第二章拉氏變換第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)

Laplace變換的概念定義

設函數(shù)當時有定義，且積分

在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為：第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月可記為

F(s)=￡[f(t)]其：F(s)稱作f(t)的Laplace變換（或象函數(shù)）相應地：f(t)稱作F(s)的Laplace逆變換（或象原函數(shù)），記為f(t)=￡-1[F(s)]上式（*）稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換式第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月拉氏變換存在定理若函數(shù)f(t)滿足條件:

1，在t≥0任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

2，當t→+時，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即，存在一常數(shù)M>0及

c

≥0使：結論成立，則f(t)的Laplace變換（形如式（*）表示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的積分在Re(s)≥c1>c上絕對收斂且一致收斂，并且在Re(s)>c的半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)為解析函數(shù)。第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例例1：求單位階躍函數(shù)的Laplace變換。例2：求正弦函數(shù)的Laplace變換。第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月周期函數(shù)的Laplace變換一般地，以T為周期的函數(shù)f(t)，當f(t)在一個周期上是分段連續(xù)時，則f(t)的拉氏變換式為：第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月tf(t)b4b3b2bb例3：求周期性三角波的Laplace變換。第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月拉氏變換中積分下限的討論1.滿足拉氏變換存在定理條件的函數(shù)f(t)在t=0處有界時，則下式積分與下限是還是無關。即：

￡+[f(t)]=

￡-[f(t)]其中，￡+[f(t)]為：第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月2.若函數(shù)f(t)在t=0處包含脈沖函數(shù)時，則下式積分中必須指明下限是還是。即：

￡+[f(t)]≠

￡-[f(t)]其中：￡+[f(t)]￡-[f(t)]=這樣，我們定義拉氏變換時，嚴格上應為：第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例4求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換f(t)t1例5：求函數(shù)的Laplace變換。第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)

Laplace變換的性質(zhì)Laplace變換的性質(zhì)性質(zhì)1（線性性質(zhì)）：設，F(xiàn)1(s)=

￡[f1(t)]和F2(s)=

￡

[f2(t)]則，

￡[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)其中，a,b為常數(shù)注意：Laplace逆變換也有類似的性質(zhì)第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2（微分性質(zhì)）：則有，￡[

]=sF(s)-

f(0)若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)]這個性質(zhì)說明：一個函數(shù)求導以后取拉氏變換等于該函數(shù)的拉氏變換乘以s，再減去函數(shù)的初值。推論：若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)]，則有，￡[

]=第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月更為一般地

：

若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)]則有，￡[

]=類似地，可得象函數(shù)的微分性質(zhì)：=-￡[]，Re(s)>c一般地

:

若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)]，則=￡[]，Re(s)>c第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3（積分性質(zhì)）：

￡

[

]若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)],則：另外，￡類似地，可得象函數(shù)的積分性質(zhì)：

￡

[

]一般地，￡第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4（位移性質(zhì)）：

￡[

]=F(s-a)(Re(s-a)>c)性質(zhì)5（延遲性質(zhì)）：若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)],則，若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)]，又t<0時，f(t)=0,則對于任一非負數(shù)實數(shù)τ，有：

￡[f(t-τ)]=第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例1已知函數(shù),求f(t)的拉氏變換，其中m為正整數(shù)。舉例例2求函數(shù)及的拉氏變換。例3求函數(shù)的拉氏變換。第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)6（相似性質(zhì)）：￡[

]=若，F(xiàn)

(s)=￡[f

(t)],a為正整數(shù)，則，例4，若F

(s)=￡[f

(t)]，求下列函數(shù)g(t)的拉氏變換。第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)

Laplace逆變換Laplace逆變換定義前面，我們定義了函數(shù)f(t)的拉氏變換為：其中，F(xiàn)(s)稱作f(t)的Laplace變換（或象函數(shù)，而f(t)稱作F(s)的Laplace逆變換（或象原函數(shù)），記作：f(t)=￡-1[F(s)]第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月上式（＃）就是從象函數(shù)F(s)求象原函數(shù)函數(shù)f(t)的計算公式。右端的積分稱為Laplace反演積分。同時，我們定義f(t)為：注意到，右端積分為一復變函數(shù)的積分，計算該積分時通常比較困難，但當F(s)滿足一定條件時，可以用留數(shù)的方法來計算這個反演積分，特別當F(s)為有理函數(shù)時更為簡單。第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月結論定理：若s1,s2,…,sn是函數(shù)F(s)的所有奇點（適當選取β使得這些奇點全落在Re(s)<β內(nèi)），且當s→∞時，F(xiàn)(s)→0,則有：第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月三種方法求逆變換：求Laplace逆變換的方法一、留數(shù)法二、部分分式法三、直接查表法第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月一、留數(shù)法若函數(shù)F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可約的多項式，B(s)的次數(shù)為n,A(s)的次數(shù)小于n，則：1、若B(s)有n個單零點s1,s2,…,sn，有，第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月2、若s1是B(s)的一個m級零點，其余的n-m都是單零點,sm+1,…,sn，有，第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例例1用留數(shù)的方法求的拉氏逆變換。第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二、部分分式法1、且

無重根，則：第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月2、但有一個k重根此