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2022新高考數(shù)學(xué)熱點導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用及答案

精研考綱M納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗實戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

2022新高考數(shù)學(xué)熱點04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用及答案

命題趨勢

【命題趨勢】

從新高考的考查情況來看?，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一直是高考的重點和難點.一般以基本初等函

數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點問題，同時與解不等式關(guān)系最為

密切，還可能與三角函數(shù)、數(shù)列等知識綜合考查。一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題以及

解答題中，難度較大，復(fù)習(xí)備考的過程中應(yīng)引起重視。通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、

最值問題，考查考生的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理核心素養(yǎng).

)滿分技巧)

1、研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(1)討論分以下四個方面

①二次項系數(shù)討論；②根的有無討論；③根的大小討論：④根在不在定義域內(nèi)討論.

(2)討論時要根據(jù)上面四種情況，找準參數(shù)討論的分類.

(3)討論完畢須寫綜述.

2、研究函數(shù)零點或方程根的方法

(1)通過最值(極值)判斷零點個數(shù)的方法:借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的

正負，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)或者通過零點個數(shù)求參數(shù)范圍.

(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點:對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最

值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點:①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極

值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，

從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)

的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3、求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍的方法：

方程/。)=0有實根U函數(shù)y=,f(x)的圖象與x軸有交點U函數(shù)y=/(x)有零點.

(1)參數(shù)分離法，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)單調(diào)性與最值.

(2)分類討論法.

4、不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，

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也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù),

借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理.

恒成立問題的重要思路：(1)"2Ax)恒成立(2)，向X)恒成立

存在性(有解)問題的重要思路：(1)存在m>f(x)=，"求r)min(2)存在，”勺(x)=，Y/(X)nux.

5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式Hx)>g(x)的基本方法：

(1)若人r)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明K6m,n>g(X)gx；

(2)若y(x)與g(x)的最便不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)—fix)—g(x),

然后根據(jù)函數(shù)"x)的單調(diào)性或最值，證明6(x)>0.

無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，

達到解題的H的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.

熱點解讀

------上

函數(shù)單調(diào)性的討論(含參)、零點問題和不等式恒成立的相關(guān)問題(包含不等式證明和

由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍)是出題頻率最高的：同時也要注意極值點偏移、雙變量等

熱點問題。

A卷(建議用時60分鐘)

—*、單選題

1.(2021?河南?濮陽一高高三階段練習(xí))若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：(1)直線/隹

點？(?％，%)處與曲線C相切：(2)曲線C在點P附近位于直線/的兩側(cè)，則稱直線/在點P處

"切過''曲線C.給出下列四個命題：

①直線/：y=o在點P(0,。)處“切過”曲線C：y=x)

②直線/：產(chǎn)》-1在點P(1,0)處“切過”曲線。：￥=1叱：

③直線/：.丫=—+力在點P/0)處“切過”曲線C：y=sinx：

④直線/：丫=-犬+1在點？(0,1)處“切過”曲線5y=e\

其中正確的命題個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

2.(2021?江蘇淮安?高三期中)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

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的是()

A.-3是f(x)的極小值點B.-1是/(x)的極小值點

C.“X)在區(qū)間(TO,3)上單調(diào)遞減D.曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率小于零

3.(2021?安徽?合肥市第八中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為/'(x),且

/(x)=2Af'(e)+lnx,貝！|/(e)=()

A.--B.-1C.1D.e

e

4.(2021?山東日照?高三階段練習(xí))已知尸(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，且對任意的實數(shù)X都有

r(x)=e-x(2-2x)-/(x),"0)=8則不等式〃x)<0的解集是()

A.(-2,4)B.(-co,0)U(2,+co)C.(F,-4)U(2,+OO)D.(-^O,-2)U(4,+<?)

5.(2021?陜西金臺?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-ar2有兩個極值點，則實數(shù)”的

取值范圍是()

A.(-?,0)B.(0,；)C.(0,1)D.(0,物)

6.(2021?四川省綿陽江油中學(xué)高三階段練習(xí))已知〃x)=alnx,g(x)=(?+2).r-x2,若

存在XowjLe],使得/(%)4g(不)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

e

A.；j，”)B.J；；,”)C.D.[0,M)

/、fxln>0

7.(2021?天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí))己知函數(shù)〃x)=「丫2?<0,若函數(shù)

g(x)=〃x)一上有三個零點，則()

A.—cvZv1B.—<攵<1C.y<k<0D.—<k<0

ee

8.(2021?北京四中高三期中)對于定義在R上的函數(shù)y=/(x),若存在非零實數(shù)天,使

y=f(A)在(-<?,%)和(％,+<?)上均有零點，則稱％為y=/(.r)的一個“折點”，卜,列四個函

數(shù)存在“折點”的是()

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A./(X)=3M+2B./(x)=lg(|x|+3)-iC./(x)=y-x-lD.=

二、多選題

9.(2021?江蘇淮安?高三期中)設(shè)函數(shù)/(x)=e'-or+l(awN.),若/(x)>0恒成立，則實

數(shù)。的可能取值是()

A.1B.2C.eD.3

10.(2021?河北保定?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xe*-x2-2x-l,則()

A.f(x)的極大值為-1B.f(x)的極大值為

e

C.曲線y=/(x)在(0J(0))處的切線方程為x-y-l=O

D.曲線y=/(x)在(0J(0))處的切線方程為x+y+l=0

11.(2021?江蘇?高三期中)若直線丫=；》+。伍€2是曲線產(chǎn)/(*)的切線，則曲線)，=/(同

可以是()

A./(X)=X3+2X2+8B./(x)=tanxC./(.r)=.ve,D./(x)=lny^-j

12.(2021?江蘇?無錫市教育科學(xué)研究院高三期中)已知函數(shù)/3)=<r*、4-2:r<0，滿足對任

e,x>0

意的xeR,f(x)2ar恒成立，則實數(shù)〃的取值可以是()

A.一2&B.-72C.&D.2夜

13.(2021?湖北?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*-x2,則下列說法正確的是()

A.f(x)在R上單調(diào)遞增B./(X)在(YO,ln2)上單

調(diào)遞減

C.若函數(shù)y=/(x)-lnx+x2在x=1,處取得最小值，則X°G(0,1)D.Vxe(0,+oo),

/(x)>lnx-x2+2

14.(2021?河北保定?高三階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=21nx-f+，"在1,片上有兩個不同的

e

零點，則實數(shù)機的取值可能是()

A.1B.€C.—+1D.—+2

ee-

15.(2021?江蘇如東?高三期中)若lim存在,則稱

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lim/（?%+人\?）-/（司，品）為二元函數(shù)z=f（x,y）在點（x。,%）處對方的偏導(dǎo)數(shù)，記為

ZU-K）M

/：（%,>'0）;若lim"%，.”+紳）二〃2）存在，則稱|im=…+紳）一"2）為二元函

Ay-+OAxAy—OAv

數(shù)z=/（x,y）在點（x。,%）處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為｛'（%,%）,已知二元函數(shù)

/(x,y)=x2-2Ay+y3(x>0,y>0),則()

A.f：(l,2)=-2B.4'(1,2)=10

C.1/；'（〃，,〃）+/：（，"，"）的最小值為-1D.f（x,y）的最小值為7

16.（2021?山東?滕州市第一中學(xué)新校高三期中）已知函數(shù)，討論函數(shù)/（x）=xe'-or-l的

零點個數(shù)（）

A.當。=0時，零點個數(shù)為1個B.當〃>0時，零點個數(shù)為2個

C.當。<0時，零點個數(shù)為2個D.當a>0時，零點個數(shù)為I個

三、填空題

?r-|

17.（2?！叭珖?高考真題（理））曲線,:不在點（--）處的切線方程為—

18.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)/（x）=lnx-cx+gY存在垂直于y

log,x,x>0

軸的切線，又g（x）=<，且有g(shù)[g⑴]=1，則a+b+c的最小值為

19.（2021?江蘇常州?高三期中）已知函數(shù)〃》）=*卜/-2）-41門，對于任意》>0,/（”24

恒成立，則整數(shù)。的最大值為.

?./、，一asinx,x>0

20.（2021?河北石家莊?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/力=,/一若關(guān)于天的

一廠-l）x+a,x<0

不等式〃x）20的解集為卜1,+00）,則實數(shù)”的取值范圍為.

四、解答題

21.（2021?江蘇?無錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知函數(shù)f（x）=inx（,n>0）.

（1）當5=（）時，求曲線y=f（x）在點（1,f（l））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（x）的最小值為求實數(shù)機的值.

e

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Ij?

21.(2021?廣東?紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=t.(1)求/(x)在

[ax\nx,x>1

[-l,e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值；(2)對任意給定的正實數(shù)”，曲線y=/(x)上

是否存在兩點P,Q,使得△PO。是以O(shè)為宜角頂點的汽角三角形，旦此宜角三角形斜邊

的中點在y軸上？

22.(2021?北京?高考真題)已知函數(shù)/(力=下三.

(1)若”=0,求曲線y=/(x)在點(IJ⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)在x=T處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

23.(2021?全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=O是函數(shù)y=^(x)的極

值點.

(1)求。；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=?：〃：).證明:g(x)<l.

xf(x)

24.(2021?全國?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/*)=國"+以-31nx+1,其中a>0.

(1)討論/("的單調(diào)性；(2)若y=/(x)的圖象與1軸沒有公共點，求〃的取值范圍.

25.(2021?遼寧大連?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(.v)=6ue，-(x+l『(其中〃ER,e為自然

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對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當x>0時，/(x)>lnx-x2-x-3,求?的取值范圍.

26.(2021?江蘇連云港,高三期中)已知函數(shù)f(x)=(x云)e'M+?2(十€即

(1)若。=-1,試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)“X)存在兩個零點%,占，證明:

X]+X-,<0.

B卷(建議用時90分鐘)

一、單選題

1.(20如全國?高考真題(理))設(shè)"0,若x="為函數(shù)/(x)="(x-“)2(x-3的極大值點，

則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

2.(2021?四川達州?一模)已知函數(shù)/(x)=xln(lnx)-xln(G)-lnx恒有零點，則實數(shù)〃的取

值范圍是()

(11「)「_」i](_1_1"

A.0,-B.eMC.e—D.0,e'

Ie」L)Le\IJ

3.(2021?江蘇?金陵中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(工)=/+±8*)=疝工/仆)=火，若對于任意

X

的xe(0,+oo),&(x)4〃(x)4/(x)都成立，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.[1,3]B.~,4C.[1,8]D.-J7

4.(2021?江蘇?高三階段練習(xí))過曲線C：y=lnx上一點A(l,0)作斜率為k(0<Z<1)的直線，

該直線與曲線C的另一交點為P,曲線C在點P處的切線交)，軸于點N.若V4PN的面積

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為41n2-3,則*=()

2

A.—In2B.-In2C.—In2D.In2

332

5.(2021?廣西柳州?一模(理))已知可導(dǎo)函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若對任意的xwR,

都有/(x)-/'(x)>l.且/(力皿為奇函數(shù)，則不等式f(x)-2021e'>l的解集為()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+oo)

6.(2021?江蘇鹽城?高三期中)函數(shù)f(x)=lnx-空干的零點最多有()個.

A.4B.3C.2D.I

7.(2021?海南華僑中學(xué)高三階段練習(xí))已知定義在《，門上的函數(shù)/(x)滿足

且當1］時，f(x)=x\nx+l,若方程/(刈-1*-。=0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)

e2

。的取值范圍是()

8.(2021?河南省實驗中學(xué)高三階段練習(xí)(理))己知函數(shù)=J§，若

-----T-X+—,x>e

2e22e

且/(a)=/S)=f(c),則坐.c的取值范圍是()

alnb

A.(e,3e)B.(-3e,-e)C.(l,3e)D.(-3e,-l)

9.(2021?山東聊城?高三期中)關(guān)于函數(shù)/(x)=ae，-cosx,xe(rr,;r),下列說法錯誤的

是()

A.當”=-1時，函數(shù)“X)在(一小1)上單調(diào)遞減B.當〃=1時，函數(shù)/")在(一乃,乃)上恰

有兩個零點

C.若函數(shù)〃尤)在(-1,萬)上恰有一個極值，則"=0D.對任意”>。，恒成立

二、多選題

10.(2021?廣東?紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí))函數(shù)/(x)=(x-l)lnx,X6(l,-K?),下列說法中,

正確的是()

A./(x)>0B./(x)在(1,2)單調(diào)遞增

C./(x)<(x-l)2

D.Vx,>x2>1,則/(々)-/(5)<*2-司

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24-rInT

11.（2021?海南??？谝恢懈呷A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)/（x）=」~下列說法正確的是（）

x

A.函數(shù)f（x）的極小值為2

B.函數(shù)y=/（x）-x2有且只有1個零點

C.當時，/（x）+or：!—4ar+4?—1＞0恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)小三，且不力工2，若/（%）=/（》2）,則占+巧＜4

12.（2021?全國?高三階段練習(xí)）布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定

理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)

/（X）,存在一個點內(nèi),使得那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱％為該函

數(shù)的一個不動點.現(xiàn)新定義：若與滿足〃毛）=-％,則稱%為/（X）的次不動點.下列說法正

確的是（）

A.定義在R上的偶函數(shù)既不存在不動點，也不存在次不動點

B.定義在R上的奇函數(shù)既存在不動點，也存在次不動點

C.當14a?|時，函數(shù)/&）=地?。?'-〃2+1）在［0』上僅有一個不動點和一個次不動點

D.滿足函數(shù)=在區(qū)間［0,1］上存在不動點的正整數(shù)。不存在

13.（2021?重慶?臨江中學(xué)高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)〃x）=e*+asinx,xe（一匹田），下列

結(jié)論正確的有（）

A.當“=1時，”力在（0"（0））處的切線方程為2x-y+l=0

B.當”=1時，f（x）在（-］,+?＞）上存在唯一的極小值點

C.對任意a＞0,/（x）在（-1,+oo）上均存在零點

D.當a＜0時，若對Vxe（-;r,y）,/（x）20恒成立，則一缶：4〃＜0

14.（2021?廣東龍崗?高三期中）己知函數(shù)/（x）檸（e為自然對數(shù)的底數(shù)），過點（"，）作

曲線”X）的切線.下列說法正確的是（）

44

A.當〃=（）時，若只能作兩條切線，則八三B.當。=0,八二時，則可作三條切線

ee

C.當0＜。＜2時，可作三條切線，則=D.當。=2,人＞0時，有且只有一條

ee

切線

三、填空題

15.（2021?廣東順德?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（6=夕+20?^+2,當4=拒時，函數(shù)/（x）

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用及答案

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的零點個數(shù)為；若函數(shù)/(x)有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

16.(2021?江蘇揚州?高三期中)若函數(shù)/(x)=ae，—gx2+3(aeR))有兩個不同的極值點引

和乙，則。的取值范圍為；若見則a的最小值為.

17.(2021?江蘇?無錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí))已如函數(shù)/(x)=e、,g(x)=lnx.若曲線

y=/(x)在點&J('))處的切線與曲線y=/(x)在點5,g5))處的切線平行，則

x,+g(xj=;若Mx)=2x-g(x)-4|^+l,則Mx)的最大值為.

18.(2021?浙江杭州?高三期中)函數(shù)/(x)=2'-V的零點個數(shù)為,若函數(shù)

/(x)=a*-x?(a>1)恰有兩個零點，則a=.

四、解答題

19.(2021?天津?高考真題)已知a>0,函數(shù)/(x)=at-xe".(I)求曲線y=/(x)在點

(0"(0))處的切線方程：(II)證明f(r)存在唯一的極值點(III)若存在a,使得/(x)4a+b

對任意xeR成立，求實數(shù)力的取值范圍.

20.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-加+8.

(1)討論八幻的單調(diào)性；(2)從下面兩個條件中選一個，證明：〃幻只有一個零點

?-<a<—,b>2ai?0<a<-,h<2a.

222

21.(2021?浙江?高考真題)設(shè)a,6為實數(shù)，且。>1,函數(shù)f(x)=a'-bx+eXxeR)

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意6>2e2,函數(shù)〃力有兩個不同的零點，求a

的取值范圍；

(3)當”=e時，證明：對任意b>],函數(shù)/(x)有兩個不同的零點滿足

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

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22.（2021?全國?高考真題）己知函數(shù)/（x）=x（17nx）.（l）討論〃力的單調(diào)性；（2）設(shè)

〃為兩個不相等的正數(shù)，且〃hw-alnb=a-b,證明：2<-+-<e.

ah

23.（2021?福建?福州三中模擬預(yù)測）已知函數(shù)/。）=加'+%0$》+夫2+1（其中”力為實數(shù)）

的圖象在點（0,/（0））處的切線方程為y=x+l.（1）求實數(shù)”力的值；（2）求函數(shù)

g（x）=/'（x）-3x的單調(diào)區(qū)間：

（3）若對任意的xeR,不等式療*）21丁+2/1/+》恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

2

24.（2021?廣東?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（a+2）lnx+,-ar（aeR）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：（2）當0<一2時，若為，々（x產(chǎn)七）滿足/&）=/（±）,

4

求證：—<xlx2<1.

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25.(2021?廣東?高三)已知函數(shù)/(x)=(x-2)-e*-](x-l)2,g(x)=，"(x+lnx)-2e".(1)討

論〃x)的單調(diào)性；(2)當。=0時，令F(x)=/(x)-g(x),若與是函數(shù)F(x)的極值點，且

F(%)>0,求證：F(x)>-2xl+2xQ.

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熱點04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

命題趨勢

【命題趨勢】

從新高考的考杳情況來看，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一直是高考的重點和難點.一般以基本初等函

數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點問題，同時與解不等式關(guān)系最為

密切，還可能與三角函數(shù)、數(shù)列等知識綜合考查。一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題以及

解答題中，難度較大，復(fù)習(xí)備考的過程中應(yīng)引起重視。通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、

最值問題，考查考生的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理核心素養(yǎng).

滿分技巧)

1、研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(1)討論分以下四個方面

①二次項系數(shù)討論；②根的有無討論：③根的大小討論：④根在不在定義域內(nèi)討論.

(2)討論時要根據(jù)上面四種情況，找準參數(shù)討論的分類.

(3)討論完畢須寫綜述.

2、研究函數(shù)零點或方程根的方法

(1)通過最便(極值)判斷零點個數(shù)的方法:借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的

正負，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)或者通過庫點個數(shù)求參數(shù)范圍.

(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點:對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最

值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點:①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極

值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，

從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)

的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3、求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍的方法：

方程/。)=0有實根U函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點U函數(shù)y=/(x)有零點.

(I)參數(shù)分離法，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)單調(diào)性與最值.

(2)分類討論法.

4、不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，

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也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù),

借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理.

恒成立問題的重要思路：(1)，佇/(X)恒成立汰(2)團勺&)恒成立

存在性(有解)問題的重要思路：(1)存在n,"3(x)min(2)存在/n</(x)=>w</(x),nax.

5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式Ax)>g(x)的基本方法：

(1)若人I)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明7U)mm>g(X)gx；

(2)若_/(x)與g(x)的最便不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)—f(x)—g(x),

然后根據(jù)函數(shù)〃(x)的單調(diào)性或最值，證明〃(x)>0.

無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研窕函數(shù)的性質(zhì)，

達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.

熱點解讀

函數(shù)單調(diào)性的討論(含參)、零點問題和不等式恒成立的相關(guān)問題(包含不等式證明和

由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍)是出超頻率最高的：同時也要注意極值點偏移、雙變量等

熱點問題。

限時檢測

A卷(建議用時60分鐘)

一、單選題

1.(2021?河南?濮陽一高高三階段練習(xí))若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：(1)直線/在:

點外?%,%)處與曲線C相切；(2)曲線C在點P附近位于直線/的兩側(cè)，則稱直線/在點P處

“切過”曲線C.給出下列四個命題：

①直線/：y=O在點P(O,O)處“切過”曲線C：y=V；

②宜線/：y=x-i在點P(l,0)處“切過”曲線c：y=lnx：

③直線/：產(chǎn)-x+%在點P(i.o)處“切過”曲線C：y=sinx：

④直線/：y=-x+l在點P(O,1)處“切過”曲線c：y=e'.

其中正確的命題個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

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【分析】根據(jù)“切過”的定義以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐個選項判定即可.

【詳解】①；y=x3,y'=3x2,.?.y'Lo=O,.?.曲線C:y=V在點尸(QO)處切線為y=o.

當x>0時，y>0,當x<0時，y<o,即曲線C:y=V在點P附近位于直線/的兩側(cè)，①

正確：

②設(shè)g(x)=(x-l)-lnx=x-lnx-l,5,(x)=l--=^^,

XX

當0<x<l時，^r(x)=—<0.g(x)在(0,1)是減函數(shù)，當x>l時，/(%)=—>0,g(x)

XX

在(1,一)是增函數(shù)，，8*)286=1-1討-1=0,即x-lWlnx在(0,+<?)上恒成立,

.??曲線y=lnx總在直線y=x-l下方，不合要求，②不正確：

③?；y=sinx,y'=cosx,二41t=COS7t=-l,曲線y=sinx在點尸5.0)處切線為

/:y=-x+rt.

設(shè)g(x)=-x+7t-sinr,g'(x)=-1-cosxVO,，g(x)是減函數(shù)，

又：g(7t)=-兀+兀-sin7t=0.當時，g(x)>0,即一x+7t>sinx,

曲線C:y=sinx在切線/:y=-x+Jt的下方,當*>兀,g(x)<0,即一x+7t<sinx,

曲線y=sinx在切線y=-x+7t的上方，③正確：

④???y=e\/./=^,.-./U=e°=l,.-.曲線y=在點尸(0,1)處的切線為y=x+l,

不合要求

④不正確.綜上，正確命題有①③，故選：B.

2.(2021?江蘇淮安?高三期中)己知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

的是()

A.-3是f(x)的極小值點B.-1是/(x)的極小值點

C.〃x)在區(qū)間(—,3)上單調(diào)遞減D.曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率小于零

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據(jù)

導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.

【詳解】由圖象知,當xv-3或x>3時，f'(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

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當-3vxv3時,/'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

所以“X)在區(qū)間(YO,-3),(3,+co)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(-3,3)內(nèi)單調(diào)遞減，

-3是〃x)的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤：

又因為/'(2)<0,所以曲線y=/(x)在x=2處切線斜率小F零，故D正確.故選：D.

3.(2021?安徽?合肥市第八中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)為了'(X),且

,/1(x)=2_\f(e)+lnx,則f(e)=()

A.—B.—1C.1D.e

e

【答案】B

【分析】直接求導(dǎo)，令x=e求出/'(e),再將x=e帶入原函數(shù)即可求解.

【詳解】由7"3=2引仁)+1口得/(幻=2/化)+1,當x=e時，r(e)=2f'(e)+L解得

xe

//(e)=---

e

所以/(x)=-^+lnx,/(e)=±+lne=-l.故選：B

ee

4.(2021?山東日照?高三階段練習(xí))已知/'(X)是函數(shù).f(x)的導(dǎo)數(shù)，且對任意的實數(shù)X都有

f'(x)=cx(2-2x)-f(x),f(O)=8則不等式/(x)<0的解集是()

A.(-2,4)B.(-oo,0)U(2,+a>)C.(F,-4)U(2,W)D.(f,-2)U(4,y)

【答案】D

【分析】構(gòu)造新函數(shù)g(x)=e"(x),求出g'(x)后由導(dǎo)函數(shù)確定g(x),注意可得8(0)=8,從

而得出f(x)的解析式，然后解不等式即可.

【詳解】設(shè)g(x)=e"(x),g(0)=e°/(0)=8,

因為(x)=葭(2-2x)-/(x),所以尸(x)+/(x)=e、(2-2x),

所以g'(x)=eJ/(x)+e"'(x)=e*(/(x)+f'(x))=2-2x.

因此g(x)=2x-x2+c,g(0)=c=8,所以8&)=-/+21+8,f(x)='A+~A+^,

e1

不等式f(x)<0即為:+8<°,/_2X_8>0,解得x<—2或x>4.故選：D.

e

5.(2021?陜西金臺?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-or2有兩個極值點，則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.SO)B.C.(0,1)D.(0,”)

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【答案】B

【分析】先求得/(X),由題意知r(x)=o仃兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為2a=@上L然后設(shè)

X

g(x)=9W,再轉(zhuǎn)化為直線y=2"Og(x)的圖像有兩個交點求解.

X

【詳解】解：由題意r(x)=lnx+l-2or=lnx-2or+l=0有兩個不等實根，即2a=四巴■有

X

兩個不等實根，

必,、lnx+1.,l-(lnx+l)Inx

設(shè)g(X)=-----■則g(X)=------；----=——

Xx2X*

當Ovxvl時,g'(x)>0,g(x)遞增,當X>1時,gr(x)<0,g(x)遞減,

X=l時，g⑴=1為極大值也是最大值，x->+<?時，g(x)->0,||.g(x)>0,當xfO時，

g(x)->-oo,

所以當0<2a<l,即0<“<；時，直線y=2“與g(x)的圖象有兩個交點，

即2“=則巴有兩個不等實根.故選：B

X

6.(2021?四川省綿陽江油中學(xué)高三階段練習(xí))已知/(x)=aln.r,g(x)=(a+2)x-/,若

存在Le,使得/(x°)4g(x。)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

e

e~—2c11—2e)\「八\

A.----,+<?B.--y,+ooC.[r-l,+a>)D.[0,+co)

C4JC__4cJ

【答案】C

【分析】由/(%),,g(%)，根據(jù)%-3>0.存4…片一產(chǎn)1,再構(gòu)造函數(shù)求最值即U]?求出。

/T叫

的取值范圍.

【詳解】由〃飛),,g&),得伉-嘰)記尸(x)=x-lnx(x>0),

.?.F'(x)=—(x>0),

???當0<x<l時，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減；當x>l時,F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增.

：.F(x)..F(1)=l>0,.?.a.*—%,記G(x)=^lZ^,xe1

一,e

x()-lar0x-lnx

(2x-2Xx-hu)-(x-2)(x-l)=(x-I)(x-2hu+2)

(x-lnx)2-(x-lnx)2

Q-ve\e,.,.2-2Iar=2(l-lnx)..O..-.x-21nv+2>0.,xe時，G'(x)<0,G(x)

單調(diào)遞減;

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xe(l,e)nj,G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增..?.GCr)疝n=G(1)=-1,1nhi=-1,

故實數(shù)。的取值范圍為［7,+8).故選：C.

7.(2021?天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=1_r2T<0，若函數(shù)

g(x)=/(x)d有三個零點,則()

A.-cv攵vlB.—vkvlC?-€<k<0D.—<女<0

ee

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為y=/(X)與y=A有三個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在X>0上的性質(zhì)，

進而畫出/(X)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法求參數(shù)k的范圍.

【詳解】當x>0時，/(x)=xlnx,.-./,(x)=lnx+l,令/'(x)=0得，x=-,

e

.?.當xe(0,j時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當xe(：+s)時，/(力>0,f(x)單調(diào)遞

增，

又/(9=口曰=-1,"1)=0,畫出函數(shù)〃x)的圖像，如圖所示，

:函數(shù)g(x)=〃x)-Z有三個零點，即方程f(x)-A=O有三個不等實根，

.??函數(shù)y=/(x)與y=&有三個交點，由圖像可知，-1<A<0,故選：D.

e

8.(2021?北京四中高三期中)對于定義在R上的函數(shù)y=/(x),若存在非零實數(shù)天,使

y=/(x)在(，》,%)和(馬,+00)上均有零點，則稱x?為y=/(x)的一個“折點”，下列四個函

數(shù)存在“折點”的是()

A./(工)=31"+2B./