2022-2023學年河南省信陽市高二下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．甲盒中有3個紅球，3個白球，乙盒中有4個球，2個白球，現(xiàn)從甲盒中取出一球放入乙盒中，再從乙盒中取出一球，記事件A：甲盒中取出的球是紅球，事件B：在乙盒中取出的球是紅球，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的公式結合題意求解即可【詳解】在甲盒中取出一個紅球，放入乙盒中，則乙盒中共有7個球，其中紅球5個，所以，或．故選：A．2．已知兩個正態(tài)分布和相應的分布密度曲線如圖，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由正態(tài)曲線和均值、標準差的意義判斷即可.【詳解】由圖象可得的密度曲線的對稱軸在的密度曲線的對稱軸的左側，故，由圖象可得的密度函數(shù)的最大值小于的密度函數(shù)的最大值，所以，故選：D.3．2023年5月28日國產(chǎn)大飛機C919由上海飛抵北京，這標志著C919商飛成功，開創(chuàng)了中國商業(yè)航空的新紀元．某媒體甲、乙等四名記者去上海虹橋機場、北京首都機場和中國商飛總部進行現(xiàn)場報道，若每個地方至少有一名記者，每個記者只去一個地方，則甲、乙同去上海虹橋機場的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不平均分組分配問題，結合排列組合即可求解個數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知：有2人去了同一個機場，另外兩個人各自去了一個機場，故總共的排法有,故甲乙同去上海虹橋機場的概率為．故選：A．4．已知曲線在處的切線方程為，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求導，根據(jù)斜率以及點斜式求解直線的方程即可求解，.【詳解】記，，所以，∴．又，所以，曲線在處的切線方程為，即，∴．故．故選：A．5．直上九天問蒼穹，天宮六人繪新篇.2023年5月30日神州十六號發(fā)射成功，神十五與神十六乘組航天員在太空會師，6名航天員分兩排合影留念，若從神十五和神十六每組的3名航天員中各選1人站在前排，后排的4人要求同組的2人必須相鄰，則不同的站法有（

）A．72種 B．144種 C．180種 D．288種【答案】B【分析】分別從神十五和神十六每組的3名航天員中各選1人排列，后排神十五，神十六分別捆綁，再排列，然后利用分布乘法計數(shù)原理求解.【詳解】解：因為第一排的站法有，第二排的站法有，所以站法18×8=144種．故選：B．6．一個盒中有10個球，其中紅球7個，黃球3個，隨機抽取兩個，則至少有一個黃球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記抽取黃球的個數(shù)為X，則由題意可得X服從超幾何分布，然后根據(jù)超幾何分布的概率公式求解即可.【詳解】記抽取黃球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其分布列為，，1，2．所以，．或．故選：D．7．2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內斯撲出法國隊員的點球，表現(xiàn)神勇，撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點球的個數(shù)X的期望為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由題意可得門將在前四次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，4，且，從而可求出期望.【詳解】依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為．門將在前四次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，4．，，，1，2，3，4．期望．故選：C．8．已知拋物線的焦點為F，C的準線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為的平分線，則等于（

）A． B．8 C．10 D．【答案】D【分析】由題意可得，，從而可求．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，則．根據(jù)拋物線的定義，結合角平分線的性質及相似三角形的性質即可求解.【詳解】，，所以．過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為，，則．因為FB為的平分線．則，又，∴，又，∴．∴．故選：D．二、多選題9．設X，Y為隨機變量，且，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)隨機變量期望和方差的性質結合已知條件求解即可.【詳解】由，得，又，，∴，．故選：AC．10．展開式的有理項為（

）A． B．80 C． D．【答案】AD【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后由的次數(shù)為整數(shù)可求出的值，從而可求出展開式中的有理項.【詳解】展開式的通項，由，∴或，當時，，當時，．故選：AD．11．中國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”．若三棱錐為鱉臑，平面ABC，，，則（

）A．平面PAB B．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為C．二面角的余弦值為 D．三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【分析】該幾何體可以看成是長方體中截出來的三棱錐，建立如圖所示的直角坐標系，然后利用空間向量對選項ABC逐個分析判斷，對于D，由長方體的對角線為三棱錐外接球的直徑，可求出外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.【詳解】該幾何體可以看成是長方體中截出來的三棱錐，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，，．∵，∴與不垂直，BC與平面PAB不垂直，選項A錯誤；設平面PBC的法向量為，則，即令，得平面PBC的一個法向量為．又，設PA與平面PBC所成角為，則所以，選項B正確；設平面PAB的法向量為，，，則，即令，得平面PAB的一個法向量為．，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為，所以選項C正確；長方體的對角線為三棱錐外接球的直徑，，所以，球的表面積為，選項D正確．故選：BCD．12．隨機變量的分布列如下表，012P2aa2ab則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)隨機變量概率和為1得到從而判斷A；通過隨機變量的期望公式計算進而判斷B；通過隨機變量的方差公式進行計算后判斷C和D即可.【詳解】由題意得，，得，故A錯誤；，故B正確；014Pa4ab所以，故C錯誤；因為，所以，當且僅當時，取得最大值，故D正確.故選：BD【點睛】方法點睛：本題考查隨機變量的綜合應用.通過隨機變量的概率和、期望與方差公式進行計算進而求解即可，最值問題可通過消元從而轉化為函數(shù)最值問題進而求解.三、填空題13．已知平面的法向量，直線l的方向向量，若，則．【答案】/0.5【分析】由線面位置關系和空間直線方向向量與平面法向量的定義可解.【詳解】∵．則，即，解得．答案：14．某校高二年級1200人，期末統(tǒng)測的數(shù)學成績，則這次統(tǒng)測數(shù)學及格的人數(shù)約為（滿分150分，不低于90分為及格）．（附：，）【答案】190【分析】由題意得，，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質結合已知求出的概率，從而可估計出數(shù)學及格的人數(shù).【詳解】依題意，，，，，則．故答案為：19015．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，則此雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】以雙曲線和橢圓的焦點坐標特征為突破點解答即可；【詳解】解析：橢圓的焦點為，，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點所以，得，所以雙曲線的離心率．故答案為：.16．設隨機變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且，，定義．若，則當時，的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可求得當時，的表達式，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】當時，，則∵，，，∴，當且僅當時，等號成立．所以，，，∴，即的最大值為．答案：四、解答題17．某?！碍h(huán)境”社團隨機調查了某市100天中每天空氣中的PM2.5和當天到街心公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：PM2.5鍛煉人次512257101310117若某天的空氣中的PM2.5不高于75，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣中的PM2.5高于75，則稱這天“空氣質量不好”．(1)估計該市一天“空氣質量好”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次人次空氣質量好空氣質量不好附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)(2)填表見解析；有【分析】（1）根據(jù)頻頻數(shù)分布表直接計算估計即可；（2）根據(jù)獨立性檢驗相關知識補全列聯(lián)表后列式計算即可.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天“空氣質量好”的概率為.所以估計該市一天“空氣質量好”的概率為0.72（2）2×2列聯(lián)表如下：人次人次總計空氣質量好343872空氣質量不好21728總計5545100零假設：一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量無關，因為，所以有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．18．我國元代數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中研究過高階等差數(shù)列問題，如數(shù)列滿足為等差數(shù)列，稱為二階等差數(shù)列．已知二階等差數(shù)列1，2，4，7，……．(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后利用累加法可求出，（2）由（1）得，然后利用錯位相法可求得.【詳解】（1）由，，，∴，∴．所以，當時，又，也適合，所以．（2），

①

②

①－②，得，∴．19．2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：第t天1234567交易額y/千萬元(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關系，請用相關系數(shù)（系數(shù)精確到0.01）加以說明；(2)利用最小二乘法建立y關于t的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.1），并預測下一周的第一天（即第8天）的交易額.參考數(shù)據(jù)：，，.參考公式：相關系數(shù).在回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.【答案】(1)答案見解析(2)，1.1億元【分析】（1）根據(jù)相關系數(shù)公式求出，利用數(shù)值對應的意義即可說明；（2）先由最小二乘法求出回歸方程，在令，即可預測出下一周的第一天的交易額．【詳解】（1）因為，，，，所以.因為交易額y與t的相關系數(shù)近似為0.98，說明交易額y與t具有很強的正線性相關，從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關系.（2）因為，，所以，，所以y關于t的回歸方程為，將代入回歸方程得（千萬元）億元，所以預測下一周的第一天的交易額為1.1億元.20．芯片是二十一世紀最核心的科技產(chǎn)品，我們一直被美國卡脖子，隨著中國科技的不斷發(fā)展，我們在芯片技術上取得了重大突破．有些型號的芯片已經(jīng)批量生產(chǎn)．某芯片代工公司有3臺機器生產(chǎn)同一型號的芯片，第1，2臺生產(chǎn)的次品率均為1%，第3臺生產(chǎn)的次品率為2%，生產(chǎn)出來的芯片混放在一起．已知第1，2，3臺機器生產(chǎn)的芯片數(shù)分別占總數(shù)的30%，40%，30%．(1)求任取一個芯片是正品的概率；(2)如果取到的芯片是次品，分別求出是第1臺機器，第2臺機器，第3臺機器生產(chǎn)的概率．【答案】(1)0.987(2)概率分別為，，【分析】（1）根據(jù)全概率公式計算求解即可；（2）應用貝葉斯公式計算可得結果.【詳解】（1）記事件A：機器生產(chǎn)的芯片為次品，記事件：第i臺機器生產(chǎn)的芯片，則，，，，，．．即任取一個芯片是正品的概率0.987．（2）；；．故如果取到的芯片是次品，是第1臺機器，第2臺機器，第3臺機器生產(chǎn)的概率分別為，，．21．已知橢圓過點，點A為下頂點，且AM的斜率為．

(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，過點作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C、D兩點，直線AD，AC分別交x軸于H，G兩點，O為坐標原點．證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點和已知的AM的斜率列出方程組求解即可；（2）設直線BC：，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理得到C、D兩點橫坐標的關系，得到，代入直線方程和韋達定理化簡即可得到答案.【詳解】（1）因為橢圓過點，，且AM的斜率為，所以，解得，，所以橢圓E的方程為（2）證明：由題意知，直線BC的斜率存在，設直線BC：，設，，由，得，，得，則，，因為，直線AD的方程為，令，解得，則，同理可得，所以為定值，所以為定值，該定值為22．已知函數(shù)有兩