1第六章保形映照導(dǎo)數(shù)的幾何意義分式線性函數(shù)及其映照性質(zhì)分式線性函數(shù)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)所確定的映照2教學(xué)要求：了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及保形映照的概念。掌握分式線性映照的性質(zhì)，了解w=za（a為正有理數(shù)）和w=ez的映照性質(zhì)。會(huì)求一些簡(jiǎn)單區(qū)域（如平面、半平面、角形域、圓帶形域等）之間的保形映照。36.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義及保形映照的概念6.1.1曲線的切向量

在復(fù)平面上，曲線C可表示為

z(t)=x(t)+iy(t)從而z’(t)=x’(t)+iy’(t)表示曲線C上對(duì)應(yīng)于參數(shù)t的點(diǎn)的切線向量，進(jìn)而Argz’(t)=Ψ表示C在z(t)處的切線與實(shí)軸的夾角。Cx0yzz

設(shè)z平面內(nèi)的任一條有向曲線C，其參數(shù)方程為：x=x(t),y=y(t)(a

t

b),則曲線C上對(duì)應(yīng)于參數(shù)t的點(diǎn)的切線向量為：{x’(t),y’(t)}46.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析，z0∈D,w0=f(z0)且在點(diǎn)z0有導(dǎo)數(shù)通過(guò)z0任意引一條有向光滑曲線C:z(t)=x(t)+iy(t)

(t0≤t≤t1),z0=z(t0).顯然變換

w=f(z)

的參數(shù)方程應(yīng)變換為

Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0

將C之象曲線在點(diǎn)w0=w(t0)的鄰域內(nèi)是光滑的.5Cx0yzz0z0+?zw=f(z)又由于故

在w0=f(z0)也有,

uv0ww0

w0+?w設(shè)其傾角為

，則就是切向量,切線

故Argf’(z0)表示：曲線C在z0點(diǎn)的切線在w=f(t)的映照下轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即曲線C在w=f(t)的映照下在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角。6

設(shè)在D內(nèi)過(guò)z0還有一條簡(jiǎn)單光滑曲線函數(shù)w=f(z)把它映射成一條簡(jiǎn)單光滑曲線和上面一樣，與在z0及w0處切線與實(shí)軸的夾角分別是及所以，在w0處曲線到曲線的夾角恰好等于在z0處曲線C到曲線C1的夾角：7

因此，用解析函數(shù)作映射時(shí)，曲線間的夾角的大小及方向保持不變，我們稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)為映射的保角性。8z-z0及w平面上向量

導(dǎo)數(shù)模的幾何意義:

上面是對(duì)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幅角所作的幾何解釋?zhuān)旅嬖僬f(shuō)明它的模的幾何意義。根據(jù)假設(shè)，我們有由于是比值的極限，它可以近似地表示這種比值。在w=f(z)所作映射下，|z-z0|及|f(z)-f(z0)|分別表示z平面上向量的長(zhǎng)度，9這里向量z-z0及f(z)-f(z0)的起點(diǎn)分別取在z0及f(z0)。當(dāng)|z-z0|較小時(shí)，|f(z)-f(z0)|近似地表示通過(guò)映射后，|f(z)-f(z0)|對(duì)|z-z0|的伸縮倍數(shù)，而且這一倍數(shù)與向量z-z0的方向無(wú)關(guān)。因此，我們把|f’(z0)|

稱(chēng)為在點(diǎn)z0的伸縮率。106.1.3保形映照的概念

現(xiàn)在用幾何直觀來(lái)說(shuō)明解析函數(shù)所作映射的意義。設(shè)w=f(z)是在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，

那么w=f(z)把z0的一個(gè)鄰域內(nèi)任一小三角形映射成w平面上含w0的一個(gè)區(qū)域內(nèi)的曲邊三角形。

這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊近似成比例。因此這兩個(gè)三角形近似地是相似形。OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G211所以，我們把解析函數(shù)所確定的映射稱(chēng)為保形映射或映照，或稱(chēng)為共形映射或保角映射。它在每一點(diǎn)保角，并且在每一點(diǎn)具有一定的伸縮率。此外，w=f(z)還把z平面上半徑充分小的圓近似地映射成圓OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G212

例：求w=f(z)=z3在z=i,z=0處的導(dǎo)數(shù)值,并說(shuō)明幾何意義。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f

'(z)=3z2。在z=i處具有伸縮率不變和保角性。伸縮率為3，旋轉(zhuǎn)角為。136.2分式線性函數(shù)及其映照性質(zhì)稱(chēng)為分式線性函數(shù).說(shuō)明:否則,由于那末整個(gè)z平面映射成w平面上的一點(diǎn).6.2.1分式線性函數(shù)

定義6.114小知識(shí)分式線性映射首先由德國(guó)數(shù)學(xué)家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱(chēng)為默比烏斯映射.對(duì)每一個(gè)固定的w,此式關(guān)于z是線性的;對(duì)每一個(gè)固定的z,此式關(guān)于w也是線性的,因此稱(chēng)上式是雙線性的.分式線性映射也稱(chēng)雙線性映射.15分式線性映射的逆映射,也是分式線性映射.2)由3)兩分式線性映射的復(fù)合仍為分式線性映射164)分式線性映射的分解一個(gè)一般形式的分式線性映射是由下列四種特殊的簡(jiǎn)單映射復(fù)合而成:17

幾種簡(jiǎn)單的分式線性映射(為方便起見(jiàn),令w平面與z平面重合)平移映射18旋轉(zhuǎn)變換事實(shí)上,設(shè)那末因此,把z轉(zhuǎn)一個(gè)角度19伸長(zhǎng)(或縮短)變換事實(shí)上,設(shè)那末因此,20關(guān)于橫軸對(duì)稱(chēng)反演變換此映射可進(jìn)一步分解為欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)w,可考慮如下作圖次序:關(guān)鍵:21對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義:設(shè)C為以原點(diǎn)為中心,r為半徑的圓周.在以滿(mǎn)足關(guān)系式那末就稱(chēng)這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).規(guī)定:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓心O..P’.Pr22...設(shè)P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.23故可知:...關(guān)于單位圓對(duì)稱(chēng)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)24例試將線性變換分解為簡(jiǎn)單變換的復(fù)合.解因此可分解為的復(fù)合.256.2.2分式線性映射的性質(zhì)1.一一對(duì)應(yīng)性例如:結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對(duì)應(yīng).262.保角性若規(guī)定:兩條伸向無(wú)窮遠(yuǎn)的曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角,等于它們?cè)谟成?/p>

下所映成的通過(guò)原點(diǎn)的兩條象曲線的交角.27綜上所述知:28綜上所述:定理分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的，且具有保角性293.保圓性

所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特殊地，直線可看作是半徑為無(wú)窮大的圓周.1)映射特點(diǎn):所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.302)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性.313)分式線性映射定理6.1

分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.說(shuō)明:

如果給定的圓周或直線上沒(méi)有點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個(gè)點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成直線.如果324、保交比性分式線性映射中含有四個(gè)常數(shù)a,b,c,d.但是,如果用這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)去除分子和分母,就可將分式中的四個(gè)常數(shù)化為三個(gè)常數(shù).所以,上式中實(shí)際上只有三個(gè)獨(dú)立的常數(shù).因此,只需給定三個(gè)條件,就能決定一個(gè)分式線性映射.33定理6.2

對(duì)于擴(kuò)充

z平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)以及擴(kuò)充

w平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)，存在唯一的分式線性函數(shù)，把依次分別映射成證明：(1)先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形。設(shè)所求分式線性函數(shù)是34（定理6.2的證明）那么，由得同理，有：35（定理6.2的證明）因此，有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。(2)其次，如果已給各點(diǎn)除外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：36（定理6.2的證明）那么，由同理有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。37注解與推論：注解：和分別稱(chēng)為及的交比，分別記為

在分式線性函數(shù)所確定的映射下，交比不變。即設(shè)一個(gè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充

z平面上任意不同四點(diǎn)映射成擴(kuò)充

w平面上四點(diǎn)，那么382014年11月17日星期一39

現(xiàn)在研究,在給定兩個(gè)圓周C與C’,在圓周上分別取定三個(gè)點(diǎn),必能找到一個(gè)分式線性映射將C映射成C’.但是這個(gè)映射會(huì)將C內(nèi)部映射成什么呢?

如果在C內(nèi)任取一點(diǎn)z0,而點(diǎn)z0的象在C’的內(nèi)部,則C的內(nèi)部就映射成C’的內(nèi)部;如果z0的象在C’的外部,則C的內(nèi)部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三點(diǎn)z1,z2,z3,它們?cè)贑’的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的繞向與C’依w1

w2

w3的繞向相同,則C的內(nèi)部就映射成C’的內(nèi)部,否則映射成C’的外部。40z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww41

現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個(gè)圓包圍的區(qū)域的映射情況.根據(jù)前面的討論可知:

(I)當(dāng)二圓周上沒(méi)有點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周

的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當(dāng)二圓周上有一個(gè)點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓

周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所

圍成的區(qū)域;

(III)當(dāng)二圓周交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這

二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.42定理6.3擴(kuò)充z平面上任何圓，可以用一個(gè)分式線性函數(shù)映射成擴(kuò)充

w平面上任何圓。證明：設(shè)C是z平面上的一個(gè)圓，C'是w平面上的一個(gè)圓，在C和C'上分別取三個(gè)不同的點(diǎn)由定理6.2，存在一個(gè)分式線性函數(shù)，把映射成，從而把圓C映射成圓C‘。43

引理

z1,z2是關(guān)于圓周C的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的充要條件是經(jīng)過(guò)z1,z2的任何圓周G都與C正交.CRz0z1z2z'G5.保對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性44而及都是有限的情形。證明：如果C是直線（半徑為無(wú)窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓，及之中有一個(gè)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則結(jié)論顯然。現(xiàn)在考慮圓C為（必要性）設(shè)及關(guān)于圓C的對(duì)稱(chēng)，那么通過(guò)及的直線（半徑為無(wú)窮大的圓）顯然和圓C直交。....45作過(guò)及的任何圓（半徑為有限）G

。過(guò)作圓G的切線，設(shè)其切點(diǎn)是z‘。由切割線定理，于是從而這說(shuō)明，從而上述C‘的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C’正交。（充分性）過(guò)及作一個(gè)圓（半徑為有限）G

，與C交于一點(diǎn)z’。由于圓C與G正交，G在z‘的切線通過(guò)圓C的心。....46顯然，及在這切線的同一側(cè)。又過(guò)及作一直線L，由于L與C正交，它通過(guò)圓心。于是及在通過(guò)的一條射線上。我們有因此，及是關(guān)于圓C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。....47即分式線性映射具有保對(duì)稱(chēng)性.定理6.448證分式線性映射[證畢]49例1求將分別變?yōu)榈姆质骄€性變換.解所求的分式線性變換為即整理得50例6.2考慮如果分式線性函數(shù)的映照結(jié)果為圓那么映照前z平面上的圖形是什么呢？顯然，該映照把z1及z2映照成為關(guān)于圓的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0及∞，且把擴(kuò)充z平面上的曲線映照成為，則由定理6.1知曲線C:表示z平面上的一個(gè)圓，z1及z2是關(guān)于圓C的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。解51解由定理6.4,例2求線性變換變?yōu)樯习肫矫?使將圓盤(pán)即52由線性變換的保交比性,所求的線性變換為即整理后得53本次練習(xí)6.1.16.2.1～26.2.4～5546.3分式線性函數(shù)的應(yīng)用

由于線性變換具有共形性,保交比性,保圓(圓周)性和保對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性,它在處理邊界為圓弧或直線的區(qū)域變換中,起著重要的作用,下面介紹一些類(lèi)型.例6.355證要把Im(z)=0映照為w平面的實(shí)軸Im(w)=0。因而，z平面實(shí)軸上的三點(diǎn)x1,x2,x3必與w平面實(shí)軸上的三點(diǎn)u1,u2,u3相對(duì)應(yīng)：即欲求分式線性函數(shù)滿(mǎn)足保交比性。即解得56事實(shí)上,所述變換將實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸,且當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)即實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸是同向的,或從而57例7解故58即故解該方程組得故所的線性變換為59例6.4解由線線變換的保對(duì)稱(chēng)性,60由例6.2可知這個(gè)變換應(yīng)具有形式,故可令從而所求的變換為由于上式把擴(kuò)充平面z平面保形映照為擴(kuò)充w平面，所以它把Im(z)>0保形映照成61注1確定上式變換的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).注262求把上半平面保形映照為單位圓內(nèi)的分式線性函數(shù)w=f(z)，使f(i)=0，argf’(i)=π/2。例6.5解由例6.4，所求分式線性函數(shù)可設(shè)為則從而令得于是所求分式線性函數(shù)為63例6.6解由線性變換的保對(duì)稱(chēng)性,因此所求變換具有形式64利用單位圓周變?yōu)閱挝粓A周的條件知,因此令從而所求的變換為提示65注1確定上式變換的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).注266例6.7解由例6.6，所求函數(shù)形如由得從而67由條件得和故所求分式線性函數(shù)為68例6.869解作線線變換復(fù)合上述兩個(gè)變換得整理得70即由得從而所求的變換為故716.4指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)所確定的映照6.4.1指數(shù)函數(shù)所確定的映照72001)002)730000特殊地:74由指數(shù)函數(shù)w=ez所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是:把水平的帶形域0<Im(z)<a(a

p)映射成角形域0<argw<a.例6.9求把帶形域0<Im(z)<p映射成單位圓|w|<1的一個(gè)映射.z=ez75例1求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓.1-11-1762014年11月19日星期三77O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例2求把帶形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0