么

把牛的值稱為點(diǎn)A與。。的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d(A,OO)

(1)如圖，點(diǎn)。，E,尸的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)

①d(D,OO)=；

②若點(diǎn)M在線段放上，求d(M,OO)的取值范圍;

(2)若點(diǎn)N在直線＞=&+26上，直接寫出d(N,OO)的取值范圍；

(3)正方形的邊長(zhǎng)為相，若點(diǎn)P在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足4(P,OO)的最小值為1,最大值為9,

直接寫出，〃的最小值和最大值.

2022北京初三二模數(shù)學(xué)匯編

新定義(28題)參考答案

i.(1)見解析

(2)0WxcW4

(3)273-2,2幣,273

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)A(1,2),B(2,1),C(4,1),計(jì)算48=J(2_1)2+(1_2)2=0,

確定圓O長(zhǎng)為正的弦，再確定其對(duì)稱軸即可.

(2)根據(jù)A(2,3),8(4,1),計(jì)算43=J(4-2尸+(3-1)2=2夜＞2,故48不能落在圓的內(nèi)部；過(guò)點(diǎn)A作

AMLy軸，垂足為M則AN=2,等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸/”使，ABC是.。的關(guān)聯(lián)三角形，此時(shí)％=0；

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P,此時(shí)6P=2,等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸/”使一是。的關(guān)聯(lián)三角形，此時(shí)

2=4,綜上所述，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的范圍是0W2W4.

(3)如圖，連接OM,交圓M于點(diǎn)C,此時(shí)OC最小，根據(jù)勾股定理，得0加=行+(6)2=26,圓M的半

徑為2,計(jì)算OC的最小值；OC=J(3+2)2+(K)2=2療,此時(shí)AC=4.

(1)

如圖1,作軸，垂足為根據(jù)題意A8=AE=妊'=BF=&,且/EFO=NBFM=45°,

：.NEFB=90°,

四邊形ABFE是正方形，

.?.邊AE,8F的中點(diǎn)所在直線就是」ABC與。的一條“關(guān)聯(lián)軸”；

:。的半徑為1,

?.EH=GH=FG=EF==近，且NEFG=90°,

???四邊形EFG”是正方形,

?：ZEFG+ZEFB=180°,

:.B、F、G三點(diǎn)共線，

，直線EF是一ABC與：Q的一條“關(guān)聯(lián)軸”.

(2)

如圖2,根據(jù)A(2,3),8(4,1),C(4,1),計(jì)算48=J(4-2了+(3-=20>2,故A8不能落在圓的

內(nèi)部；

過(guò)點(diǎn)A作ANLy軸，垂足為N,貝IJAN=2,等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸/"使”A8C是。的關(guān)聯(lián)三角形，

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P,止匕時(shí)8P=2,等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸/”使ABC是一。的關(guān)聯(lián)三角形，此時(shí)

%=4,綜上所述，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的范圍是0W2W4.

(3)

如圖，連接0M,交圓M于點(diǎn)C,此時(shí)OC最小,

根據(jù)勾股定理，得0知=百+(6)2=26,圓M的半徑為2,

故OC的最小值為26-2；

當(dāng)點(diǎn)C是直徑AC的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),OC最大，根據(jù)勾股定理，得

0C=J(3+2y+(揚(yáng)2=2不，止匕時(shí)AC=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，正確理解新定義是解

題的關(guān)鍵.

2.(1)8；4；(2)①2近-1；②2y/2-1或5；(3)2>/2-4或4-2近<m<(>-

【解析】

【分析】

(1)圖形M,N的“近距離”的定義可求解；

(2)①根據(jù)題意作圖，根據(jù)“近距離”的定義即可求解；

②根據(jù)題意分圓在正方形ABCD內(nèi)部和外部分別作圖求解；

(3)由題意可求NOCB=45。，分點(diǎn)M在x軸正半軸且。M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，及點(diǎn)M在x軸負(fù)

半軸且。M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，由題意列出不等式，即可求解.

【詳解】

(1)VA(-4,0),C(4,0),

d(點(diǎn)A,點(diǎn)C)=8；

VB(0,4),D(0,-4),

線段BD在y軸上

.\d（點(diǎn)A,線段BD）為A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，即4

故答案為：8；4；

（2）①如圖，當(dāng)r=1時(shí)，

過(guò)點(diǎn)0作OEJ_AB于E點(diǎn)，OE與。。交于H點(diǎn)，

則0E=；AB=3xJ42+4?=2V2

與正方形ABCD的“近距離”d（OO,正方形ABCD）=EH=OE-OH=20-1；

②如圖，當(dāng)。。在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，d（OO,正方形ABCD）=1

即EH=OE-OH=1

貝ijOH=OE-EH=2V2-1

當(dāng)。。在正方形ABCD外部時(shí)，d（OO,正方形ABCD）=1

即BG=1

則OG=OB+BG=5

故答案為：2啦-1或5；

（3）如圖，VOB=OC,

；./OCB=45。，

當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸且。M在正方形ABCD的外面時(shí),OM的半徑為1

Vd（OM,正方形ABCD）<1

由圖可得0M2-0C-1V1

即OM2-4-1C1

.,.OM2<6

即m<6；

當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸且。M在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí),0M的半徑為1,

過(guò)點(diǎn)Mi作MiGJ_BC,

Vd（0M,正方形ABCD）<1

/.MiG-r<l

?.?MiG=CMrsin45°=等（4-m）

解得m>4-2夜

4-2夜<m<6

當(dāng)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸且OM在正方形ABCD的外面與內(nèi)部時(shí)，同理可得-6<機(jī)<2夜-4

綜上，m的取值范圍為-6<膽<2啦-4或4-2應(yīng)<，*<6.

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的運(yùn)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

3.⑴①2；4

②三壯6

(2)xC±2或X。夜-1

【解析】

【分析】

(1)①連接如，PB,求出PA=5,PB=4,證PBLx軸，則PA是最大值，PB是最小值，即可由“寬距”定義

求解第一空；作直線0P交。。于G、H,線段尸，長(zhǎng)度最大，PG長(zhǎng)度最小，即可由“寬距”定義求解第二空；

②當(dāng)0<m<2時(shí)，PA長(zhǎng)度是最大值,PM長(zhǎng)度是最小值，“寬距”=PA-PM<2,不符合題意，當(dāng)定2時(shí)，則點(diǎn)尸

到x軸的最短距離為3,即點(diǎn)P到AM的最短距離為3,所當(dāng)PM長(zhǎng)度是最大時(shí)，最大值為2+3=5,則求得

〃?=6,即可得出答案；

(2)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C(xC,0)在點(diǎn)。的左側(cè)，且。C經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C(xC,0)在點(diǎn)。的右側(cè)，且

0c與直線y=x+l相切于點(diǎn)N時(shí)，分別求解即可.

(1)

解：①如圖1,連接PA,PB,

由圖可知：A(-2,0),B(2,0),

.?.A8=4,

,：P(2,3),

.?.P8L軸，

:.PB=3,PA=J(2+2『+32=5,

.?.線段AB關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為5-3=2；

作直線OP交。。于G、H,

則點(diǎn)這與。。上各點(diǎn)連接的所有線段中，線段P"長(zhǎng)度最大，PG長(zhǎng)度最小,

...。。關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為PH-PG=GH=4；

圖1

故答案為：2,4；

②..,點(diǎn)M(m,0)為x軸正半軸上的一點(diǎn),

/.m>0,

當(dāng)0<〃?<2時(shí)，PA長(zhǎng)度是最大值，長(zhǎng)度是最小值，“寬距”=P4-PM<2,不符合題意,

當(dāng)ni>2時(shí),

?：P(2,3),

，點(diǎn)P到尢軸的最短距離為3,即點(diǎn)P到AM的最短距離為3,

又??,線段AM關(guān)于點(diǎn)P的“寬距”為2,

???當(dāng)PM長(zhǎng)度是最大時(shí)，最大值為2+3=5,

PM龍產(chǎn)J(m—2y+3?=5,

解得m=6或〃『-2,

/.2<m<6.

(2)

解：如圖2,在直線y=x+l中，令％=0,貝令y=0,則x=-l,

：.D(-1,0),E(0,1),

：.OD=OE=l,

：.ZODE=45°,

當(dāng)點(diǎn)。(xC,0)在點(diǎn)。的左側(cè)，且。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，

圖2

???。。半徑為1,

AxC=-2,

由(1)①第二空可知，當(dāng)xC￡2時(shí)，，線段OE上任意一點(diǎn)K都能使得。C關(guān)于K的“寬距”為2；

當(dāng)點(diǎn)C(xC,0)在點(diǎn)。的右側(cè)，且。C與直線y=x+l相切于點(diǎn)N時(shí)，則CNLOE,

:.CN=1,

'：NODE=45°,

NDCN=90°-NODE=45°,

：.DN=CN=\,

CD=sjDN2+CN2=Vl2+12=0，

：.OC=CD-OD=6-1,

由(1)①第二空可知，當(dāng)X6血-1時(shí)，線段QE上任意一點(diǎn)K都能使得。C關(guān)于K的“寬距”為2；

綜上，圓心C的橫坐標(biāo)攵的取值范圍為xC92或X。應(yīng)-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，屬圓的綜合題目，新定義的理解和正確運(yùn)用是解

題的關(guān)鍵.

4.(1)

(2)3(1,0)或3(3,0).

(3)-l<a<l.

【解析】

【分析】

(1)在直線x=l上存在直線y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P,可得點(diǎn)P為兩直線的交點(diǎn)，從而可得答案；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；

(3)如圖，過(guò)(-L0),(1,0)作圓的兩條切線，當(dāng)時(shí)，1OPN45?,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可

得：?OQN?OPN45?,再根據(jù)對(duì)稱性，可得答案.

(1)

解：在直線x=l上存在直線y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P.則點(diǎn)P為兩直線的交點(diǎn),

y八

2-

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

(2)

如圖，點(diǎn)P為直線y=1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)

\1APB45?,

軸，%=1,

\AB=AP=\,

.18(1,0)或3(3,0).

(3)

如圖，過(guò)(-1,0),。,0)作圓的兩條切線,

當(dāng)尸(-1,1),%(0,1)時(shí)，1OPN45?,

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得：?OQN?OPN45?,

所以此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)。的范圍：。2-1,

同理：當(dāng)P在第一象限時(shí)，滿足

綜上：點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)a的范圍：-l<a<l.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義情境下的坐標(biāo)與圖形，三角形的外角的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，理解題意，利

用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

5.(1)(3,3)

(2)①*(1,3),a=l；②也,或“<上近.

22

【解析】

【分析】

(1)由題知，戶與P'關(guān)于直線x=1.5對(duì)稱，由此求出P，的坐標(biāo)；

(2)①由題可知，點(diǎn)夕與點(diǎn)8的縱坐標(biāo)相同，又點(diǎn)&在直線，=-+4上，由此可求出9的坐標(biāo)，從而確定直

線/的位置，計(jì)算“的值；②分析題意，可知“V點(diǎn)”是直線y=-x+4與直線/的交點(diǎn)H,分析H在什么位置時(shí)，

"V形''與。恰有2個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)。的取值范圍即可.

(1)

解：由題可知，點(diǎn)尸與點(diǎn)P，關(guān)于直線x=1.5對(duì)稱，且P(0,3),

P'(3,3).

故答案是：(3,3)；

(2)

解：①由〃/x軸可知，點(diǎn)&與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，又3(5,3),

將y=3代入y=-x+4,得3=-x+4,解得x=l,

"(1,3).

設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線/的“V點(diǎn)”為S,。)，則點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于直線x=b對(duì)稱，

,1+5c

.?b=---=3,

2

點(diǎn)S,a)在直線y=-x+4上,

。=一6+4=—3+4=1.

②由題可知，，點(diǎn)”是直線y=r+4與直線/的交點(diǎn)/，點(diǎn)P，在直線y=-x+4上，設(shè)”(4-a,a),則直線尸”與

直線關(guān)于直線x=4-a對(duì)稱，如圖.

P〃與P77關(guān)于直線x=4-a對(duì)稱,

,設(shè)p”的表達(dá)式為y=x+〃，

當(dāng)直線p”與w相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(%,與+〃)，

則圓心的切點(diǎn)的距離為-3)2+(X。+"-2)2=1,

整理得2x：+(2〃-10)x()+/-4〃+12=0,

此時(shí)直線PH與W相切，

關(guān)于玉,的方程2片+(2〃-1())與+“2—4〃+12=0有唯一解,

.,.令△=(210)2-4x2x(1-4〃+12)=0,

解得〃=一1±41,

二當(dāng)直線尸〃與卬相切時(shí)，直線P”的表達(dá)式為y=x-1-0或y=x-l+&.

5+y/2

y=-x+42

聯(lián)立),二1一日解得

3-忘，

2

.~5+忘3-6、

■-C(---,---);

22

5-0

y=-x+42

聯(lián)立y

…+收解得3+6

2

..,5-723+V2.

??A(--—,---).

22

點(diǎn)(3,1)到圓心卬(3,2)的距離等于半徑1,且點(diǎn)(3,1)在直線y=-x+4上，

???點(diǎn)(3,1)是W與直線y=-x+4的一個(gè)交點(diǎn)，且為兩個(gè)交點(diǎn)中靠下方的交點(diǎn)，即8(3,1).

「"形”與W有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

分析圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)為<以或。<生時(shí)符合題意.

..3+夜曲3-V2

-1<a<-----或a<------.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間距離公式，一元二次方程的判別式，二元一次方程組與一次函

數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

6.⑴①昂當(dāng)；②C（T,-3）或C或5）；

（2）-2<t<y/2-],>f2<t<2+y/2

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)定義求解即可求解；

（2）求得DE=亞,根據(jù)定義作出圖形，圖形W上存在線段OE的“等距點(diǎn)”，貝UeT與線段MN,NP有交

點(diǎn)，進(jìn)而即可求解.

（1）

①如圖，

A(5,0),

/.OA=5,

點(diǎn)4(一3,4),4(1,5),4(4,—3),西(3,6),

BQ=J(-3)2+42=5,9=5,

科，約是線段0A的“等距點(diǎn)”;

②如圖，根據(jù)定義可知，點(diǎn)C在直線y=2x+5上，并且點(diǎn)C是線段的“等距點(diǎn)”,

:.CO=5,且C在y=2x+5上,

C（g2加+5）,

>+（2〃?+5）2=52,

解得叫=,-4,/n2=0,

.??。(-4,-3)或。(0,5)；

(2)

點(diǎn)。(1,0),點(diǎn)磯0,-1)

DE=yf2

如圖，根據(jù)定義，以正為半徑，2E為圓心，作D，C>E,分別交x軸負(fù)半軸，》軸正半軸于點(diǎn)則

MN=ED,設(shè)。與x正半軸交于點(diǎn)P,

MN,NP上的點(diǎn)到。E的距離為正

圖形W上存在線段OE的“等距點(diǎn)”，貝Ije7與線段MN,NP有交點(diǎn)

根據(jù)題意可知，MN=ED=>/2,OM=OD=\,DP=DE=s[2

當(dāng)半eT與MN只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，在x負(fù)半軸時(shí)，Z=-l-l=-2,

當(dāng)T在x正半軸時(shí)，t=MT-l=6-l,

當(dāng)eT與。內(nèi)切時(shí)，t=OP—1=5/2+1—1=V2

當(dāng)er與。外切時(shí)，f=l+啦+1=2+0，

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義，勾股定理求兩點(diǎn)距離，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)

鍵.

7.(1)①包，6，y/3<DP<2；②0

(2)—Wx-46

3

(3)0<r<6

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)C(V5,0)、"(0,-1)、E(o,l),得到oc=G，OD=\,OE=1,DE=2,再在RQCOE中，利用勾股定

理求出EC,解該直角三角形即可求出NOCE=30。，NOEC=60。,利用垂線段最短和已經(jīng)求出的角度即可求出

OP.OP的最大值和最小值；根據(jù)上述的值結(jié)合限距關(guān)系的定義即可判斷；

(2)根據(jù)FG〃EC,再結(jié)合(1)中的結(jié)果有可求得NGFO=NECO=30。，ZOGF=ZOEC=60°,設(shè)廠點(diǎn)坐標(biāo)

為(a,0),分線段尸G在。。內(nèi)部、線段PG與。。有交點(diǎn)和線段尸G在。。外部三種情況討論，利用線段到

圓上的最長(zhǎng)距離不小于線段到圓上的最短距離的2倍來(lái)分別構(gòu)建不等式即可求解；

(3)如圖，在不影響結(jié)論的情況下，設(shè)。K、?！ǖ膱A心在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)。K、。〃滿足限

距關(guān)系，構(gòu)建不等式即可求解.

(1)

如圖，連接OP、DP,

?"(省,0)、0(0,-D,￡(0,1),

：.0C=j3,0D=\,0E=\,

：.DE=0E+0D=2,

在RtACOE中，EC=-JOE2+OC2=小產(chǎn)+(6)2=2，

??sinZ.OCE=――=—-,sinZ.OEC==—―,

EC2EC2

???NOCE=30。，ZO￡C=60°,

①當(dāng)OP,EC時(shí)，。尸最小，

在放△OPE中，sinZOEC=—=,

OE2

即OP=B,

2

當(dāng)p點(diǎn)與c點(diǎn)重合時(shí)，OP最大，且。P=OC=G，

同理可求出的。P的最小值為白，最大值為2,即。P的取值范圍為GVOP42,

②???OP的最小值剛好等于最大值的一半，而OP的最小值大于其最大值的一半，

...根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段EC上存在兩點(diǎn)M、N,滿足OM=2ON,

故點(diǎn)。與線段EC滿足限距關(guān)系，

故答案為：①3，0,73<DP<2；②0；

（2）

FG//EC,

.?.結(jié)合（1）中的結(jié)果有NGFO=NECO=30。，NOGF=NOEC=60。,

設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,0）,根據(jù)題意有a>0,

則有OF=a,

分三種情況討論：

第一種情況尸G在。。內(nèi)部，B[J0<?<1時(shí)，

如圖,

?.?根據(jù)(1)的方法可得0點(diǎn)到線段PG的最小值為：OFxsinNGFO=ga,

則。。到線段/="G的最小值為：1-3小最大值為1+ga,

；線段FG與。O滿足限距關(guān)系，

112

1+—aS2x(1a),解得

2

此時(shí)a的取值范圍為：

第二種情況，PG與。O有交點(diǎn)，如圖，

根據(jù)限距關(guān)系的定義可知：此時(shí)線段FG與。。必滿足限距關(guān)系，

隨著FG向右平移的過(guò)程中，

當(dāng)廠點(diǎn)與表示I的點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)G開始與。。有交點(diǎn)，此時(shí)。尸與。。的半徑相等，

即OF=1,則a=l；

當(dāng)PG與。O相切時(shí)，此時(shí)圓心O到FG的距離為圓的半徑1,此時(shí)OF=.'--=2,

sinZGFO

即OF=2,貝ij〃=2；

當(dāng)相切之后，若FG再往右繼續(xù)平移，此時(shí)FG就在圓外,

.?.此時(shí)。的取值分為為：14a42,

第三種情況，當(dāng)FG在。。外部，即a>2時(shí),

如圖，

???根據(jù)(1)的方法可得。點(diǎn)到線段尸G的最小值為：0Fxsin/GR9=ga,

則。。到線段FG的最小值為：最大值為gq+1,

?.?線段尸G與。。滿足限距關(guān)系，

?*-1+—aS2x(―a—1),解得a46,

此時(shí)。的取值范圍為：2<aV6,

綜上所述：尸橫坐標(biāo)的取值范圍為：|<?<6,

*'?1-XF-6；

(3)

不影響結(jié)論的情況下，設(shè)。K、?！钡膱A心在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖,

y

由圖可知。K、?！ㄉ系狞c(diǎn)相距的最近距離為2r-2x2=2r—4,最遠(yuǎn)的距離為2r+2x2=2r+4,

???0K、。，滿足限距關(guān)系，

A2r+4>2x(2r-4),解得/?46,

；.r的取值范圍為:0<r<6.

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了解直角三角形、垂線段最短、直線與圓的位置關(guān)系、限距關(guān)系的定義等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問(wèn)題.

8.(1)2；-1

(2)15°

7

(3)——<b<2

2

【解析】

【分析】

(1)由對(duì)稱性質(zhì)A3、關(guān)于直線/對(duì)稱，所以AE=AB=2,由題意，得

y-x+h,把44'的中點(diǎn)(I",g)代入y=x+b,求出/?即可；

(2)作C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)CT連接OC,OA,0C,因?yàn)锳B的對(duì)稱點(diǎn)在〃上，所以點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C在直線

A8上，則可求出點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(1,6)，繼而可求得/COK=60。，再求出NAOK=45。，所以/COA=N

C'OK-ZAOK=60°-45°=15°,然后利用對(duì)稱的性質(zhì)得出NCOV=NCOA,即可求解；

7

(3)當(dāng)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，求出6=2,再當(dāng)4與點(diǎn)P重合時(shí)，求出匕=-§,再由線段AE與線段PQ有公共

點(diǎn)，即可得出〃的取值范圍.

(1)

解：VA(1,1),B(1,-1),

：.AB=2,

《AB、A?關(guān)于直線/對(duì)稱,

：.A'B'=AB=2,

由題意，得七1,

/.y=x+b9

?「A、4關(guān)于直線/對(duì)稱，

???直線/經(jīng)過(guò)A4'的中點(diǎn)，

YA(1,1),4(2,0),

.,,4V的中點(diǎn)為(上^,~^),即(!"'J)，

把(!■，；)代入y=x+%,得;=：+%,

2//2

解得：b--\,

故答案為：2,-1；

(2)

解：如圖，作C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)C',連接OC',OA,OC,

由題意，得直線/解析式為：)，=區(qū),

設(shè)C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為C,

...0C=0C=2,

A8關(guān)于/對(duì)稱點(diǎn)4廿在h上，

又"經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,

.?.點(diǎn)C在直線AB上，

VA(1,1),B(1,-1),

二直線即是直線廣1,

??.C'橫坐標(biāo)為1,

C縱坐標(biāo)為V22-I2=布,

:.c(1,G),

??，/TCO-CKy/3_I-

??tanCOK------=------J3,

OK1

：?NCOK=60。,

VA(1,1),

：.OA=AKf

???△AOK是等腰直角三角形，

???NAOK=45。,

ZC'OA=ZC'OK-ZAOK=60°-45°=15°,

,.?A、B、C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)是4、夕、C,

：.ZCOA'=ZC'OA=}5°；

(3)

解：當(dāng)5'與點(diǎn)。重合時(shí)，如圖，

則B'(-3,3),

設(shè)BB'中點(diǎn)為K,則直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)K,

:B(1,-1),B'(-3,3),

：.K(-1,1),

直線8所解析式為：y=-x,

?:BB」l,

...直線/解析式為y=x+"

把K(-1,1)代入，得b=2,

當(dāng)4與點(diǎn)尸重合時(shí)，如圖,

則4(-3,0),

設(shè)4r中點(diǎn)為K,則直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)K,

"：A(1,1),(-3,0),

：.K(-1,y),

13

直線A4解析式為：y=-x+|,

44

VA4'1/,

...直線/解析式為y=-4x+6

把K(-1，7)代入，得b=-三,

N2

??,線段A9與線段P。有公共點(diǎn)，

7

—W6W2,

2

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，本題屬一次函數(shù)綜合題目，熟練掌握一次函數(shù)的圖象

性質(zhì)、軸對(duì)稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)①叱，嗎；②匕的取值范圍是TV842

(2)r2癡

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)”對(duì)稱封閉圖形''的定義判斷即可；

②記點(diǎn)尸，。關(guān)于直線y=x+。的對(duì)稱點(diǎn)分別為p',o',先求出直線pp、直線。o'的的解析式，再根據(jù)圖象

找到當(dāng)直線>=》+%隨著b的變化上下平移時(shí)的臨界情況，解答即可；

（2）根據(jù)題意，確定出當(dāng)三角形例ON為等腰直角三角形且/MON=90。時(shí)r最小，作MN關(guān)于直線）-=x+4拉

的對(duì)稱圖形ATV,用勾股定理求出0V的長(zhǎng)度即可.

（1）

解：①線段尸。關(guān)于y軸對(duì)稱圖形為線段O