第一章過關(guān)檢測(B卷)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,則x=(A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)答案:B解析:由b=12x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20)2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,則實數(shù)λ的值為()A.627 B.63C.657 D.答案:C解析:由a,b,c共面,知存在m,n∈R,使c=ma+nb,即7=2m-3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,若點F是側(cè)面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,則m,nA.12,-12 B.-12,C.-12,1答案:A解析:由于AF=AD+DF=AD+12(DC+DD4.在四棱錐P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),則這個四棱錐的高h等于()A.2 B.1 C.13 D.26答案:A解析:設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y,z),則n·AB取x=1,則y=4,z=43于是n=1,4,4所以h=|AP·n5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1的中點,則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.1010 B.15 C.310答案:C解析:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AA1=2AB=2,則C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,0,1),D1(0,0,2),所以BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2),所以cos<BE,所以異面直線BE與CD1所成角的余弦值為3106.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為3,CA=CB=4,∠ACB=π2,點D,E分別在AA1,B1C1上,F為AB的中點,若CD⊥FE,則線段AD的長度為(A.322 B.83 C.9答案:B解析:由于ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ACB=π2,所以以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB,CC1的方向為則C(0,0,0).由CA=CB=4,可得F(2,2,0).設(shè)E(0,b,3),D(4,0,c),則CD=(4,0,c),FE=(-2,b-2,3).∵CD⊥FE,∴CD·FE=0,即-8+3c=0,解得c=83,∴AD=837.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等邊三角形,四邊形ABCD是矩形,M是AB的中點,PC與平面ABCD成30°角,則ABAD的值等于(A.1 B.2 C.2 D.3答案:C解析:取AD的中點O,連接OP.由題意知OP⊥AD,因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以O(shè)P⊥平面ABCD.以O(shè)為原點,OD所在直線為x軸,過點O,平行于DC的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)AD=2a,AB=2b,則P(0,0,3a),C(a,2b,0),于是OC=(a,2b,0),PC=(a,2b,-3a).∵OP⊥平面ABCD,∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角.∴cos∠PCO=OC·PC|OC||PC|=∴ABAD8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-22,0),B(42,0),沿直線y=x把平面直角坐標(biāo)系折成120°的二面角,則AB的長度為()A.4 B.42C.8 D.83答案:C解析:如圖,分別作AC,BD垂直直線y=x于點C,D,則由等腰直角三角形的性質(zhì)可得|AC|=|OC|=2,|BD|=|OD|=4,即|CD|=6.若沿直線y=x把直角坐標(biāo)系折成120°的二面角,則AB=AC+CD+DB,AB2=(AC+CD+DB)2=AC2+CD2+DB2+2AC·CD+2因為二面角的大小為120°,所以<AC,DB>=60代入上式可得AB2=64,所以|AB|=8,即AB的長度為8,故選C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知空間向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結(jié)論正確的是()A.(2a+b)∥aB.5|a|=3|b|C.a⊥(5a+6b)D.a與b夾角的余弦值為3答案:BC解析:因為2a+b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),而-1-2≠2因為|a|=6,|b|=52,所以5|a|=3|b|,故B正確;因為a·(5a+6b)=5a2+6a·b=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0,故C正確;又a·b=-5,則cos<a,b>=-56×52=-36,故10.下列說法正確的是()A.已知u,v是兩個不共線的向量,若a=u+v,b=3u-2v,c=2u+3v,則a,b,c共面B.若a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C.若A(1,0,0),B(0,1,0),則與向量AB同向的單位向量為e=-22,2D.在三棱錐O-ABC中,若側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,則底面三角形ABC是直角三角形答案:ABC解析:選項A,假設(shè)a,b,c共面,則存在實數(shù)m,n,使c=ma+nb,即m+3n=2,m-2n=3,解得故a,b,c共面,故A正確;選項B,∵a∥b,∴a,b與任何向量都共面,故a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底,故B正確;選項C,AB=(-1,1,0),|AB|=2,所以AB|AB|=-22∴與向量AB同向的單位向量為-22,22,0,故C選項D,∵OA,OB,OC兩兩垂直,∴AB·AC=(OB-OA)·(OC-∴<AB,AC>為銳角,即∠BAC為銳角,同理,∠ABC,∠ACB∴△ABC為銳角三角形,故D錯誤.11.已知空間四點O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),則下列說法正確的是()A.OA·OBB.cos<OA,OBC.點O到直線BC的距離為5D.O,A,B,C四點共面答案:ABC解析:∵OA=(0,1,2),OB=(2,0,-1),∴OA·OB=-2,故Acos<OA,OB>=OA·OB|OA||∵BC=(1,2,2),OB·BC=2×1+0×2+(-1)×2=0,∴OB⊥BC,又|∴點O到直線BC的距離為5,故C正確;假設(shè)O,A,B,C四點共面,則OA,OB設(shè)OC=xOA+yOB(x,y∈R),則2y=3∴O,A,B,C四點不共面,故D錯誤.12.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=6,AB=BC=AC=62,E為PA的中點,D,F分別在AC,PB上,且AD∶CD=PF∶BF=2∶1,則()A.PA⊥BCB.AB∥平面DEFC.點C到平面DEF的距離是3D.平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為4答案:ACD解析:因為PA=PB=PC=6,AB=BC=AC=62,所以PA2+PB2=AB2,PA2+PC2=AC2,PB2+PC2=BC2,所以PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.以P為原點,以PB,PC,PA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Pxyz如圖所示.則P(0,0,0),A(0,0,6),B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,4,2),E(0,0,3),F(4,0,0),PA=(0,0,6),BC=(-6,6,0),AB=(6,0,-6),DF=(4,-4,-2),EF=(4,0,-3).因為PA·BC=0,所以PA⊥BC,故A設(shè)平面DEF的法向量為m=(x,y,z),則m·DF=4x-4y-于是m=(3,1,4)是平面DEF的一個法向量.因為AB·m=6×3+0-6×4=-6≠0,所以AB與平面DEF不平行,故B錯誤;因為CE=(0,-6,3),所以點C到平面DEF的距離d=|CE·m||設(shè)平面ABC的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·AB=6x1-6z1=0,n·BC=-6x1+6y1=0,取x1=1,則y1=1,z三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a-3b)·(a+2b)=.

答案:-200解析:∵2a-3b=2(4,-2,-4)-3(6,-3,2)=(-10,5,-14),a+2b=(4,-2,-4)+2(6,-3,2)=(16,-8,0),∴(2a-3b)·(a+2b)=-10×16+5×(-8)-14×0=-200.14.如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E為BD上一點,BE=3ED,以{AB,AC,AD}為基底,則GE=答案:-1解析:GE=AE-AG=AD15.如圖,在正四面體A-BCD中,AE=14AB,CF=14CD,則直線DE和BF所成角的余弦值為答案:4解析:不妨設(shè)正四面體A-BCD的棱長為4,則BA·CD=(CA-CB)·CD=CA·CD-CB·BF=BC+CF=BC+14CD,所以cos<ED16.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,把△ADC沿AC折起,使AB與CD成60°角,則BD的長為.

答案:2或2解析:∵AB與CD成60°角,∴<BA,CD>=60°或<BA,CD又AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,∴|BD|=BD=|=1+1+1+0+2cos=3+2cos當(dāng)<BA,CD>=60°時,|BD|=3+2當(dāng)<BA,CD>=120°時,|BD|=∴BD的長為2或2.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c的夾角的余弦值.解:(1)因為a∥b且b≠0,所以存在實數(shù)λ,使a=λb,所以x=-所以a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).因為b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2.所以c=(3,-2,2).(2)由(1)可知,a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),設(shè)a+c與b+c的夾角為θ,則cosθ=5-12+338×38=-219.故a+c與b18.(12分)已知空間直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點為A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).求:(1)BC邊上的中線AD的長;(2)∠BAC的大小.解:(1)由題意知,D-12,0,112,所以AD=-12,-2,52,所以|AD|=14所以BC邊上的中線AD的長為422(2)因為AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos∠BAC=cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC19.(12分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CD的中點.(1)求證:D1F⊥平面ADE;(2)求平面A1C1D與平面ADE的夾角的余弦值.(1)證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),∴D1F=(0,1,-2),DA=(2,0,0),DE=∵D1F·DA=∴D1F⊥DA,D1F⊥DE,即D1又DA∩DE=D,∴D1F⊥平面ADE.(2)解:由(1)可知,平面ADE的一個法向量為D1F=(0,1,-設(shè)平面A1C1D的法向量為m=(x,y,z),DA1=(2,0,2),D則m令x=1,則y=1,z=-1.∴m=(1,1,-1)為平面A1C1D的一個法向量.設(shè)平面A1C1D與平面ADE的夾角為θ,則cosθ=|cos<m,D1F>|=故平面A1C1D與平面ADE的夾角的余弦值為15520.(12分)如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,AB=BC=BD=4,E,F分別為棱BC,AD的中點.求:(1)異面直線AB與EF所成角的余弦值;(2)點E到平面ACD的距離.解:如圖,以B為原點,分別以BC,BD,BA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(0,0,4),C(4,0,0),D(0,4,0),E(2,0,0),F(0,2,2).(1)因為AB=(0,0,-4),EF=(-2,2,2),所以|cos<AB,EF>|=所以異面直線AB與EF所成角的余弦值為33(2)設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,1),由AC=(4,0,-4),CD=(-4,4,0),n得4x-4=0所以n=(1,1,1)是平面ACD的一個法向量.因為F∈平面ACD,EF=(-2,2,2),所以點E到平面ACD的距離d=|n21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=2,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD的中點,問:線段AD上是否存在一點Q,使得它到平面PCD的距離為32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,解:在△PAD中,因為PA=PD,O為AD的中點,所以PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.由題意可知,OC⊥AD,所以PO,OC,AD兩兩互相垂直.如圖,以O(shè)為原點,OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0).假設(shè)線段AD上存在點Q,使得它到平面PCD的距離為32.設(shè)Q(0,y,0)(-1≤y≤1),則CQ=(-1,y,0).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0則n令x0=1,則y0=1,z0=1.所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個法向量.所以點Q到平面PCD的距離為|CQ·n||n|=|-1+y此時AQ=12,QD=32.所以存在點Q此時AQQD22.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的邊長為2,E是PA的中點.(1)求證:PC∥平面BDE.(2)若直線BE與平面PCD