八年級(jí)數(shù)學(xué)·下新課標(biāo)[冀教]第二十二章四邊形

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋22.5菱形（第1課時(shí)）第1頁觀察思索（1）圖片中有平行四邊形嗎？（2）這些平行四邊形含有哪些特征？其中哪個(gè)特征不是平行四邊形性質(zhì)？學(xué)習(xí)新知第2頁活動(dòng)1

菱形定義結(jié)合上面觀察,你能舉出和上述圖形含有相同特征實(shí)物圖形嗎?含有這一特征平行四邊形是什么四邊形?口答下面問題:(1)上面這些圖形都是平行四邊形嗎?(2)上述圖形都有一組鄰邊相等嗎?(3)假如平行四邊形有一組鄰邊相等,那么各組鄰邊都相等嗎?菱形定義:有一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形.第3頁活動(dòng)2

菱形性質(zhì)【想一想】1.菱形是特殊平行四邊形,它含有普通平行四邊形全部性質(zhì).你能列舉一些這么性質(zhì)嗎?2.你認(rèn)為菱形還含有哪些特殊性質(zhì)?請(qǐng)你與同伴交流.菱形對(duì)邊平行且相等,對(duì)角相等,對(duì)角線相互平分.【做一做】請(qǐng)同學(xué)們用菱形紙片折一折,回答以下問題:1.菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?假如是,它有幾條對(duì)稱軸?對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系?2.菱形中有哪些相等線段?結(jié)論:1.菱形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸,是菱形對(duì)角線所在直線,兩條對(duì)角線相互垂直.2.菱形四條邊相等.3.菱形每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.第4頁如圖所表示,四邊形ABCD是菱形,AB=AD.求證:(1)AB=BC=CD=DA.(2)AC⊥DB.(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.分析:菱形不但兩組對(duì)邊分別相等,而且鄰邊相等,這么就能夠證實(shí)菱形四條邊都相等;因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?所以點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD中點(diǎn),能夠利用三角形全等來證實(shí)AC⊥BD和角相等關(guān)系.證實(shí):(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=CB.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA.(2)在△ADO和△CDO中,∵DA=DC,DO=DO,AO=CO,∴△ADO≌△CDO.∴∠AOD=∠COD.∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠AOD=∠COD=90°.∴AC⊥DB.(3)∵△ADO≌△CDO,∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA.∵AB∥CD,AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,∠CDB=∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.菱形性質(zhì)定理:菱形四條邊都相等,兩條對(duì)角線相互垂直,且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.第5頁(教材第142頁例1)如圖所表示,菱形ABCD周長為16cm,∠ABC=120°,求對(duì)角線BD和AC長.解:∵AB+BC+CD+AD=16cm,∴AB=BC=CD=AD=×16=4(cm).∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,∴∠ABD=60°.∴△ABD是等邊三角形.∴BD=AB=4cm.在Rt△AOB中,OB=2cm,[知識(shí)拓展]

(1)菱形是特殊平行四邊形,它含有平行四邊形全部性質(zhì);(2)菱形定義既能夠看成菱形性質(zhì),也能夠看成菱形判定.第6頁如圖所表示,四邊形ABCD是邊長為13cm菱形,其中對(duì)角線BD長為10cm.求:(1)對(duì)角線AC長度;(2)菱形ABCD面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點(diǎn)E,∴∠AED=90°(菱形對(duì)角線相互垂直),DE=BD=×10=5(cm)(菱形對(duì)角線相互平分).在Rt△AED中,AE==12(cm).∴AC=2AE=2×12=24(cm).(2)菱形ABCD面積=△ABD面積+△CBD面積=2×△ABD面積=2××BD×AE=2××10×12=120(cm2).思索：假如例2中,已知菱形ABCD兩條對(duì)角線長度分別為12cm和10cm,怎樣直接計(jì)算出菱形面積?第7頁菱形一組鄰邊相等對(duì)角線相互平分一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別平行或相等四邊形平行四邊形兩組對(duì)角分別相等

課堂小結(jié)第8頁檢測(cè)反饋1.如圖所表示,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,則對(duì)角線AC長是 (

)A.20 B.15

C.10 D.5解析:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AB=CB,AB∥DC,所以∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以AC=AB=5.故選D.D2.(·莆田中考)菱形含有而普通平行四邊形不含有性質(zhì)是 (

)A.對(duì)邊相等 B.對(duì)角相等C.對(duì)角線相互平分 D.對(duì)角線相互垂直解析:菱形含有性質(zhì)為:對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線相互平分,對(duì)角線相互垂直;普通平行四邊形含有性質(zhì)為:對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線相互平分.所以菱形含有而普通平行四邊形不含有性質(zhì)是:對(duì)角線相互垂直.故選D.D第9頁3.如圖所表示,菱形ABCD對(duì)角線AC,BD相交于O點(diǎn),E,F分別是AB,BC邊上中點(diǎn),連接EF.若EF=,BD=4,則菱形ABCD周長為 (

)A.4 B.4 C.4 D.28解析:∵E,F分別是AB,BC邊上中點(diǎn),EF=,∴AC=2EF=2.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=,OB=BD=2,∴AB=,∴菱形ABCD周長為4.故選C.C4.如圖所表示,菱形ABCD周長為8cm,高AE長為cm,則對(duì)角線AC和BD長度之比為 (

)A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶解析:設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O,∵菱形ABCD周長為8cm,∴AB=BC=2cm.∵高AE長為cm,∴BE==1(cm),∴CE=BE=1cm,∴AC=AB=2cm,∵OA=1cm,AC⊥BD,∴OB=(cm),∴BD=2OB=2cm,∴AC∶BD=1∶.故選D.D第10頁5.如圖所表示,菱形ABCD周長為8cm.∠BAD=60°,則AC=

cm.

解析:因?yàn)榱庑蜛BCD周長為8cm,所以AB=2cm,AB=AD.又因?yàn)椤螧AD=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以BD=AB=2cm,所以O(shè)A=(cm).所以AC=2cm.故填2.6.如圖所表示,AC是菱形ABCD對(duì)角線,點(diǎn)E,F分別在AB,AD上,且AE=AF.求證CE=CF.解析:由四邊形ABCD是菱形,可得∠EAC=∠FAC,又由AE=AF,AC為公共邊,即可證得△ACE≌△ACF,則可得CE=CF.證實(shí):∵四邊形ABCD是菱形,∴∠EAC=∠FAC.在△ACE和△ACF中,∴△ACE≌△ACF(SAS).∴CE=CF.第11頁7.如圖所表示,菱形ABCD對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別是邊AB,AD中點(diǎn).(1)請(qǐng)判斷△OEF形狀,并證實(shí)你結(jié)論;(2)若AB=13,AC=10,請(qǐng)求出線段EF長.解析:(1)利用菱形性質(zhì)結(jié)合直角三角形斜邊上中線等于斜邊二分之一,進(jìn)而得到OE=OF,可判斷△OEF形狀;(2)利用勾股定理得出BO長,再利用三角形中位線定理得出EF長.解:(1)△OEF是等腰三角形.證實(shí):∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD.∵點(diǎn)E,F分別是邊AB,AD中點(diǎn),∴EO=AB,OF=AD,∴EO=FO,∴△OEF是等腰三角形.(2)∵四邊形ABCD是菱形,AC=10,∴AO=5,∠AOB=90°,∴BO==12,∴BD=24.∵點(diǎn)E,F分別是邊AB,AD中點(diǎn),∴EF=BD,∴EF=12.第12頁8.如圖所表示,在△ABC中,AB=AC,四邊形ADEF是菱形,求證BE=CE.解析:依據(jù)四邊形ADEF是菱形,得DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,可證實(shí)△DBE≌△FEC,即可得出BE=CE.證實(shí):∵四邊形ADEF是菱形,∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BED=∠CEF,在△DBE和△FEC中,∴△DBE≌△FEC,∴BE=CE.第13頁9.如圖所表示,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分別是BC,AD中點(diǎn),連接AE,CF.(1)求證四邊形AECF是矩形;(2)若AB=6,求菱形面積.解析:(1)首先證實(shí)△ABC是等邊三角形,進(jìn)而得出∠AEC=90°,四邊形AECF是平行四邊形,即可得出答案;(2)利用勾股定理得出AE長,進(jìn)而求出菱形面積.證實(shí):(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC.又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形.∵E是BC中點(diǎn),∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°.∵E,F分別是BC,AD中點(diǎn),∴AF=AD,EC=BC.∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD=BC,∴AF∥EC且AF=EC,∴四邊形AECF是平行四邊形.又∵∠AEC=90°,∴四邊形AECF是矩形.解:(2)在Rt△ABE中,AE=,所以第14頁10.如圖所表示,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分別是BC,BA中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)F在DE延長線上,且AF=AE.(1)求證四邊形ACEF是平行四邊形;(2)若四邊形ACEF是菱形,求∠B度數(shù).解析:(1)依據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊二分之一可得CE=AE=BE,從而得到AF=CE,再依據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可得∠1=∠2,依據(jù)等邊對(duì)等角可得∠F=∠3,對(duì)頂角相