專(zhuān)題13橢圓(拋物線(xiàn))的標(biāo)準(zhǔn)方程模型求解圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定型，即指定類(lèi)型，也就是確定圓錐曲線(xiàn)的類(lèi)型、焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p．另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線(xiàn)常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線(xiàn)常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題選講】[例1](1)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(4x2,25)＋eq\f(y2,6)＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1答案D解析依題意橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，則b＝eq\r(3)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選D．(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()A．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由點(diǎn)P(2，eq\r(3))在橢圓上，知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，則eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).又c2＝a2－b2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,c2＝a2－b2，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))得a2＝8，b2＝6，故橢圓的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．(3)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5，0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B．eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C．eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1答案C解析由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故選C.(4)(2013·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1答案D解析由題意知直線(xiàn)AB的斜率k＝eq\f(0－(－1),3－1)＝eq\f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②整理得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，即k＝－eq\f(b2,a2)×eq\f(2,－2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴橢圓E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．(5)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案B解析解法一由題意設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝eq\f(1,a)．在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(2)，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故選B．解法二設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖．不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up8(→))＝2eq\o(F2B,\s\up8(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2)))．由點(diǎn)B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故選B．(6)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為_(kāi)_________．答案解析設(shè)B在x軸上的射影為B0，由題意得，，得B0坐標(biāo)為，即B點(diǎn)橫坐標(biāo)為．設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F1(－c，0)，∴直線(xiàn)AB的方程為y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其兩根為和c，由韋達(dá)定理得解之，得，∴b2＝1－．∴橢圓方程為．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝12．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝13．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,2)＋y2＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝14．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為()A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,36)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝15．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(2,3)，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,3)＋y2＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝16．已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝17．中心為(0，0)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，5eq\r(2))的橢圓，截直線(xiàn)y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)，則該橢圓的方程是()A．eq\f(2x2,75)＋eq\f(2y2,25)＝1B．eq\f(x2,75)＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,75)＝1D．eq\f(2x2,25)＋eq\f(2y2,75)＝18．已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的漸近線(xiàn)與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A．B．C．D．9．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB的面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為_(kāi)_____________．10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)為M，N，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)(異于M，N)，△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，且直線(xiàn)AM與AN的斜率之積為－eq\f(2,3)，則C的方程為()A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1B．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,3)＋y2＝111．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為_(kāi)_______________．12．橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率為e1，雙曲線(xiàn)C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為e2，其中，a>b>0，eq\f(e1,e2)＝eq\f(\r(3),3)，直線(xiàn)l：x－y＋3＝0與橢圓C1相切，則橢圓C1的方程為()A．eq\f(x2,2)＋y2＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝113．若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)(1，)作圓x2＋y2＝1的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是()A．B．C．D．14．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝12．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題選講】[例2](7)已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x答案B解析由拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，∴p＝1，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x．故選B．(8)如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)方程為()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x答案C解析法一：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝a，則由已知得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))＝2a，由拋物線(xiàn)定義，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AE))＝|AF|＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))＝3＋3a，∴2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AE))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))，即3＋3a＝6，從而得a＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FC))＝3a＝3．∴p＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FG))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FC))＝eq\f(3,2)，因此拋物線(xiàn)方程為y2＝3x，故選C．法二：由法一可知∠CBD＝60°，則由|AF|＝eq\f(p,1－cos60°)＝3，可知p＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴2p＝3，∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x.(9)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線(xiàn)C2：y2＝2px(p＞0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，則拋物線(xiàn)C2的方程為_(kāi)___________．答案y2＝eq\f(32,5)x解析由題意，知圓C1與拋物線(xiàn)C2的一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨記為B，設(shè)A(m，n)．因?yàn)閨AB|＝eq\f(8\r(5),5)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(m2＋n2)＝\f(8\r(5),5)，,m2＋(n－2)2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,5)，,n＝\f(16,5)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5)))．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)＝2p×eq\f(8,5)，所以p＝eq\f(16,5)，所以?huà)佄锞€(xiàn)C2的方程為y2＝eq\f(32,5)x．(10)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)y2＝8ax與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線(xiàn)的方程為()A．y2＝9xB．y2＝8xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x答案y2＝8x解析將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)